نزول مسطح بشكل كامل

النزول المسطح الأمين أو النزول المسطح هو أسلوب من الهندسة الجبرية ، يسمح باستخلاص استنتاجات حول الكائنات الموجودة على هدف التشكل المسطح الأمين . هذه التشكلات، المسطحة والشاملة، شائعة، ومن أمثلتها الغطاء المفتوح .

من الناحية العملية، ومن وجهة نظر أفينية، تسمح هذه التقنية بإثبات بعض العبارات حول حلقة أو مخطط بعد تغيير القاعدة المسطحة بدقة.

في لغة المكدسات ، فإن النزول المسطح هو بالضبط البيان بأن المكدس المسبق للحزم شبه المتماسكة هو مكدس بالنسبة لطوبولوجيا إيتال (أو fpqc).

إن الانحدار المسطح "الفانيليا" بشكل عام خاطئ؛ بدلاً من ذلك، يكون الانحدار المسطح صحيحًا في ظل بعض شروط التناهي (على سبيل المثال، شبه مضغوط أو محليًا ذو عرض محدود).

يُعدّ الانحدار المسطح الأمين حالة خاصة من نظرية أحادية بيك . ^{[ 1 ]}

بفرض وجود تشاكل حلقي مسطح بدقة${\displaystyle A\to B}$إن الانحدار المسطح الأمين هو، تقريبًا، بيان أن إعطاء وحدة نمطية أو جبر على A هو إعطاء وحدة نمطية أو جبر على${\displaystyle B}$بالإضافة إلى ما يسمى ببيانات الانحدار (أو البيانات). أي أنه يمكن للمرء أن ينحدر بالكائنات (أو حتى العبارات) على ${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$تم تقديم بعض البيانات الإضافية.

على سبيل المثال، بالنظر إلى بعض العناصر${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$توليد المثالي الوحدوي لـ A ،${\displaystyle B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]}$مسطح تمامًا${\displaystyle A}$هندسياً،${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$وبالتالي النزول إلى وحدة نمطية من${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$وهذا يعني لصق الوحدات${\displaystyle M_{i}}$على${\displaystyle A[f_{i}^{-1}]}$للحصول على وحدة نمطية على A ؛ فإن بيانات التنازل في هذه الحالة تمثل بيانات الربط؛ أي، كيف${\displaystyle M_{i},M_{j}}$يتم تحديدها على التداخلات${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])}$.

يترك${\displaystyle A\to B}$ليكن تشاكلاً حلقياً مسطحاً أميناً .${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle M}$، نحصل على${\displaystyle B}$-وحدة${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$ولأن${\displaystyle A\to B}$إذا كانت مسطحة تمامًا، فلدينا التضمين${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$علاوة على ذلك، لدينا التشاكل${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$ل${\displaystyle B^{\otimes 2}}$-الوحدات التي يتم تحفيزها بواسطة التشاكل${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$وهذا يحقق شرط الدورة المشتركة:

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

أين${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$يتم تقديمها على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}$

مع${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$لاحظ التشاكلات${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$يتم تحديدها فقط بواسطة${\displaystyle \varphi }$ولا تشمل${\displaystyle M.}$

الآن، تنص أبسط صورة للهبوط المسطح الأمين على أنه يمكن عكس البناء المذكور أعلاه؛ أي، بالنظر إلى${\displaystyle B}$-وحدة${\displaystyle N}$و أ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$تماثل الوحدات النمطية${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$بحيث${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$، وحدة فرعية ثابتة:

${\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

بحيث${\displaystyle M\otimes B=N}$[ ^{3 ]​}

إليك التعريف الدقيق لمعلومية النزول. بالنظر إلى تماثل الحلقة${\displaystyle A\to B}$نكتب:

${\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}$

بالنسبة للخريطة المُعطاة عن طريق إدخال${\displaystyle A\to B}$في الموضع رقم i ؛ أي،${\displaystyle d^{0}}$يُعطى على النحو التالي${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}$،${\displaystyle d^{1}}$مثل${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}$إلخ. نكتب أيضًا${\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}$للمعالجة الموترية على${\displaystyle B^{\otimes n}}$متى${\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}$يتم إعطاء بنية الوحدة النمطية بواسطة${\displaystyle d^{i}}$.

الآن، بالنظر إلى${\displaystyle B}$-وحدة${\displaystyle N}$مع بيانات الهبوط${\displaystyle \varphi }$، يُعرِّف${\displaystyle M}$أن يكون نواة

${\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$.

ضع في اعتبارك الخريطة الطبيعية

${\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}$.

النقطة الأساسية هي أن هذه الخريطة متماثلة إذا${\displaystyle A\to B}$مسطح تمامًا. ^{[ 5 ]} ويتضح ذلك من خلال النظر في ما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}$

حيث يكون الصف العلوي دقيقًا بفضل خاصية تسطيح B على A ، والصف السفلي هو مُركّب أميتسور ، وهو دقيق وفقًا لنظرية غروتينديك. يضمن شرط الدورة المشتركة أن يكون المخطط أعلاه تبادليًا . وبما أن التطبيقين الرأسيين الثاني والثالث متماثلان، فإن الأول كذلك.

يمكن تلخيص ما سبق ببساطة على النحو التالي:

يشير مصطلح "هبوط زاريسكي" ببساطة إلى إمكانية الحصول على حزمة شبه متماسكة عن طريق لصق الحزم الموجودة على غطاء (زاريسكي) مفتوح. وهو حالة خاصة من الهبوط المسطح بدقة، ولكنه يُستخدم غالبًا لاختزال مشكلة الهبوط إلى الحالة الأفينية.

بالتفصيل، دعنا${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}$لنرمز إلى فئة الحزم شبه المتماسكة على مخطط X. ثم ينص انحدار زاريسكي على أنه، بالنظر إلى الحزم شبه المتماسكة${\displaystyle F_{i}}$على المجموعات الفرعية المفتوحة${\displaystyle U_{i}\subset X}$مع${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$والتماثلات${\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$بحيث (1)${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$و(2)${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$على${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$إذن توجد حزمة شبه متماسكة فريدة${\displaystyle F}$على X بحيث${\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}$بطريقة متوافقة (أي،${\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}$يقتصر على${\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$). ^{[ 6 ]}

بلغةٍ مُنمّقة، يُشير انحدار زاريسكي إلى أنه، فيما يتعلق بطوبولوجيا زاريسكي ،${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$هي مجموعة ؛ أي فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$مزود بالدالة${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$فئة المخططات (النسبية) التي تمتلك نظرية هبوط فعالة . هنا، لنفترض${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$يشير إلى الفئة المكونة من أزواج${\displaystyle (U,F)}$يتكون من مجموعة فرعية مفتوحة (زاريسكي) U وحزمة شبه متماسكة عليها و${\displaystyle p}$الدالة النسيانية${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$.

هناك بيان موجز للنتيجة الرئيسية في هذا المجال: (الحزمة المسبقة من الحزم شبه المتماسكة على مخطط S تعني أنه بالنسبة لأي مخطط S X ، فإن كل نقطة X من الحزمة المسبقة هي حزمة شبه متماسكة على X. )

يستخدم البرهان طريقة زاريسكي للنزول وطريقة النزول المسطح بدقة في الحالة الأفينية.

لا يمكن هنا استبعاد مصطلح "شبه المضغوط". ^{[ 8 ]}

ليكن F امتدادًا محدودًا لحقل غالوا k . عندئذٍ، لكل فضاء متجهي V فوق F ،

${\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}$

حيث يمر المنتج فوق العناصر الموجودة في مجموعة غالوا${\displaystyle F/k}$.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$أن يكون شكلاً من أشكال المخططات و${\displaystyle f_{*},f^{*}}$نرمز إلى الدفع الأمامي وكذلك السحب الخلفي للحزم شبه المتماسكة (هنا، للتبسيط، نفترض${\displaystyle f_{*}:{\textrm {QCoh}}(X)\to {\textrm {QCoh}}(Y)}$مُحدد جيدًا. ^{[ 9 ]} ) بما أن${\displaystyle f^{*}}$هو مرافق أيسر لـ${\displaystyle f_{*}}$، التركيب${\displaystyle T=f^{*}f_{*}}$بالإضافة إلى الوحدة المرافقة والضرب المرافق الناتج عن الاقتران، تُشكّل دالة أحادية مشتركة . وبالتالي، تنص نظرية أحادية بيك ، إن وُجدت، على أن الدالة

${\displaystyle f^{*}:{\textrm {QCoh}}(Y)\to T-{\textrm {Coalg}}}$

هو تكافؤ، حيث${\displaystyle T-{\textrm {Coalg}}}$هي فئة إيلنبرغ-مور${\displaystyle T}$- الجبر المشترك؛ أي، بشكل تقريبي، تتكون الفئة من كائنات في${\displaystyle {\textrm {QCoh}}(X)}$مع${\displaystyle T}$-التفاعلات${\displaystyle a:F\to T(F)}$(على الرغم من الاسم، فهي أقرب إلى الوحدات النمطية المشتركة منها إلى الجبر المشترك). إذن، النقطة الأساسية هنا هي أن${\displaystyle T}$- الإجراء يمثل بيانات جيدة، وبالتالي${\displaystyle T-{\textrm {Alg}}}$يمكن تحديدها على أنها فئة من الحزم شبه المتماسكة على${\displaystyle X}$بالإضافة إلى بيانات الهبوط. وبالتالي، فإن ما سبق يوضح بدقة الهبوط المسطح.

على سبيل المثال، ^{[ 10 ]} إذا${\displaystyle f}$إذا كان تماثلًا مسطحًا أمينًا بين مخططات أفينية، فإن نظرية المونادية تنطبق، ويستعيد ما سبق الانحدار المسطح في الحالة الأفينية. وبشكل أعم، تنطبق النظرية إذا${\displaystyle f}$مسطح بشكل دقيق وله بعض خصائص التناهي؛ على سبيل المثال، تشاكل fpqc .

• مجمع أميتسور
• مخطط هيلبرت
• مخطط الاقتباس

• SGA 1 ، Exposé VIII - هذا هو المرجع الرئيسي (لكنه يعتمد على نتيجة من جيرو (1964)، والتي حلت محل (بشكل أكثر عمومية) Exposé VII غير المنشور من SGA1).
• Deligne، P. (2007)، “Catégories tannakiennes”، The Grothendieck Festschrift، Volume II ، Modern Birkhäuser Classics، الصفحات من 111 إلى 195، دوى : 10.1007 / 978-0-8176-4575-5_3 ، ISBN  978-0-8176-4567-0
• جيرو ، جان (1964)، “طريقة النسب”، مذكرات شركة الرياضيات الفرنسية ، 2 : 1–150 ، دوى : 10.24033/msmf.2 ، MR 0190142 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• ستريت، روس (2004)، "الجوانب الفئوية والتوافقية لنظرية الانحدار"، الهياكل الفئوية التطبيقية ، 12 ( 5-6 ): 537-576 ، arXiv : math/0303175 ، doi : 10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36(مناقشة مفصلة لفئة ثنائية)
• فيستولي، أنجيلو (2 سبتمبر 2008). "ملاحظات حول طوبولوجيات غروتينديك، والفئات الليفية، ونظرية النزول" (PDF) .
• ووترهاوس، ويليام (1979)، مقدمة في مخططات الزمر الأفينية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  66، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 ، ISBN 978-0-387-90421-4، MR 0547117 

• https://mathoverflow.net/questions/444034/using-comonadicity-to-prove-faithfully-flat-descent