Disquisitiones Arithmeticae

كتاب "Disquisitiones Arithmeticae " (باللاتينية: Disquisitiones Arithmeticae ) هو كتابٌ فينظرية الأعداد،كتبهكارل فريدريش غاوسعام 1798، عندما كان غاوس في الحادية والعشرين من عمره، ونُشر عام 1801، عندما كان في الرابعة والعشرين. كان لهذا الكتاب أثرٌ ثوريٌّ على نظرية الأعداد، إذ جعل هذا المجالدقيقًاومنهجيًا، ومهّد الطريق لنظرية الأعداد الحديثة. في هذا الكتاب، جمع غاوس ووفق بين نتائج نظرية الأعداد التي توصل إليها علماء رياضيات بارزون مثلفيرما،وأويلر،ولاغرانج،وليجندر، وأضاف إليها نتائج عميقة وأصلية من ابتكاره.

يُغطي كتاب "Disquisitiones" كلاً من نظرية الأعداد الأولية وأجزاء من فرع الرياضيات المعروف الآن بنظرية الأعداد الجبرية . لم يُقرّ غاوس صراحةً بمفهوم المجموعة ، وهو مفهوم محوري في الجبر الحديث ، لذا لم يستخدم هذا المصطلح. وقد أطلق على موضوعه اسم "الحساب المتقدم". في مقدمته لكتاب "Disquisitiones" ، يصف غاوس نطاق الكتاب على النحو التالي:

تتعلق الاستفسارات التي سيبحثها هذا المجلد بذلك الجزء من الرياضيات الذي يهتم بالأعداد الصحيحة.

يكتب غاوس أيضًا: "عند مواجهة العديد من المشكلات الصعبة، تم قمع الاشتقاقات من أجل الإيجاز عندما يشير القراء إلى هذا العمل". (" Quod، in pluribus quaestionibus difficilibus، برهة التركيبية المستخدمة، analysinque per quam erutae sunt قمع، imprimis brevitatis studio tribuendum est، cui quantum fieri power consulere opportebat. ")

ينقسم الكتاب إلى سبعة أقسام:

1. الأعداد المتطابقة بشكل عام
2. تطابقات الدرجة الأولى
3. بقايا الصلاحيات
4. تطابقات الدرجة الثانية
5. الأشكال والمعادلات غير المحددة من الدرجة الثانية
6. تطبيقات متنوعة للمناقشات السابقة
7. المعادلات التي تحدد أقسام الدائرة

تنقسم هذه الأقسام إلى 366 بندًا مرقمًا، والتي تطرح نظرية مع برهان أو تطور ملاحظة أو فكرة بطريقة أخرى.

تُشكّل الأقسام من الأول إلى الثالث مراجعةً أساسيةً للنتائج السابقة، بما في ذلك نظرية فيرما الصغرى ، ونظرية ويلسون ، ووجود الجذور الأولية . ورغم أن القليل من النتائج الواردة في هذه الأقسام أصلية، إلا أن غاوس كان أول عالم رياضيات يجمع هذه المادة بطريقة منهجية. كما أدرك أهمية خاصية التحليل إلى عوامل وحيدة (التي تؤكدها النظرية الأساسية للحساب ، والتي درسها إقليدس لأول مرة )، والتي أعاد صياغتها وأثبتها باستخدام الأدوات الحديثة.

ابتداءً من القسم الرابع، يُعدّ جزء كبير من العمل أصليًا. يُقدّم القسم الرابع برهانًا على التبادلية التربيعية ؛ أما القسم الخامس، الذي يشغل أكثر من نصف الكتاب، فهو تحليل شامل للأشكال التربيعية الثنائية والثلاثية. يتضمن القسم السادس اختبارين مختلفين للأعداد الأولية . وأخيرًا، يُقدّم القسم السابع تحليلًا لكثيرات الحدود الدائرية ، ويختتم بتحديد المعايير التي تُحدّد أيّ المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء ، أي التي يُمكن إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة غير المُدرّجة فقط.

بدأ غاوس بكتابة قسم ثامن حول التطابقات من الرتب العليا، لكنه لم يُكمله، ونُشر بشكل منفصل بعد وفاته بعنوان " Disquisitiones generales de congruentiis" (باللاتينية: "دراسات عامة حول التطابقات"). ^{[ 1 ]} ناقش غاوس في هذا القسم التطابقات من أي درجة، متناولًا مشكلة التطابقات العامة من منظور وثيق الصلة بالمنظور الذي تبناه لاحقًا كل من ديديكيند ، وغالوا ، وإميل أرتين . مهدت هذه الرسالة الطريق لنظرية حقول الدوال على حقل ثوابت منتهٍ . ومن الأفكار الفريدة لهذه الرسالة الإقرار الواضح بأهمية تشاكل فروبينيوس ، وصيغة من مبرهنة هينسل .

كان كتاب "Disquisitiones" من آخر الأعمال الرياضية المكتوبة باللاتينية الأكاديمية . ولم تُنشر ترجمة إنجليزية له حتى عام 1965، على يد الباحث اليسوعي آرثر أ. كلارك. وكان كلارك أول عميد في حرم مركز لينكولن التابع لكلية فوردهام. ^{[ 2 ]}

قبل نشر كتاب "Disquisitiones" ، كانت نظرية الأعداد تتألف من مجموعة من النظريات والتخمينات المنفصلة. جمع غاوس أعمال أسلافه مع أعماله الأصلية في إطار منهجي، وسدّ الثغرات، وصحّح البراهين غير السليمة، ووسّع نطاق الموضوع بطرق عديدة.

شكّلت البنية المنطقية لكتاب "Disquisitiones" ( نص النظرية متبوعًا بالبرهان ، ثم النتائج ) معيارًا للنصوص اللاحقة. ومع إقراره بالأهمية القصوى للبرهان المنطقي، يُوضّح غاوس أيضًا العديد من النظريات بأمثلة عددية.

شكّلت كتاب " Disquisitiones" نقطة انطلاق للعديد من علماء الرياضيات الأوروبيين في القرن التاسع عشر، بمن فيهم إرنست كومر ، وبيتر غوستاف ليجون ديريشليه، وريتشارد ديديكيند . وتُعدّ العديد من تعليقات غاوس بمثابة إعلانات عن أبحاث أخرى أجراها، بعضها لم يُنشر. لا بدّ أنها بدت غامضة للغاية لمعاصريه؛ ويمكن الآن قراءتها على أنها تحمل بذور نظريات الدوال L والضرب المركب ، على وجه الخصوص. ^{[ 3 ]}

استمرت أبحاثه في التأثير خلال القرن العشرين. فعلى سبيل المثال، في القسم الخامس، المادة 303، لخص غاوس حساباته لأعداد الفئات للأشكال التربيعية الثنائية الأولية الصحيحة، وخمّن أنه وجد جميعها بأعداد الفئات 1 و2 و3 . فُسِّر هذا لاحقًا على أنه تحديد حقول الأعداد التربيعية التخيلية ذات المميز الزوجي وأعداد الفئات 1 و2 و3، ووُسِّع ليشمل حالة المميز الفردي. تُعرف هذه المسألة الأكثر عمومية أحيانًا بمسألة عدد الفئات ، وقد تأكدت في النهاية عام 1986 ^{[ 4 ]} (أما المسألة المحددة التي طرحها غاوس فقد أكدها لاندو عام 1902 ^{[ 5 ]} بالنسبة لعدد الفئات واحد). في القسم السابع، المادة 358، أثبت غاوس ما يمكن تفسيره على أنه أول حالة غير تافهة لفرضية ريمان للمنحنيات فوق الحقول المنتهية ( نظرية هاس-ويل ). ^{[ 6 ]}

• غاوس، كارل فريدريش (1801)، Disquisitiones Arithmeticae (باللاتينية)، لايبزيغ: Gerh. فلايشر
• غاوس، كارل فريدريش (1807) [1801]، Recherches Arithmétiques (بالفرنسية)، ترجمة Poullet-Delisle، A.-C.-M.، باريس: Coursier
• غاوس، كارل فريدريش (1889) [1801]، كارل فريدريش غاوس Unter suchungen über höhere Arithmetik (في الألمانية)، ترجمة Maser، H.، برلين: سبرينغرأُعيد طبعه عام 1965، نيويورك: تشيلسي، رقم ISBN 0-8284-0191-8
• غاوس، كارل فريدريش (1966) [1801]، بول جروث؛ Bressi، Todd W. (eds.)، Disquisitiones Arithmeticae (PDF) ، ترجمة كلارك، آرثر أ.، نيو هافن: ييل، دوى : 10.12987/9780300194258 ، ISBN 978-0-300-09473-2طبعة منقحة، 1986، نيويورك: سبرينغر، doi : 10.1007/978-1-4939-7560-0 ، ISBN 978-0-387-96254-2
• دونينغتون، جي. والدو (1935)، "غاوس، ودراساته الحسابية ، ومعاصروه في معهد فرنسا"، المجلة الوطنية للرياضيات ، 9 (7): 187-192 ، doi : 10.2307/3028190 ، JSTOR 3028190 
• الأماكن القريبة : الأماكن القريبة : شويرمر ، يواكيم (2010)، تشكيل الحساب بعد ابحاث CF غاوس Arithmeticae ، سبرينغر، ISBN 978-3-642-05802-8

• الوسائط المتعلقة بـ Disquisitiones Arithmeticae في ويكيميديا ​​​​كومنز
•  يحتوي موقع ويكي مصدر اللاتيني على النص الأصلي المتعلق بهذه المقالة: Disquisitiones arithmeticae (الأصل اللاتيني) (الطبعة الأولى 1801) (الطبعة 1870)
•  يحتوي موقع ويكي مصدر الفرنسي على النص الأصلي المتعلق بهذه المقالة: Recherches arithmétiques (الترجمة الفرنسية) (طبعة 1807)