الانحدار (الرياضيات)

في الرياضيات ، يمتد مفهوم النزول ليشمل المفهوم البديهي لـ "اللصق" في علم الطوبولوجيا . وبما أن اللصق في علم الطوبولوجيا هو استخدام علاقات التكافؤ على الفضاءات الطوبولوجية ، فإن النظرية تبدأ ببعض الأفكار حول التحديد.

تُعد حالة بناء حزم المتجهات من البيانات على اتحاد منفصل للفضاءات الطوبولوجية نقطة انطلاق مباشرة.

لنفترض أن X فضاء طوبولوجي مغطى بمجموعات مفتوحة Xᵢ _. ولتكن Y الاتحاد المنفصل لـ Xᵢ _، بحيث يوجد تطبيق طبيعي

${\displaystyle p:Y\rightarrow X.}$

نعتبر Y "فوق" X ، حيث يكون إسقاط Xᵢ _" أسفل" على X. وفقًا لهذا المفهوم، يستلزم النزول وجود حزمة متجهة على Y (أي حزمة معطاة على كل Xᵢ ₎ ، وهدفنا هو "دمج" هذه الحزم Viᵢ _، لتكوين حزمة واحدة V على X. بمعنى آخر، يجب أن تُعيد Vᵢ ، عند تقييدها على Xᵢ _، الحزمة Viᵢ _، مع مراعاة تماثل الحزم.

البيانات المطلوبة هي كالتالي: في كل تداخل

${\displaystyle X_{ij},}$

عند تقاطع X _i و X _j ، سنحتاج إلى عمليات ربط

${\displaystyle f_{ij}:V_{i}\rightarrow V_{j}}$

يُستخدم لتحديد V _i و V _j هناك، ليفًا ليفًا. علاوة على ذلك، يجب أن تستوفي f _ij شروطًا تستند إلى الخصائص الانعكاسية والتناظرية والمتعدية لعلاقة التكافؤ (شروط الربط). على سبيل المثال، التركيب

${\displaystyle f_{jk}\circ f_{ij}=f_{ik}}$

لضمان التعدي (واختيار الترميز المناسب). يجب أن تكون الدوال f _ii دوال تطابق، وبالتالي يصبح التناظر${\displaystyle f_{ij}=f_{جي}^{-1}}$(بحيث يكون متماثلاً من حيث الألياف).

هذه بالفعل شروط قياسية في نظرية حزم الألياف (انظر خريطة الانتقال ). ومن التطبيقات المهمة التي تجدر الإشارة إليها تغيير الألياف  : إذا كانت الألياف f_{_ij} هي كل ما تحتاجه لتكوين حزمة، فهناك طرق عديدة لتكوين حزمة مرتبطة بها . أي أنه يمكننا أخذ نفس الألياف f_{_ij} تقريبًا ، مع تطبيقها على ألياف مختلفة.

نقطة رئيسية أخرى هي العلاقة بقاعدة السلسلة : يمكن تلخيص مناقشة طريقة بناء حقول الموتر على النحو التالي: "بمجرد أن تتعلم كيفية النزول في حزمة المماس ، والتي تكون فيها خاصية التعدي هي قاعدة سلسلة جاكوبي ، فإن الباقي هو مجرد "طبيعية بناءات الموتر"".

وللاقتراب أكثر من النظرية المجردة، نحتاج إلى تفسير الاتحاد المنفصل لـ

${\displaystyle X_{ij}}$

الآن كما

${\displaystyle Y\times _{X}Y,}$

ناتج الألياف ( هنا مُعادل ) لنسختين من الإسقاط p . الحزم الموجودة على X _ij التي يجب أن نتحكم بها هي V _i و V _j ، وهي عمليات السحب العكسي إلى ألياف V عبر خريطتي الإسقاط المختلفتين إلى X.

لذا، بالانتقال إلى مستوى أكثر تجريدًا، يمكن حذف الجانب التوافقي (أي استبعاد المؤشرات) والحصول على شيء منطقي لـ p ليس من النوع الخاص للتغطية الذي بدأنا به. وهذا يسمح باتباع نهج نظرية الفئات : ما تبقى هو إعادة صياغة شروط الربط.

طُوِّرت هذه الأفكار خلال الفترة من 1955 إلى 1965 (وهي الفترة التي استُوفيت فيها متطلبات الطوبولوجيا الجبرية، بينما لم تُستوفَ متطلبات الهندسة الجبرية ). ومن منظور نظرية الفئات المجردة، يُعدّ عمل بيك حول المونادات المشتركة بمثابة تلخيص لتلك الأفكار؛ انظر نظرية المونادية لبيك .

تُعدّ صعوبات الهندسة الجبرية في الانتقال إلى خارج القسمة بالغة الأهمية. وتُفسّر هذه الأهمية المُلِحّة (إن صحّ التعبير) للمشكلة بالنسبة لعلماء الهندسة عنوان ندوة غروتينديك لعام 1959 بعنوان TDTE حول نظريات النزول وتقنيات الوجود (انظر FGA )، والتي تربط مسألة النزول بمسألة الدالة القابلة للتمثيل في الهندسة الجبرية بشكل عام، ومسألة المعاملات بشكل خاص.

يترك${\displaystyle p:X'\to X}$كل حزمة F على X تُنتج بيانات هبوط

${\displaystyle (F'=p^{*}F,\alpha :p_{0}^{*}F'\simeq p_{1}^{*}F'),\,p_{i}:X''=X'\times _{X}X'\to X'}$،

أين${\displaystyle \alpha }$يفي بشرط الدورة المشتركة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p_{02}^{*}\alpha =p_{12}^{*}\alpha \circ p_{01}^{*}\alpha ,\,p_{ij}:X'\times _{X}X'\times _{X}X'\to X'\times _{X}X'}$.

يقول التسلسل الأمين تمامًا: الدالة${\displaystyle F\mapsto (F',\alpha )}$هو مخلص تمامًا. تحدد نظرية النزول الشروط التي يكون فيها النزول مخلصًا تمامًا، ومتى يكون هذا المؤثر تكافؤًا بين الفئات.

• اتصال غروتينديك
• المكدس (الرياضيات)
• الانحدار الغالوي
• طوبولوجيا غروتينديك
• فئة الألياف
• نظرية بيك للمونادية
• النسب المتجانس
• نزول مسطح بشكل كامل
• النسب الأحادي

• SGA 1 ، الفصل الثامن - هذا هو المرجع الرئيسي
• سيغفريد بوش ؛ فيرنر لوتكيبوهميرت؛ ميشيل رينو (1990). نماذج نيرون . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. المجلد.  21. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3540505873. يُعدّ فصلٌ عن نظرية الانحدار أكثر سهولةً من فصلٍ عن خوارزمية SGA.
• بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر، محرران. (2004). الأسس الفئوية. موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 . 

وتشمل المصادر المحتملة الأخرى ما يلي:

• أنجيلو فيستولي ، ملاحظات حول طوبولوجيات غروتينديك، والفئات الليفية، ونظرية النزول arXiv : math.AG/0412512
• ماتيو روماني، طريق مباشر إلى الأكوام الجبرية

• ما هي نظرية النسب؟