نظرية فيرما للأعداد المضلعة

في نظرية الأعداد الجمعية ، تنص نظرية فيرما للأعداد المضلعية على أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع عدد من الأعداد المضلعية من الرتبة n على الأكثر . أي أن كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كمجموع ثلاثة أعداد مثلثية أو أقل ، وكمجموع أربعة أعداد مربعة أو أقل ، وكمجموع خمسة أعداد خماسية أو أقل ، وهكذا. أي أن الأعداد المضلعية من الرتبة n تُشكل أساسًا جمعيًا من الرتبة n .

على سبيل المثال، تظهر أدناه ثلاثة من هذه التمثيلات للرقم 17:

• 17 = 10 + 6 + 1 ( أعداد مثلثية )
• 17 = 16 + 1 ( أعداد مربعة )
• 17 = 12 + 5 ( الأعداد الخماسية ).

سُميت النظرية نسبةً إلى بيير دي فيرما ، الذي ذكرها عام 1638 دون برهان، ووعد بكتابتها في عمل منفصل لم يُنشر قط. ^{[ 1 ]} برهن جوزيف لويس لاغرانج على الحالة المربعة عام 1770، والتي تنص على أن كل عدد موجب يمكن تمثيله كمجموع أربعة مربعات، على سبيل المثال، 7 = 4 + 1 + 1 + 1. [ ^{1 ] برهن} غاوس على الحالة المثلثية عام 1796، وخلّد هذه المناسبة بكتابة عبارة " إيريكا! العدد = Δ + Δ + Δ " في مذكراته ، ^{[ 2 ]} ونشر برهانًا في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" . لهذا السبب، تُعرف نتيجة غاوس أحيانًا باسم نظرية يوريكا . ^{[ 3 ]} لم يتم حل نظرية الأعداد المضلعية بالكامل حتى أثبتها كوشي أخيرًا في عام 1813. ^{[ 1 ]} يعتمد برهان ناثانسون (1987) على اللمة التالية التي وضعها كوشي:

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة الفردية a و b بحيث b ² < 4 a و 3 a < b ² + 2 b + 4 يمكننا إيجاد أعداد صحيحة غير سالبة s و t و u و v بحيث a = s ² + t ² + u ² + v ² و b = s + t + u + v .

• نظرية الأعداد المضلعية المركزية
• تخمينات بولوك
• مشكلة وارينغ

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية فيرما للأعداد المضلعة" . عالم الرياضيات .
• هيث، السير توماس ليتل (1910)، ديوفانتوس الإسكندري؛ دراسة في تاريخ الجبر اليوناني ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص  188.
• ناثانسون، ميلفين ب. (1987)، "برهان مختصر لنظرية كوشي للأعداد المضلعة"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 99 (1): 22-24 ، doi : 10.2307/2046263 ، JSTOR 2046263 ، MR 0866422  .
• ناثانسون، ميلفين ب. (1996)، نظرية الأعداد الجمعية: الأسس الكلاسيكية ، برلين: سبرينغر ، ISBN 978-0-387-94656-6. يحتوي على براهين لنظرية لاغرانج ونظرية الأعداد المضلعة.