طوبولوجيا زاريسكي

في الهندسة الجبرية والجبر التبادلي ، تُعرَّف طوبولوجيا زاريسكي على الكائنات الهندسية المعروفة باسم المتنوعات . وهي تختلف اختلافًا كبيرًا عن الطوبولوجيات الشائعة الاستخدام في التحليل الحقيقي أو المركب ؛ فهي ليست طوبولوجيا هاوسدورف على وجه الخصوص . ^{[ 1 ]} وقد طُوِّرت هذه الطوبولوجيا في الأساس على يد أوسكار زاريسكي ، ثم عُمِّمت لاحقًا لجعل مجموعة المُثُل الأولية لحلقة تبادلية (والتي تُسمى طيف الحلقة) فضاءً طوبولوجيًا.

تتيح طوبولوجيا زاريسكي استخدام أدوات من الطوبولوجيا لدراسة الأصناف الجبرية ، حتى عندما لا يكون الحقل الأساسي حقلاً طوبولوجياً . هذه إحدى الأفكار الأساسية لنظرية المخططات ، التي تسمح ببناء أصناف جبرية عامة عن طريق ربط الأصناف الأفينية بطريقة مشابهة لتلك الموجودة في نظرية المتشعبات ، حيث تُبنى المتشعبات عن طريق ربط المخططات ، وهي مجموعات فرعية مفتوحة من الفضاءات الأفينية الحقيقية .

تُعرَّف طوبولوجيا زاريسكي لمتنوعة جبرية بأنها الطوبولوجيا التي تكون مجموعاتها المغلقة هي المجموعات الجزئية الجبرية للمتنوعة. ^{[ 1 ]} في حالة التنوعة الجبرية على الأعداد المركبة ، تكون طوبولوجيا زاريسكي بالتالي أكثر خشونة من الطوبولوجيا المعتادة، حيث أن كل مجموعة جبرية مغلقة في الطوبولوجيا المعتادة.

يُستنتج تعميم طوبولوجيا زاريسكي لمجموعة المُثُل الأولية في حلقة تبديلية من نظرية هيلبرت للنقاط الصفرية ، التي تُثبت وجود تقابل ثنائي بين نقاط مُتنوعة أفينية مُعرّفة على حقل مُغلق جبريًا والمُثُل القصوى في حلقة دوالها المُنتظمة . ويُشير هذا إلى تعريف طوبولوجيا زاريسكي على مجموعة المُثُل القصوى في حلقة تبديلية على أنها الطوبولوجيا التي تكون فيها مجموعة المُثُل القصوى مُغلقة إذا وفقط إذا كانت مجموعة جميع المُثُل القصوى التي تحتوي على مُثُل مُعينة. ومن الأفكار الأساسية الأخرى لنظرية المخططات لغروتينديك اعتبار جميع المُتنوعات الجبرية (غير القابلة للاختزال) التي تُقابل المُثُل الأولية، بالإضافة إلى النقاط المُعتادة المُقابلة للمُثُل القصوى. وبالتالي فإن طوبولوجيا زاريسكي على مجموعة المثاليات الأولية (الطيف) لحلقة تبديلية هي الطوبولوجيا التي تكون فيها مجموعة المثاليات الأولية مغلقة إذا وفقط إذا كانت مجموعة جميع المثاليات الأولية التي تحتوي على مثالي ثابت.

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية (أي ذلك الجزء من الهندسة الجبرية الذي لا يستخدم المخططات ، التي قدمها غروتينديك حوالي عام 1960)، تُعرَّف طوبولوجيا زاريسكي على المتنوعات الجبرية . ^{[ 2 ]} طوبولوجيا زاريسكي، المُعرَّفة على نقاط المتنوع، هي الطوبولوجيا التي تكون فيها المجموعات المغلقة هي المجموعات الجزئية الجبرية من المتنوع. ولأن أبسط المتنوعات الجبرية هي المتنوعات الأفينية والإسقاطية ، فمن المفيد توضيح هذا التعريف في كلتا الحالتين. نفترض أننا نعمل على حقل k ثابت ومغلق جبريًا (في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، يكون k عادةً حقل الأعداد المركبة ).

في الهندسة الجبرية الحديثة، غالبًا ما يُمثَّل التنوع الجبري بمخططه المرتبط به ، وهو فضاء طوبولوجي (مزود ببنى إضافية) متماثل موضعيًا مع طيف حلقة . ^{[ 3 ]} طيف حلقة تبديلية${\displaystyle A,}$يُشار إليه${\displaystyle \operatorname {Spec} A,}$هي مجموعة المُثُل العليا لـ${\displaystyle A,}$مجهزة بطوبولوجيا زاريسكي ، والتي تكون مجموعاتها المغلقة هي المجموعات $${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}.}$$ أين${\displaystyle I}$إنه مثال يُحتذى به. الكتابة مرة أخرى${\displaystyle V(f)=V((f)),}$المجموعات المفتوحة المتميزة (أو المجموعات المفتوحة الرئيسية أو الأساسية )${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$هي المجموعات${\displaystyle D(f)=(\operatorname {Spec} A)\setminus V(f)}$للعناصر${\displaystyle f\in A.}$تشكل هذه المجموعات أساسًا لطوبولوجيا زاريسكي.

ولرؤية الصلة بالصورة الكلاسيكية، لاحظ أنه لأي مجموعة${\displaystyle S}$بالنسبة لكثيرات الحدود (على حقل مغلق جبريًا)، يتبين من نظرية هيلبرت الصفرية أن نقاط${\displaystyle V(S)}$(بالمعنى القديم) هي بالضبط المجموعات المرتبة${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in k^{n}}$بحيث يكون المثال الناتج عن كثيرات الحدود${\displaystyle x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}}$يتضمن${\displaystyle S;}$علاوة على ذلك، هذه مُثُلٌ عظمى، وبحسب نظرية "النقاط الصفرية الضعيفة"، يكون المُثُل في أي حلقة إحداثيات أفينية عظمى إذا وفقط إذا كان من هذا الشكل. وبالتالي،${\displaystyle V(S)}$هو "نفس" المُثُل العليا التي تحتوي${\displaystyle S.}$لنكن أكثر وضوحاً، دع${\displaystyle \operatorname {Spm} A}$ليكن الطيف الأقصى لحلقة تبديلية${\displaystyle A,}$مجموعة مُثُلها القصوى، ولتكن${\displaystyle k}$ليكن حقلاً مغلقاً جبرياً. إذا${\displaystyle I}$إذا كان مثالياً، فإنه وفقاً للتعريف الكلاسيكي لـ${\displaystyle V(\cdot ),}$توجد علاقات فردية $${\displaystyle V(I)\leftrightarrow \{{\mathfrak {m}}\in \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}\leftrightarrow \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$$ مقدم من $${\displaystyle a\leftrightarrow (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\leftrightarrow ({\overline {x_{1}}}-a_{1},\dots ,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$$ ل${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),}$أين${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$هل هذه صور${\displaystyle x_{i}}$تحت الإسقاط الطبيعي${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I.}$لو${\displaystyle I}$إذا كان ذلك مثالاً جذرياً ،${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$هي حلقة الإحداثيات${\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(V)}$ل${\displaystyle V=V(I),}$والتي يمكن اعتبارها حلقة الدوال متعددة الحدود${\displaystyle f:V\to k,}$الدوال المنتظمة العامة على${\displaystyle V.}$

تمثلت ابتكارات غروتينديك في تعريف Spec للحلقات التبادلية العامة في استبدال المُثُل القصوى بجميع المُثُل الأولية؛ في هذه الصياغة، من الطبيعي ببساطة تعميم التناظر بين المجموعة المغلقة${\displaystyle V(I)}$في الفضاء الأفيني ومجموعة جزئية من الطيف الأقصى لحلقة كثيرات الحدود التي تحتوي${\displaystyle I}$إلى تعريف المجموعة المغلقة في الطيف (الأول) لحلقة في الحالة التبادلية العامة.

في نهج آخر، نلاحظ أولاً أنه يمكننا إعادة تفسير متعددة الحدود${\displaystyle f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$(${\displaystyle k}$(مغلقة جبريًا مرة أخرى) كدالة $${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}\colon \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {m}}\cong k}$$ رسم الخرائط $${\displaystyle {\mathfrak {m}}\mapsto f{\bmod {\mathfrak {m}}}=f(a),}$$ أين${\displaystyle a\in k^{n}}$هي النقطة التي${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$يتوافق ذلك عبر نظرية Nullstellensatz الضعيفة . بعبارة أخرى، نقوم برسم صورة للمثالي${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$ل${\displaystyle f}$تم تقييمها في${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in k^{n}.}$يمكننا حينها اعتبار عنصر من حلقة كثيرات الحدود بمثابة دالة على المُثُل القصوى لحلقة كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، نلاحظ أن $${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0\iff f\in {\mathfrak {m}},}$$ أو، بالتعميم إلى الوضع المثالي${\displaystyle I,}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0,\quad \forall f\in I\iff {\mathfrak {m}}\supseteq I.}$وبالتالي يمكننا أن نرى${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\in \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}}$باعتبارها مجموعة مشتركة من "النقاط" التي تُطبَّق عليها جميع "الوظائف".${\displaystyle f\in I}$(بشكل أدق،${\displaystyle \{\operatorname {ev} _{f}\}_{f\in I}}$) تختفي.

بتعميم هذا النهج على الحلقات التبادلية العشوائية، هناك طريقة أخرى لتفسير التعريف الحديث (ربما تكون أقرب إلى التعريف الأصلي) وهي إدراك أن عناصر${\displaystyle A}$يمكن اعتبارها في الواقع وظائف مبنية على مُثُلها الأساسية،${\displaystyle \operatorname {Spec} A.}$ببساطة، أي مثال أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$له حقل متبقٍ مقابل ، وهو حقل كسور ناتج القسمة${\displaystyle A/{\mathfrak {p}},}$وأي عنصر من${\displaystyle A}$يحتوي هذا الحقل المتبقي على صورة. علاوة على ذلك، فإن العناصر الموجودة فعليًا في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هم تحديداً أولئك الذين تختفي صورتهم عند${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$لذا إذا فكرنا في الخريطة، المرتبطة بأي عنصر${\displaystyle \alpha }$ل${\displaystyle A}$:$${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }\colon {\bigl (}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {\alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/{\mathfrak {p}})\right)}$$ (تقييم${\displaystyle \alpha }$"), الذي يخصص لكل مثالي أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$صورة${\displaystyle \alpha }$في مجال البقايا من${\displaystyle {\mathfrak {p}},}$كوظيفة على${\displaystyle \operatorname {Spec} A,}$الذين قد تكمن قيمهم، بلا شك، في مجالات مختلفة في أوقات مختلفة، ثم لدينا $${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0\iff \alpha \in {\mathfrak {p}}.}$$ وبشكل أعم، بالنسبة لأي مثالي${\displaystyle I,}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0,\quad \forall \alpha \in I\iff {\mathfrak {p}}\supseteq I,}$لذا${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}}$هي مجموعة مشتركة من "النقاط" التي تُطبق عليها جميع "الدوال".${\displaystyle \alpha \in I}$يختفي، وهو ما يُشابه شكليًا التعريف الكلاسيكي. في الواقع، كما ذُكر أعلاه، يتفقان بمعنى أنه عندما${\displaystyle A}$هي حلقة كثيرات الحدود فوق حقل مغلق جبريًا${\displaystyle k,}$المثل العليا لـ${\displaystyle A}$يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle n}$- صفوف من عناصر${\displaystyle k,}$حقول البقايا الخاصة بهم هي فقط${\displaystyle k,}$وخرائط "التقييم" هي في الواقع تقييم لكثيرات الحدود عند القيم المقابلة.${\displaystyle n}$-tuples. في هذه الحالة الخاصة، يكون التعريف الكلاسيكي هو في الأساس التعريف الحديث مع مراعاة المُثُل القصوى فقط، ويتفق تفسير التعريف الحديث على أنه "مجموعات صفرية من الدوال" مع التعريف الكلاسيكي حيثما يكون كلاهما منطقيًا.

كما يحلّ بناء Spec محلّ المتنوعات الأفينية، يحلّ بناء Proj محلّ المتنوعات الإسقاطية في الهندسة الجبرية الحديثة. وكما في الحالة الكلاسيكية، للانتقال من التعريف الأفيني إلى التعريف الإسقاطي، يكفي استبدال "المثالي" بـ"المثالي المتجانس"، مع وجود تعقيد يتعلق بـ"المثالي الأقصى غير ذي الصلة"، والذي نوقش في المقالة المذكورة.

أمثلة

• المواصفات${\displaystyle k,}$طيف المجال${\displaystyle k}$هو الفضاء الطوبولوجي ذو العنصر الواحد.
• المواصفات${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$يحتوي طيف الأعداد الصحيحة على نقطة مغلقة لكل عدد أولي${\displaystyle p}$يتوافق مع المثال الأقصى${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} ,}$ونقطة عامة واحدة غير مغلقة (أي أن إغلاقها هو الفضاء بأكمله) تتوافق مع المثالي الصفري${\displaystyle (0).}$إذن، المجموعات الفرعية المغلقة من Spec${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي بالضبط الفضاء بأكمله والاتحادات المحدودة للنقاط المغلقة.
• المواصفات${\displaystyle k[t],}$طيف حلقة كثيرات الحدود على حقل${\displaystyle k}$من المعروف أن حلقة كثيرات الحدود هذه هي مجال مثالي رئيسي ، وأن كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال هي العناصر الأولية لـ${\displaystyle k[t].}$لو${\displaystyle k}$إذا كان حقل الأعداد المركبة مغلقًا جبريًا ، فإن كثير الحدود غير الثابت يكون غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان خطيًا، على الصورة${\displaystyle t-a,}$لبعض العناصر${\displaystyle a}$ل${\displaystyle k.}$إذن، يتكون الطيف من نقطة مغلقة واحدة لكل عنصر${\displaystyle a}$ل${\displaystyle k}$ونقطة عامة، تقابل المثالي الصفري، ومجموعة النقاط المغلقة متماثلة شكليًا مع الخط الأفيني${\displaystyle k}$مزودة بطوبولوجيا زاريسكي الخاصة بها. وبسبب هذا التشاكل، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح الخط الأفيني لوصف طيف${\displaystyle k[t].}$لو${\displaystyle k}$إذا لم يكن حقل الأعداد الحقيقية مغلقًا جبريًا، على سبيل المثال حقل الأعداد الحقيقية ، يصبح الوضع أكثر تعقيدًا بسبب وجود كثيرات حدود غير خطية غير قابلة للاختزال . في هذه الحالة، يتكون الطيف من نقطة مغلقة واحدة لكل كثيرة حدود أحادية غير قابلة للاختزال، ونقطة عامة تُقابل المثالي الصفري. على سبيل المثال، طيف${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$يتكون من النقاط المغلقة${\displaystyle (x-a),}$ل${\displaystyle a}$في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$النقاط المغلقة${\displaystyle (x^{2}+px+q)}$أين${\displaystyle p,q}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$ومع التمييز السلبي${\displaystyle p^{2}-4q<0,}$وأخيراً نقطة عامة${\displaystyle (0).}$بالنسبة لأي حقل، فإن المجموعات الفرعية المغلقة من Spec${\displaystyle k[t]}$هي اتحادات محدودة من النقاط المغلقة، والفضاء بأكمله.

• الفضاء الطيفي