كلمة فيبوناتشي فراكتال

كلمة فيبوناتشي "الكسرية" هي منحنى كسري معرف على المستوى من كلمة فيبوناتشي .

يتم بناء هذا المنحنى بشكل تكراري من خلال تطبيق قاعدة الرسم الفردي والزوجي على كلمة فيبوناتشي 0100101001001...:

لكل رقم في الموضع k :

1. إذا كان الرقم 0:
   • ارسم قطعة مستقيمة ثم أدرها 90 درجة إلى اليسار إذا كان k زوجيًا
   • ارسم قطعة مستقيمة ثم أدرها 90 درجة إلى اليمين إذا كان k فرديًا
2. إذا كان الرقم 1:
   • ارسم قطعة مستقيمة والتزم بالخط المستقيم

إلى كلمة فيبوناتشي ذات طول${\displaystyle F_{n}}$يرتبط العدد النوني من ^{متتالية} فيبوناتشي بمنحنى${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$مصنوع من${\displaystyle F_{n}}$القطاعات. يُظهر المنحنى ثلاثة جوانب مختلفة سواء كان n على شكل 3 k أو 3 k  + 1 أو 3 k  +  2.

تتضمن بعض خصائص الفراكتل اللفظي لفيبوناتشي ما يلي: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• المنحنى${\displaystyle {\mathcal {F_{n}}}}$يتضمن${\displaystyle F_{n}}$قطاعات،${\displaystyle F_{n-1}}$الزوايا القائمة و${\displaystyle F_{n-2}}$الزوايا المسطحة.
• لا يتقاطع المنحنى مع نفسه مطلقاً ولا يحتوي على نقاط مكررة. عند النهاية، يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المتقاربة تقاربياً.
• يُظهر المنحنى تشابهات ذاتية على جميع المقاييس. نسبة التخفيض هي${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$هذا الرقم، الذي يسمى أيضًا نسبة الفضة ، موجود في عدد كبير من الخصائص المدرجة أدناه.
• عدد حالات التشابه الذاتي عند المستوى n هو عدد فيبوناتشي -1  . (بشكل أدق:${\displaystyle F_{3n+3}-1}$).
• يحيط المنحنى بعدد لا نهائي من الهياكل المربعة ذات الأحجام المتناقصة بنسبة${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$(انظر الشكل). عدد تلك الهياكل المربعة هو عدد فيبوناتشي.
• المنحنى${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ويمكن أيضًا بناؤها بطرق مختلفة (انظر المعرض أدناه):
  • نظام الدوال المتكررة من 4 و 1 تجانس النسبة${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})}$و${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$
  • عن طريق ربط المنحنيات${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$و${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-2}}$
  • نظام ليندنماير
  • من خلال بناء متكرر لثمانية أنماط مربعة حول كل نمط مربع.
  • من خلال بناء متكرر للمضلعات الثمانية
• البعد الهاوسدورفي لكلمة فيبوناتشي "الكسرية" هو${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$، مع${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$النسبة الذهبية .
• التعميم إلى زاوية${\displaystyle \alpha }$بين 0 و${\displaystyle \pi /2}$، بُعد هاوسدورف الخاص به هو${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$، مع${\displaystyle a=\cos \alpha }$.
• بُعد هاوسدورف لحدودها هو${\displaystyle {\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$.
• يؤدي تبديل أدوار "0" و "1" في كلمة فيبوناتشي، أو في قاعدة الرسم، إلى منحنى مشابه، ولكنه موجه بزاوية 45 درجة.
• انطلاقًا من كلمة فيبوناتشي، يمكن تعريف «كلمة فيبوناتشي الكثيفة»، باستخدام أبجدية من ثلاثة أحرف: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (التسلسل A143667 في OEIS ) . ويحدد استخدام قاعدة رسم أبسط لهذه الكلمة مجموعة لا نهائية من أشكال المنحنى، من بينها:
  • "متغير قطري"
  • "نوع مختلف من الصليب المعقوف"
  • "نسخة صغيرة الحجم"
• يُعتقد أن كلمة فيبوناتشي الكسرية تظهر لكل كلمة ستورمية ينتهي ميلها، المكتوب بتوسع الكسر المستمر ، بتسلسل لا نهائي من  "1".

• 
  المنحنى بعد${\displaystyle \textstyle {F_{23}}}$التكرارات.
• 
  أوجه التشابه الذاتي على مستويات مختلفة.
• 
  أبعاد.
• 
  البناء بالتجاور (1)
• 
  البناء عن طريق التجاور (2)
• 
  الطلب رقم 18، مع تلوين بعض المستطيلات الفرعية.
• 
• 
  البناء عن طريق الحذف المتكرر للأنماط المربعة.
• 
  البناء باستخدام أشكال ثمانية الأضلاع متكررة.
• 
  يتم البناء عن طريق تجميع متكرر لثمانية أنماط مربعة حول كل نمط مربع.
• 
  بزاوية 60 درجة.
• 
  عكس "0" و "1".
• 
  المتغيرات الناتجة عن كلمة فيبوناتشي الكثيفة.
• 
  "النسخة المدمجة"
• 
  "نسخة الصليب المعقوف"
• 
  "النسخة القطرية"
• 
  " متغير π /8"
• 
  إبداع الفنان (صموئيل مونييه).

تجاور أربعة${\displaystyle F_{3k}}$تتيح المنحنيات إنشاء منحنى مغلق يحيط بسطح مساحته ليست معدومة. يُطلق على هذا المنحنى اسم "بلاطة فيبوناتشي".

• تكاد بلاطة فيبوناتشي أن تغطي المستوى بالكامل. فوضع أربع بلاطات متجاورة (انظر الرسم التوضيحي) يُخلّف في المركز مربعًا حرًا تقترب مساحته من الصفر عندما يقترب k من اللانهاية. وفي النهاية، تُغطي بلاطة فيبوناتشي اللانهائية المستوى بالكامل.
• إذا كانت البلاطة محاطة بمربع طول ضلعه 1، فإن مساحتها تميل إلى${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}=0.5857}$.

ندفة ثلج فيبوناتشي

ندفة الثلج فيبوناتشي هي بلاطة فيبوناتشي محددة بواسطة: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$لو${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {3}}}$
• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$خلاف ذلك.

مع${\displaystyle q_{0}=\epsilon }$و${\displaystyle q_{1}=R}$،${\displaystyle L=}$"انعطف يسارًا" و${\displaystyle R=}$"انعطف يمينًا"، و${\displaystyle {\overline {R}}=L}$.

العديد من الخصائص المميزة: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• إنها بلاطة فيبوناتشي المرتبطة بـ "النمط القطري" الذي تم تعريفه سابقًا.
• يقوم بتغطية السطح بأي ترتيب.
• يقوم بتقسيم المستوى عن طريق الإزاحة بطريقتين مختلفتين.
• محيطها عند الرتبة n يساوي${\displaystyle 4F(3n+1)}$، أين${\displaystyle F(n)}$هو العدد النوني ^{في متتالية} فيبوناتشي .
• تتبع مساحتها عند الرتبة n المؤشرات المتتالية للصف الفردي من متتالية بيل (المحددة بواسطة${\displaystyle P(n)=2P(n-1)+P(n-2)}$).

• النسبة الذهبية
• عدد فيبوناتشي
• كلمة فيبوناتشي
• قائمة الأشكال الكسورية حسب بُعد هاوسدورف

• " إنشاء شكل كسري لكلمات فيبوناتشي "، OnlineMathTools.com .