ذات الحدين (متعددة الحدود)

في الجبر ، ذات الحدين هي متعددة حدود تتكون من مجموع حدين، كل منهما حد أحادي . ^{[ 1 ]} وهي أبسط أنواع متعددات الحدود المتفرقة بعد الحدود الأحادية.

المثالي الطوري هو مثالي مُوَلَّد بواسطة ثنائيات حدود هي فرق بين أحاديات حدود ؛ أي ثنائيات حدود معاملاها 1 و -1 . أما المتنوع الطوري فهو متنوع جبري مُعَرَّف بواسطة مثالي طوري.

لكل ترتيب أحادي مقبول ، تتكون قاعدة غروبنر الدنيا لمثالي طوري من فروق أحادية فقط. (هذه نتيجة مباشرة لخوارزمية بوخبيرغر التي لا تنتج إلا فروق أحادية عند البدء بفروق أحادية).

وبالمثل، فإن المثالي الثنائي هو مثالي مُوَلَّد بواسطة أحاديات الحدود وثنائيات الحدود (أي، يتم إلغاء القيد المذكور أعلاه على المعامل)، ولا تحتوي قاعدة غروبنر الدنيا للمثالي الثنائي إلا على أحاديات الحدود وثنائيات الحدود. يجب تضمين أحاديات الحدود في تعريف المثالي الثنائي، لأنه، على سبيل المثال، إذا كان المثالي الثنائي يحتوي على${\displaystyle yx}$و​​${\displaystyle y-2x}$، كما يحتوي أيضًا${\displaystyle (yx)-(y-2x)=x}$⁠ .

ذات الحدين هي كثيرة حدود تمثل مجموع حدين وحيدين. ويمكن كتابة ذات الحدين بمتغير واحد (وتُعرف أيضًا باسم ذات الحدين أحادي المتغير ) على الصورة التالية:

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}$

حيث a و b عددان ، و m و n عددان صحيحان غير سالبين مختلفان، و x رمز يُسمى غير محدد أو متغيرًا لأسباب تاريخية . في سياق كثيرات حدود لوران ، تُعرَّف ثنائية حدود لوران ، والتي تُسمى غالبًا ببساطة ثنائية الحدود ، بشكل مشابه، ولكن قد يكون الأسّان m و n سالبين.

وبشكل أعم، يمكن كتابة ذات الحدين ^{[ 2 ]} على النحو التالي:

${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

${\displaystyle 11x-2x^{2}}$

• يمكن تحليل المقدار ذي الحدين x² - y² ^{، وهو} الفرق بين مربعين ، إلى حاصل ضرب مقدارين ذوي حدين آخرين:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(xy)(x+y).}$

هذه حالة خاصة من الصيغة الأكثر عمومية:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(xy)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{nk}.}$

عند التعامل مع الأعداد المركبة ، يمكن أيضًا توسيع ذلك ليشمل:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• حاصل ضرب زوج من ثنائيات الحدود الخطية ( ax + b ) و ( cx + d ) هو ثلاثية حدود :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• يمكن فكّ ثنائية ^{الحدّ المرفوعة} للأس ن ، والمُمثلة بالصيغة ( س + ص ) ^ن، باستخدام نظرية ثنائية الحدّ أو، بصورة مكافئة، باستخدام مثلث باسكال . على سبيل المثال، مربع ( س + ص ) ^² لثنائية الحدّ ( س + ص ) يساوي مجموع مربعي الحدّين وضعف حاصل ضربهما، أي:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

الأرقام (1،  2،  1) التي تظهر كمضاعفات للحدود في هذا المفكوك هي معاملات ذات الحدين في الصف الثاني من أعلى مثلث باسكال. ويستخدم مفكوك ^{القوة النونية} الأرقام في الصف ن من أعلى المثلث.

• أحد تطبيقات الصيغة المذكورة أعلاه لمربع ذات الحدين هو " صيغة ( م ، ن ) " لتوليد ثلاثيات فيثاغورس :

بالنسبة لـ m < n ، دع a = n ² − m ² ، b = 2 mn ، و c = n ² + m ² ؛ ثم a ² + b ² = c ² .

• يمكن تحليل ثنائيات الحدود التي تمثل مجموع أو فرق مكعبات إلى كثيرات حدود ذات درجة أصغر على النحو التالي:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(xy)(x^{2}+xy+y^{2})}$

• إكمال المربع
• التوزيع ذو الحدين
• قائمة بمواضيع المضروب والثنائية (والتي تحتوي على عدد كبير من الروابط ذات الصلة)

• بوستوك، ل.؛ تشاندلر ، س. (1978). الرياضيات البحتة 1. مطبعة جامعة أكسفورد . ص  36. ISBN 0-85950-092-6.