جوزيف لويس لاغرانج

كان لاغرانج، المولود البكر من بين أحد عشر طفلاً باسم جوزيبي لودوفيكو لاغرانجيا ، من أصول إيطالية وفرنسية. ^{[ 7 ]} كان جدّه الأكبر لأبيه نقيبًا فرنسيًا في سلاح الفرسان، وتعود أصول عائلته إلى منطقة تور الفرنسية . ^{[ 7 ]} بعد خدمته في عهد لويس الرابع عشر ، انضم إلى خدمة شارل إيمانويل الثاني ، دوق سافوي ، وتزوج من امرأة من عائلة كونتي النبيلة في روما. ^{[ 7 ]} كان والد لاغرانج، جوزيبي فرانشيسكو لودوفيكو، حاصلاً على دكتوراه في القانون من جامعة تورينو ، بينما كانت والدته الابنة الوحيدة لطبيب ثري من كامبيانو ، في ريف تورينو . ^{[ 7 ] [ 10 ]} نشأ لاغرانج كاثوليكيًا (لكنه أصبح لاحقًا لا أدريًا ). ^{[ 11 ]}

كان من المفترض أن يتمتع والده، المسؤول عن خزينة الملك العسكرية وأمين صندوق مكتب الأشغال العامة والتحصينات في تورينو، بمكانة اجتماعية مرموقة وثروة طائلة، لكنه خسر معظم ممتلكاته في مضاربات قبل أن يبلغ ابنه سن الرشد. وقد خطط والده لابنه لامتهان المحاماة، ^{[ 7 ]} ويبدو أن لاغرانج قد قبل ذلك برضا. درس في جامعة تورينو ، وكانت مادته المفضلة هي اللاتينية الكلاسيكية. في البداية، لم يكن لديه شغف كبير بالرياضيات، إذ وجد الهندسة اليونانية مملة نوعًا ما.

لم يُبدِ لاغرانج أي ميلٍ للرياضيات إلا في سن السابعة عشرة، إذ أثار اهتمامه بهذا الموضوع بحثٌ لإدموند هالي من عام ١٦٩٣ ^{[ ١٢ ]} عثر عليه صدفةً. انكبّ على دراسة الرياضيات بمفرده ودون مساعدة، وبعد عامٍ من العمل الدؤوب، أصبح رياضيًا بارعًا. عيّن الملك تشارلز إيمانويل الثالث لاغرانج أستاذًا مساعدًا للرياضيات في الأكاديمية العسكرية الملكية لنظرية وممارسة المدفعية عام ١٧٥٥، حيث درّس التفاضل والتكامل والميكانيكا لدعم تبني جيش بيدمونت المبكر لنظريات المقذوفات لبنيامين روبنز وليونهارد أويلر . وبهذا المنصب، كان لاغرانج أول من درّس التفاضل والتكامل في كلية هندسية. بحسب أليساندرو باباتشينو دانتوني ، القائد العسكري للأكاديمية ومنظر المدفعية الشهير، فقد أثبت لاغرانج، للأسف، أنه أستاذٌ مثيرٌ للمشاكل بسبب أسلوبه التدريسي غير المبال، وتفكيره المجرد، ونفاد صبره تجاه تطبيقات المدفعية وهندسة التحصين. ^{[ 13 ]} وكان فرانسوا دافييه أحد طلابه في هذه الأكاديمية . ^{[ 14 ]}

بحلول عام 1756، حاول أويلر وموبيرتوي ، بعد أن لمسا موهبة لاغرانج الرياضية، إقناعه بالقدوم إلى برلين، لكنه رفض العرض بخجل. وفي عام 1765، تدخل دالمبير نيابةً عن لاغرانج لدى فريدريك ملك بروسيا ، وطلب منه برسالة مغادرة تورينو لتولي منصب أكثر أهمية في برلين. فرفض العرض مجددًا، وردّ قائلًا: ^{[ 17 ] : 361}

يبدو لي أن برلين لن تكون مناسبة لي على الإطلاق طالما أن السيد أويلر موجود هناك .

في عام ١٧٦٦، بعد أن غادر أويلر برلين متوجهًا إلى سانت بطرسبرغ ، كتب فريدريك بنفسه إلى لاغرانج معربًا عن رغبة "أعظم ملك في أوروبا" في استضافة "أعظم رياضي في أوروبا" في بلاطه. اقتنع لاغرانج أخيرًا. أمضى السنوات العشرين التالية في بروسيا ، حيث أنتج سلسلة طويلة من الأبحاث نُشرت في صحيفتي برلين وتورينو، وألّف عمله الضخم "الميكانيكا التحليلية" . في عام ١٧٦٧، تزوج من ابنة عمه فيتوريا كونتي.

كان لاغرانج من المقربين للملك، الذي كان يُلقي عليه محاضراتٍ متكررة حول مزايا الانتظام التام في الحياة. تقبّل لاغرانج الدرس، ودرس عقله وجسده كما لو كانا آلتين، وجرّب ليجد مقدار العمل الذي يستطيع إنجازه قبل أن يُنهك. كان يُحدد لنفسه كل ليلة مهمةً مُعينةً لليوم التالي، وعند إتمام أي فرع من فروع الموضوع، كان يكتب تحليلًا موجزًا ​​ليرى ما هي النقاط في البراهين أو في المادة العلمية التي يُمكن تحسينها. كان يُخطط لأوراقه بعناية قبل كتابتها، وعادةً دون أن يمحو أو يُصحح أي شيء.

مع ذلك، خلال سنوات إقامته في برلين، كانت صحة لاغرانج متدهورة، وكانت صحة زوجته فيتوريا أسوأ حالاً. توفيت عام ١٧٨٣ بعد سنوات من المرض، ودخل لاغرانج في حالة اكتئاب شديد. وفي عام ١٧٨٦، توفي فريدريك الثاني، وأصبح مناخ برلين صعباً على لاغرانج. ^{[ ١٠ ]}

في عام ١٧٨٦، عقب وفاة فريدريك، تلقى لاغرانج دعوات مماثلة من دولٍ من بينها إسبانيا ونابولي ، فقبل عرض لويس السادس عشر بالانتقال إلى باريس. في فرنسا، استُقبل بكل مظاهر التقدير، ووُفرت له أجنحة خاصة في متحف اللوفر، وأصبح عضوًا في الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، التي أصبحت لاحقًا جزءًا من معهد فرنسا (١٧٩٥). في بداية إقامته في باريس، انتابته نوبة من الكآبة، حتى أن النسخة المطبوعة من كتابه "الميكانيكا" التي عمل عليها ربع قرن ظلت لأكثر من عامين دون أن تُفتح على مكتبه. أثار فضوله لمعرفة نتائج الثورة الفرنسية فضوله أولًا، وهو فضول سرعان ما تحول إلى قلق مع تطور الثورة.

في نفس الفترة تقريبًا، عام 1792، أثار الحزن الغامض الذي يكتنف حياته وخجله شفقة رينيه فرانسواز أديليد لو مونييه، ابنة صديقه عالم الفلك بيير شارل لو مونييه ، البالغة من العمر 24 عامًا . أصرت على الزواج منه، وأثبتت أنها زوجة مخلصة تعلق بها بشدة.

في سبتمبر 1793، بدأ عهد الإرهاب . وبتدخل من أنطوان لافوازييه ، الذي كان قد طُرد من الأكاديمية آنذاك مع العديد من العلماء الآخرين، استُثني لاغرانج تحديدًا بالاسم في مرسوم أكتوبر 1793 الذي أمر جميع الأجانب بمغادرة فرنسا. في 4 مايو 1794، أُلقي القبض على لافوازييه و27 من جامعي الضرائب الآخرين ، وحُكم عليهم بالإعدام، ونُفذ فيهم حكم الإعدام بالمقصلة بعد ظهر اليوم التالي للمحاكمة. قال لاغرانج عند وفاة لافوازييه:

لم يستغرق الأمر سوى لحظة لإسقاط هذا الرأس، ولن تكفي مئة عام لإنتاج مثله. ^{[ 10 ]}

على الرغم من أن لاغرانج كان يستعد للهروب من فرنسا ما دام الوقت متاحًا، إلا أنه لم يكن في أي خطر؛ فقد منحته الحكومات الثورية المختلفة ( ونابليون لاحقًا ) الأوسمة والامتيازات. ولعل هذا الحظ أو الأمان يعود إلى حد ما إلى موقفه من الحياة الذي عبّر عنه قبل سنوات عديدة: " أعتقد أن أحد المبادئ الأساسية لكل رجل حكيم هو الالتزام التام بقوانين البلد الذي يعيش فيه، حتى وإن كانت غير منطقية ". ^{[ 10 ]} وشهد على الاحترام الكبير الذي كان يحظى به عام 1796 عندما أُمر المفوض الفرنسي في إيطاليا بحضور مراسم رسمية لتهنئة والد لاغرانج، وتقديم تهاني الجمهورية على إنجازات ابنه، الذي "أشرف البشرية جمعاء بعبقريته، وكان فخرًا خاصًا لمدينة بيدمونت أن تنجبه". يُضاف إلى ذلك أن نابليون، عندما وصل إلى السلطة، شجع الدراسات العلمية في فرنسا بحماس، وكان من أبرز الداعمين لها. عُيّن سيناتورًا عام 1799، وكان أول من وقّع على مرسوم مجلس الشيوخ الذي ضمّ موطنه بيدمونت إلى فرنسا عام 1802. ^{[ 7 ]} وحصل على الجنسية الفرنسية نتيجةً لذلك. ^{[ 7 ]} ادّعى الفرنسيون أنه عالم رياضيات فرنسي، لكن الإيطاليين استمروا في اعتباره إيطاليًا. ^{[ 10 ]}

السنوات الأخيرة

في عام ١٨١٠، بدأ لاغرانج مراجعة شاملة لكتابه "الميكانيكا التحليلية" ، لكنه لم يتمكن من إكمال سوى ثلثيه تقريبًا قبل وفاته في باريس عام ١٨١٣، في ١٢٨ شارع فوبور سان أونوريه . وقد كرّمه نابليون بوسام الصليب الأكبر من وسام الإمبراطورية البريطانية في جزيرة ريونيون قبل وفاته بيومين فقط. ودُفن في العام نفسه في البانثيون بباريس. ونُقش على قبره ما يلي (مترجمًا):

جوزيف لويس لاغرانج. سيناتور. كونت الإمبراطورية. ضابط كبير في وسام جوقة الشرف. الصليب الأكبر من وسام الوحدة الإمبراطوري . عضو في معهد ومكتب خطوط الطول. وُلد في تورينو في 25  يناير 1736. توفي في باريس في 10  أبريل 1813.

بين عامي 1772 و1788، أعاد لاغرانج صياغة الميكانيكا الكلاسيكية/النيوتونية لتبسيط الصيغ وتسهيل الحسابات. وتُعرف هذه الميكانيكا باسم الميكانيكا اللاغرانجية .

مع ذلك، فقد ساهم بمعظم أبحاثه خلال هذه الفترة في الأكاديمية البروسية للعلوم . ويتناول العديد منها مسائل في الجبر .

• مناقشته لتمثيلات الأعداد الصحيحة بواسطة الأشكال التربيعية (1769) وبواسطة الأشكال الجبرية الأكثر عمومية (1770).
• رسالته حول نظرية الاستبعاد ، 1770.
• تنص نظرية لاغرانج على أن رتبة المجموعة الفرعية H من المجموعة G يجب أن تقسم رتبة G.
• أوراقه البحثية لعامي 1770 و1771 حول العملية العامة لحل المعادلات الجبرية من أي درجة باستخدام دوال لاغرانج . لا تُقدّم هذه الطريقة صيغة عامة لحلول المعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق، لأن المعادلة المساعدة المعنية تكون من درجة أعلى من المعادلة الأصلية. تكمن أهمية هذه الطريقة في أنها تُظهر الصيغ المعروفة لحل المعادلات من الدرجات الثانية والثالثة والرابعة كمظاهر لمبدأ واحد، وكانت أساسية في نظرية غالوا . الحل الكامل لمعادلة ذات حدين (أي معادلة من الشكل${\displaystyle ax^{n}}$±${\displaystyle b=0}$() يتم تناوله أيضًا في هذه الأوراق.
• في عام 1773، درس لاغرانج المحدد الوظيفي من الرتبة 3، وهو حالة خاصة من المحدد اليعقوبي . كما أثبت أن صيغة حجم رباعي الأوجه الذي يقع أحد رؤوسه عند نقطة الأصل تساوي سدس القيمة المطلقة للمحدد المتكون من إحداثيات الرؤوس الثلاثة الأخرى.

كما تتناول العديد من أوراقه البحثية المبكرة مسائل نظرية الأعداد.

• كان لاغرانج (1766-1769) أول أوروبي يثبت أن معادلة بيل x ² − ny ² = 1 لها حل غير تافه في الأعداد الصحيحة لأي عدد طبيعي غير مربع n . ^{[ 22 ]}
• لقد أثبت النظرية التي ذكرها باشيه دون تبرير، والتي مفادها أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع أربعة مربعات ، 1770.
• لقد أثبت نظرية ويلسون التي تنص على أنه (لأي عدد صحيح n > 1 ): n هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان ( n - 1)! + 1 من مضاعفات n ، 1771.
• قدمت أوراقه البحثية في أعوام 1773 و1775 و1777 أدلة على العديد من النتائج التي أعلنها فيرما، والتي لم يتم إثباتها من قبل.
• قام في بحثه في الحساب عام 1775 بتطوير نظرية عامة للأشكال التربيعية الثنائية للتعامل مع المشكلة العامة المتمثلة في متى يمكن تمثيل عدد صحيح بالشكل ax ² + by ² + cxy .
• لقد ساهم في نظرية الكسور المستمرة .

كما توجد العديد من المقالات حول نقاط مختلفة من الهندسة التحليلية . وفي اثنتين منها، كُتبتا في وقت لاحق، في عامي 1792 و1793، قام باختزال معادلات الأسطح التربيعية (أو المخروطية) إلى أشكالها القانونية .

خلال الفترة من عام 1772 إلى عام 1785، ساهم بسلسلة طويلة من الأبحاث التي أسست علم المعادلات التفاضلية الجزئية . وقد جُمع جزء كبير من هذه النتائج في الطبعة الثانية من كتاب أويلر في حساب التكامل، والذي نُشر عام 1794.

وأخيرًا، هناك العديد من الأبحاث حول مشاكل علم الفلك . ومن أهمها ما يلي:

• في محاولة لحل مشكلة الأجسام الثلاثة العامة ، مع الاكتشاف الناتج عن ذلك لحلين ثابتين، خطيين ومتساويي الأضلاع، 1772. وقد تبين لاحقًا أن هذه الحلول تفسر ما يُعرف الآن بنقاط لاغرانج .
• حول جاذبية الأشكال الإهليلجية، 1773: هذا مبني على عمل ماكلورين .
• في المعادلة العلمانية للقمر، 1773؛ ويُذكر أيضًا أنه أول من طرح فكرة الجهد. جهد الجسم عند أي نقطة هو مجموع كتل جميع عناصر الجسم مقسومًا على بُعدها عن تلك النقطة. بيّن لاغرانج أنه إذا عُرف جهد الجسم عند نقطة خارجية، يُمكن إيجاد قوة الجذب في أي اتجاه على الفور. وقد تم تفصيل نظرية الجهد في ورقة بحثية أُرسلت إلى برلين عام 1777.
• حول حركة عقد مدار الكوكب ، 1774.
• حول استقرار مدارات الكواكب، 1776.
• ورقتان بحثيتان تم فيهما شرح طريقة تحديد مدار المذنب من ثلاث ملاحظات بشكل كامل، 1778 و 1783: لم يثبت هذا عمليًا، لكن نظامه لحساب الاضطرابات عن طريق التربيعات الميكانيكية شكل أساس معظم الأبحاث اللاحقة حول هذا الموضوع.
• تحديده للتغيرات العلمانية والدورية لعناصر الكواكب ، 1781-1784: تتفق الحدود العليا المحددة لهذه العناصر بشكل وثيق مع تلك التي حصل عليها لو فيرييه لاحقًا ، وقد واصل لاغرانج عمله بقدر ما سمحت به المعرفة المتوفرة آنذاك بكتل الكواكب.
• ثلاث أوراق بحثية حول طريقة الاستيفاء، 1783 و1792 و1793: الجزء المتعلق بالفروق المحدودة الذي يتناول ذلك هو الآن في نفس المرحلة التي تركها لاغرانج فيها.

بالإضافة إلى هذه الأوراق المتنوعة، قام بتأليف أطروحته الأساسية، وهي الميكانيكا التحليلية .

في هذا الكتاب، يضع قانون العمل الافتراضي، ومن هذا المبدأ الأساسي، وبمساعدة حساب التفاضل والتكامل، يستنتج كل علم الميكانيكا ، سواء للمواد الصلبة أو السوائل.

يهدف الكتاب إلى إظهار أن الموضوع مُضمَّنٌ ضمنيًا في مبدأ واحد، وتقديم صيغ عامة يُمكن من خلالها الحصول على أي نتيجة مُحدَّدة. ولعلّ طريقة الإحداثيات المُعمَّمة التي توصَّل بها إلى هذه النتيجة هي أبرز نتائج تحليله. فبدلًا من تتبُّع حركة كل جزء على حدة من نظام مادي، كما فعل دالمبير وأويلر، بيّن أنه إذا حدَّدنا تكوينه بعدد كافٍ من المتغيرات x ، تُسمَّى بالإحداثيات المُعمَّمة ، والتي يُساوي عددها عدد درجات الحرية التي يمتلكها النظام، فإنه يُمكن التعبير عن طاقات الحركة والوضع للنظام بدلالة تلك المتغيرات، ومن ثمّ استنتاج المعادلات التفاضلية للحركة عن طريق التفاضل البسيط. فعلى سبيل المثال، في ديناميكا نظام صلب، يستبدل دراسة المسألة المُحدَّدة بالمعادلة العامة، التي تُكتب عادةً على الصورة التالية:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,}$

حيث يُمثل T الطاقة الحركية و V الطاقة الكامنة للنظام. ثم قدم ما نعرفه الآن باسم طريقة مُضاعفات لاغرانج - مع أن هذه ليست المرة الأولى التي تُنشر فيها هذه الطريقة - كوسيلة لحل هذه المعادلة. ^{[ 23 ]} من بين النظريات الثانوية الأخرى المذكورة هنا، يكفي ذكرُ أن الطاقة الحركية التي تُنقلها الدفعات المُعطاة إلى نظام مادي في ظل قيود مُعينة تكون في أقصى حد، ومبدأ الفعل الأدنى . كل التحليل أنيقٌ للغاية لدرجة أن السير ويليام روان هاميلتون قال إن العمل لا يُمكن وصفه إلا بأنه قصيدة علمية. لاحظ لاغرانج أن الميكانيكا هي في الواقع فرع من الرياضيات البحتة يُشابه هندسة رباعية الأبعاد، وهي الزمن والإحداثيات الثلاثة للنقطة في الفضاء؛ ويُقال إنه كان يفتخر بأنه لم يكن هناك رسم تخطيطي واحد من بداية العمل إلى نهايته. في البداية، لم يكن من الممكن العثور على طابع ينشر الكتاب؛ لكن ليجندر نجح في النهاية في إقناع شركة باريسية بتولي الأمر، وتم إصداره تحت إشراف لابلاس، وكوزين، وليجندر (المحرر) وكوندورسيه في عام 1788. ^{[ 10 ]}

تشكل محاضرات لاغرانج حول حساب التفاضل والتكامل في المدرسة المتعددة التقنيات أساس أطروحته "نظرية الدوال التحليلية" ، التي نُشرت عام 1797. هذا العمل هو امتداد لفكرة وردت في ورقة أرسلها إلى أوراق برلين عام 1772، وهدفه هو استبدال حساب التفاضل والتكامل بمجموعة من النظريات القائمة على تطوير الدوال الجبرية في متسلسلات، بالاعتماد بشكل خاص على مبدأ عمومية الجبر .

سبق أن استخدم جون لاندن أسلوبًا مشابهًا إلى حد ما في كتابه "التحليل المتبقي" الذي نُشر في لندن عام ١٧٥٨. اعتقد لاغرانج أنه يستطيع بذلك التغلب على الصعوبات المرتبطة باستخدام الكميات المتناهية الصغر والكبر، والتي اعترض عليها الفلاسفة في المعالجة المعتادة لحساب التفاضل والتكامل. ينقسم الكتاب إلى ثلاثة أجزاء: يتناول الأول منها النظرية العامة للدوال، ويقدم برهانًا جبريًا لنظرية تايلور ، إلا أن صحتها محل تساؤل؛ ويتناول الثاني تطبيقاتها في الهندسة؛ أما الثالث فيتناول تطبيقاتها في الميكانيكا.

ومن بين مؤلفاته الأخرى في نفس السياق كتابه " دروس في حساب الدوال" (Leçons sur le calcul des fonctions) ، الذي صدر عام 1804، وصدرت طبعته الثانية عام 1806. وفي هذا الكتاب، صاغ لاغرانج طريقته الشهيرة في مُضاعِفات لاغرانج ، في سياق مسائل حساب التفاضل والتكامل مع القيود التكاملية. ويمكن اعتبار هذه الأعمال المُخصصة لحساب التفاضل وحساب التفاضل والتكامل نقطة انطلاق لأبحاث كوشي ، وجاكوبي ، وويرستراس .

• 
  نسخة 1813 من "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  صفحة عنوان "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  مقدمة إلى "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  الصفحة الأولى من "Theorie des fonctions analytiques"

وفي فترة لاحقة، تبنى لاغرانج استخدام الكميات المتناهية في الصغر بشكل كامل بدلاً من تأسيس حساب التفاضل والتكامل على دراسة الأشكال الجبرية؛ وفي مقدمة الطبعة الثانية من كتاب " الميكانيكا التحليلية" ، التي صدرت عام 1811، يبرر استخدام الكميات المتناهية في الصغر، ويختتم بالقول:

عندما نستوعب روح الطريقة المتناهية الصغر، ونتحقق من دقة نتائجها إما بالطريقة الهندسية للنسب الأولية والنهائية، أو بالطريقة التحليلية للدوال المشتقة، يمكننا استخدام الكميات الصغيرة للغاية كوسيلة مؤكدة وقيمة لتقصير وتبسيط براهيننا.

كان كتابه "حل المعادلات العددية" ، الذي نُشر عام 1798، ثمرة محاضراته في المدرسة المتعددة التقنيات. وقدّم فيه طريقة تقريب الجذور الحقيقية للمعادلة باستخدام الكسور المستمرة ، وطرح العديد من النظريات الأخرى. وفي ملاحظة في نهاية الكتاب، بيّن كيف أن نظرية فيرما الصغرى ، أي

${\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}}$

حيث p عدد أولي و a عدد أولي بالنسبة لـ p ، يمكن تطبيق هذه الطريقة لإيجاد الحل الجبري الكامل لأي معادلة ذات حدين. كما يشرح هنا كيف يمكن استخدام المعادلة التي جذورها هي مربعات فروق جذور المعادلة الأصلية، وذلك للحصول على معلومات وافية حول موقع وطبيعة تلك الجذور.

شكّلت نظرية حركات الكواكب موضوعًا لبعضٍ من أبرز أبحاث لاغرانج في برلين. وفي عام ١٨٠٦، أعاد بواسون فتح هذا الموضوع ، حيث بيّن في ورقةٍ قُدّمت أمام الأكاديمية الفرنسية أن صيغ لاغرانج تُفضي إلى حدودٍ معينة لاستقرار المدارات. ناقش لاغرانج، الذي كان حاضرًا، الموضوع برمّته من جديد، وفي رسالةٍ أُرسلت إلى الأكاديمية عام ١٨٠٨، أوضح كيف يُمكن، من خلال تغيير ثوابتٍ اختيارية، تحديد المتباينات الدورية والعلمانية لأي نظامٍ من الأجسام المتفاعلة.