طريقة رقائق الألومنيوم

في الجبر الابتدائي ، تُستخدم اختصارات FOIL للدلالة على الطريقة القياسية لضرب ثنائيي حد ^{[ 1 ]} ، ومن هنا جاءت تسمية هذه الطريقة . كلمة FOIL هي اختصار للحدود الأربعة للناتج:

• F (يتم ضرب الحدود الأولى لكل ذات حدين معًا)
• يتم ضرب الحدود الخارجية (أي الحد الأول من ذات الحدين الأولى والحد الثاني من ذات الحدين الثانية)
• يتم ضرب الحدود الداخلية (الحدود الثانية من ذات الحد الأول والحد الأول من ذات الحد الثاني)
• يتم ضرب الحدود الأخيرة من كل ذات حدين.

الشكل العام هو

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

لاحظ أن a هو حد "أول" وحد "خارجي" في آن واحد؛ وb هو حد "أخير" وحد "داخلي" في آن واحد، وهكذا. ترتيب الحدود الأربعة في المجموع غير مهم، ولا يشترط أن يتطابق مع ترتيب حروف كلمة FOIL.

طريقة FOIL هي حالة خاصة من طريقة أكثر عمومية لضرب التعبيرات الجبرية باستخدام قانون التوزيع . وقد صُممت كلمة FOIL في الأصل لتكون وسيلة تذكيرية لطلاب المرحلة الثانوية الذين يتعلمون الجبر. يظهر المصطلح في كتاب ويليام بيتز " الجبر لليوم" الصادر عام 1929 ، حيث يذكر: ^{[ 2 ]}

... الحدود الأولى، الحدود الخارجية، الحدود الداخلية، الحدود الأخيرة. (يمكن تذكر القاعدة المذكورة أعلاه أيضًا من خلال كلمة FOIL، التي تشير إليها الأحرف الأولى من الكلمات first، outer، inner، last.)

كان ويليام بيتز ناشطًا في حركة إصلاح الرياضيات في الولايات المتحدة في ذلك الوقت، وقد كتب العديد من النصوص حول مواضيع الرياضيات الابتدائية و"كرس حياته لتحسين تعليم الرياضيات ". ^{[ 3 ]}

يستخدم العديد من الطلاب والمعلمين في الولايات المتحدة الآن كلمة "FOIL" كفعل بمعنى "فك حاصل ضرب حدين". ^{[ 4 ]}

تُستخدم هذه الطريقة بشكل شائع لضرب ثنائيات الحدود الخطية . على سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

إذا تضمنت أي من الحدين عملية طرح ، فيجب نفي الحدود المقابلة . على سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

طريقة FOIL تعادل عملية من خطوتين تتضمن قانون التوزيع: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

في الخطوة الأولى، يُوزَّع ( ج + د ) على مجموع الحدين الأولين. في الخطوة الثانية، يُستخدم قانون التوزيع لتبسيط كل حد من الحدين. تجدر الإشارة إلى أن هذه العملية تتضمن تطبيق خاصية التوزيع ثلاث مرات. على عكس طريقة FOIL، يمكن تطبيق طريقة التوزيع بسهولة على نواتج الضرب ذات الحدود الكثيرة، مثل ثلاثيات الحدود وما فوقها.

تحوّل قاعدة FOIL حاصل ضرب حدين ثنائيين إلى مجموع أربعة حدود أحادية (أو أقل، إذا جُمعت الحدود المتشابهة ) . ^{[ 6 ]} تُسمى العملية العكسية بالتحليل إلى عوامل . وعلى وجه الخصوص، إذا قُرئ البرهان أعلاه بعكس اتجاهه، فإنه يوضح أسلوب التحليل بالتجميع .

يمكن استخدام أداة ذاكرة بصرية لاستبدال قاعدة FOIL لتذكر زوج من كثيرات الحدود ذات أي عدد من الحدود. أنشئ جدولًا بحيث تكون حدود كثيرة الحدود الأولى على الحافة اليسرى وحدود الثانية على الحافة العلوية، ثم املأ الجدول بنواتج الضرب. يبدو الجدول المكافئ لقاعدة FOIL كما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

في حالة كون هذه كثيرات حدود، ( ax + b )( cx + d ) ، يتم إيجاد الحدود ذات الدرجة المعينة عن طريق الجمع على طول الأقطار الفرعية :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

لذا${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

لضرب ( أ + ب + ج )( و + س + ص + ع ) ، سيكون الجدول كما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

مجموع قيم الجدول يساوي حاصل ضرب كثيرات الحدود. وبالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

وبالمثل، لضرب ( ax² ⁺ bx + c ) ( dx³ ⁺ ex² ⁺ fx + g ) ، نكتب نفس الجدول :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &dx^{3}&ex^{2}&fx&g\\\hline ax^{2}&adx^{5}&aex^{4}&afx^{3}&agx^{2}\\bx&bdx^{4}&bex^{3}&bfx^{2}&bgx\\c&cdx^{3}&cex^{2}&cfx&cg\end{array}}}$

والمجاميع على طول الأقطار المضادة:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

لا يمكن تطبيق قاعدة FOIL مباشرةً على توسيع نواتج الضرب التي تحتوي على أكثر من مضروبين أو مضروبين تحتوي على أكثر من حدين. مع ذلك، فإن تطبيق قانون التجميع والتوزيع التكراري يسمح بتوسيع هذه النواتج. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

تتخلى الطرق البديلة القائمة على التوزيع عن استخدام قاعدة FOIL، ولكنها قد تكون أسهل في التذكر والتطبيق. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

• نظرية ذات الحدين
• التحليل إلى عوامل

• ستيج، راي؛ بيلي، كيري (1997). ملخص شوم لنظرية ومسائل الجبر المتوسط . سلسلة ملخصات شوم. نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-060839-9.