نسبة الفضة

⁠${\displaystyle \sigma }$⁠ هي الوحدة الأساسية للحقل التربيعي الحقيقي${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$مع التمييز${\displaystyle \Delta _{k}=8.}$الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} [\sigma ]{\text{ of }}K}$الأرقام${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ }}(a,b\in \mathbb {Z} ),}$مع المرافق${\displaystyle {\overline {\xi }}=(a+2b)-b\sigma ,}$معيار${\displaystyle \xi {\overline {\xi }}=(a+b)^{2}-2b^{2}}$وتتبع${\displaystyle \xi +{\overline {\xi }}=2(a+b).}$^{[ 7 ]} الأعداد الموجبة القليلة الأولى التي تظهر كمعيار هي 1، 2، 4، 7، 8، 9، 14، 16، 17، 18، 23، 25. ^{[ 8 ]} العمليات الحسابية فيالحلقة${\displaystyle O_{k}=\mathbb {Z} [\sigma ]}$يشبه ذلك الأعداد الصحيحة النسبية، أي عناصر ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$التحليل إلى عوامل أولية فريد حتى الرتبة وعوامل الوحدة${\displaystyle \pm \sigma ^{\pm n}(n=0,1,2,\ldots ),}$وهناك دالة إقليدية على القيمة المطلقة للمعيار. ^{[ 9 ]} الأعداد الأولية لـ${\displaystyle O_{k}}$وهي من ثلاثة أنواع:

• ⁠${\displaystyle \sigma -1}$مع المعيار​${\displaystyle 2,}$العدد الأولي النسبي الوحيد الذي يقسم Δk _،
• العوامل​${\displaystyle a+b\sigma }$من الأعداد الأولية النسبية${\displaystyle p=8n\pm 1}$مع المعيار${\displaystyle p,}$[ ^{10 ]​}
• الأعداد الأولية النسبية${\displaystyle p=8n\pm 3}$مع المعيار​${\displaystyle p^{2},}$[ ^{11 ]​}

وأي من هذه الأرقام مضروبًا في وحدة واحدة. ^{[ 12 ]}

يمكن استخدام نسبة الفضة كأساس لنظام عددي ، يُسمى هنا مقياس سيجماري . ^{[ ب ]} يمكن تمثيل كل عدد حقيقي x في الفترة [0،1] كمتسلسلة متقاربة$${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\sigma ^{n}}},}$$مع الأوزان​${\displaystyle a_{n}\in [0,1,2].}$⁠

لا تُعدّ توسعات سيجماري فريدة من نوعها. وذلك بسبب الهويات $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{n+1}&=2\sigma ^{n}+\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n+1}+\sigma ^{n-1}&=2\sigma ^{n}+2\sigma ^{n-1},\end{aligned}}}$$ كتل الأرقام${\displaystyle 21_{\sigma }{\text{ و }}22_{\sigma }}$ارفع إلى القوة التالية لـ${\displaystyle \sigma ,}$مما يؤدي إلى${\displaystyle 100_{\sigma }{\text{ و }}101_{\sigma }.}$للرقم واحد تمثيلات محدودة وغير محدودة${\displaystyle 1.0_{\sigma },0.21_{\sigma }}$و${\displaystyle 0.{\overline {20}}_{\sigma },0.1{\overline {2}}_{\sigma },}$حيث يكون العنصر الأول من كل زوج في شكله القياسي . العدد الجبري${\displaystyle 2(3\sigma -7)}$يمكن كتابتها​${\displaystyle 0.101_{\سيجما },}$أو بشكل غير رسمي كـ${\displaystyle 0.022_{\سيجما }.}$العدد العشري​${\displaystyle 10=111.12_{\sigma },}$${\displaystyle 7\sigma +3=1100_{\sigma }\,}$و${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}}=0.{\overline {1}}_{\sigma }.}$

خصائص توسعات سيجماري الكنسية، مع المعاملات${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z}$ :}

• كل عدد صحيح جبري${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ in }}K}$لها تمدد محدود. ^{[ 13 ]}
• كل عدد نسبي${\displaystyle \rho ={\tfrac {a+b\sigma }{c}}{\text{ in }}K}$له تمدد دوري بحت. ^{[ 14 ]}
• جميع الأرقام التي لا تقع في ⁠${\displaystyle K}$⁠ لديهم توسعات فوضوية.

ومن اللافت للنظر أن الأمر نفسه ينطبق، مع بعض التعديلات، على جميع أعداد بيزو التربيعية التي تحقق المعادلة العامة .${\displaystyle x^{2}=nx+1,}$حيث n عدد صحيح أكبر من 0. [ ^{15 ] وينتج} ذلك عن طريق التعويض المتكرر لـ${\displaystyle x=n+{\frac {1}{x}}}$أن جميع الحلول الإيجابية${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4{\vphantom {/}}}}\right)}$لها تمدد كسري مستمر دوري بحت$${\displaystyle \sigma _{n}=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}$$وصفت فيرا دي سبيناديل خصائص هذه الأعداد غير النسبية وقدمت مصطلح " المتوسطات المعدنية" . ^{[ 16 ]}

ترتبط نسبة الفضة بأرقام ديلانوي المركزية .${\displaystyle D_{n}}$⁠ = 1، 3، 13، 63، 321، 1683، 8989،... التي تحسب عدد "المسارات الملكية" بين زوج من الزوايا المتقابلة لشبكة مربعة n × n . للمتتالية دالة توليد ^{[ 17 ].} $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-6x+x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }D_{n}x^{n}{\text{ for }}\vert x\vert <{\tfrac {1}{\sigma ^{2}}},}$$ ومنها يتم الحصول على التمثيل التكاملي ^{[ 18 ]} $${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\sigma ^{-2}}^{\sigma ^{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {(t-\sigma ^{-2})(\sigma ^{2}-t)}}\;t^{n+1}}}}$$ والصيغة التقاربية ^{[ 19 ]} $${\displaystyle D_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2n+1}}{2{\sqrt {\pi (\sigma -1)\,n}}}}\left(1-{\frac {11-3\sigma }{32\,n}}+{\frac {221-36\sigma ^{2}}{(32\,n)^{2}}}+{\mathcal {O}}{\bigl (}n^{-3}{\bigr )}\right).}$$

لتطبيق مقياس سيجماري، لننظر في مسألة كتابة معامل من الدرجة الثالثة c بدلالة نسبة الفضة. القيمة العشرية لـ c تساوي تقريبًا 0.006865233، ويمكن إيجادها باستخدام طريقة التوازن المهيمن بالاعتماد على العلاقة التكرارية لأعداد ديلانوي المركزية.${\displaystyle n\,D_{n}=(6n-3)D_{n-1}-(n-1)D_{n-2},}$^{[ 20 ]} مع${\displaystyle D_{-1}=D_{0}=1,n_{max}=10^{5}.}$"جميع المعاملات تقع في ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$ويكون مقامها مساوياً لقوة معينة من قوى العدد الأولي .${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\mathbb {Z} [\sigma .}$[ ^{21 ]} باختيار المقامd = 32768، ^يكون للبسط التقريبي dc توسيع سيجماري${\displaystyle 1001201.010201012000000110..._{\سيجما }}$ويتم تقريبها إلى عدد صحيح تربيعي عن طريق حذف جميع الأرقام من الرتبة ⁠${\displaystyle k<-9.}$اكتب القوى المتبقية${\displaystyle \sigma ^{k}}$في الصيغة الخطية باستخدام أعداد بيل كمعاملات (انظر القسم التالي)، خذ المجموع المرجح وبسطه، مما يعطي الحد${\displaystyle -{\frac {4123-309\sigma ^{3}}{(32\,n)^{3}}}.}$لكن القيمة المعتمدة لـ c غير معروفة حتى الآن.

يتميز المستطيل وفقًا لمعيار ISO 216 بأضلاع ذات أطوال بنسبة ليشتنبرغ √2: 1. ^{[ د ]} ويمكن تشكيله من ورقة مربعة باستخدام تقنية طي الأوريغامي . تُعتبر هذه النسبة، المعروفة باسم ياماتو-هي (大和比)، نسبةً بالغة التناغم في الجماليات اليابانية ، وتُحفظ هذه النسبة عند طي المستطيل ذي الطول √2 إلى نصفين، بحيث يكون التوازي مع الأضلاع القصيرة. ينتج عن عملية التخفيض مستطيل بأضلاع ذات نسبة فضية (وفقًا للمعادلة 1 / σ = √2 - 1 ).

• قم بطي ورقة مربعة إلى نصفين، مما يؤدي إلى إنشاء طية قطرية هابطة (تقسيم زاوية 90 درجة)، ثم قم بفتحها.
• قم بطي الحافة اليمنى على الطية القطرية (تقسيم الزاوية 45 درجة).
• اطوِ الحافة العلوية إلى نصفين، نحو الجهة الخلفية (مع تقليل العرض بمقدار 1 / σ + 1 ) ، ثم افتح المثلث. والنتيجة هي مستطيل طول ضلعه √2 .
• اطوِ الحافة السفلية على الحافة اليسرى (قلل الارتفاع بمقدار 1 / σ − 1 ) . الجزء الأفقي العلوي عبارة عن مستطيل فضي.

إذا فُتحت الورقة المطوية، تتطابق الطيات مع أقطار مثمن منتظم . تقسم الطيتان الأوليان المربع إلى عقرب فضي بزوايا نسبها 5  :2  :1، بين مثلثين قائمي الزاوية بزوايا نسبها 4  :2  :2 (يسارًا) و 4  :3  :1 ( يمينًا ) . زاوية الوحدة تساوي 22 + 1/2 درجة .

إذا كان طول ضلع الشكل الثماني ⁠${\displaystyle 1,}$مساحتها هي​${\displaystyle 2\sigma }$والأقطار لها أطوال${\displaystyle {\sqrt {\sigma +1{\vphantom {/}}}},\;\sigma }$و${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}}.}$تُعطى إحداثيات الرؤوس بواسطة التباديل الثمانية لـ${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sigma }{2}}\right).}$^{[ 26 ]} يبلغ طول ضلع المربع الورقي⁠${\displaystyle \sigma -1}$والمنطقة​​${\displaystyle 2.}$للمثلثات مساحات${\displaystyle 1,{\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$و${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }};}$للمستطيلات مساحات${\displaystyle \sigma -1{\text{ و }}{\frac {1}{\sigma }}.}$

قسّم مستطيلاً بنسبة أضلاع 1  : 2 إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية متطابقة ، ذات أضلاع متساوية الطول، ورتّبها على شكل مستطيل فضي، بحيث يحيط بمستطيل مماثل مُكبّر بمعامل ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}}$وتدور حول المركز بمقدار${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}$يؤدي تكرار عملية البناء على نطاقات أصغر تدريجياً إلى أربع متواليات لا نهائية من المثلثات القائمة المتجاورة، والتي ترسم دوامة من المستطيلات الفضية المتقاربة. ^{[ 27 ]}

المنحنى اللوغاريتمي الحلزوني المار برؤوس المثلثات المتجاورة له ميل قطبي${\displaystyle k={\frac {4}{\pi }}\ln(\sigma ).}$متوازي الأضلاع الواقع بين المثلثين الرماديين على الجانبين له قطران متعامدان بنسبة ⁠${\displaystyle \sigma }$وبالتالي فهو معين فضي .

إذا كان للمثلثات أضلاع بطول ⁠${\displaystyle 1}$ثم يكون لكل لولب منفصل طول${\displaystyle {\frac {\sigma }{\sigma -1}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-n}.}$مجموع مساحات المثلثات في كل منطقة حلزونية يساوي${\displaystyle {\frac {\sigma }{4}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n};}$المحيطات تساوي ⁠${\displaystyle \sigma +2}$( رمادي فاتح) و${\displaystyle 2\sigma -1}$( المناطق الفضية).

يؤدي ترتيب البلاطات بحيث تكون الأوتار الأربعة متجهة للداخل إلى شكل معين داخل مربع. أوصى المهندس المعماري الروماني فيتروفيوس بنسبة التربيع الضمنية كإحدى النسب الثلاث لتصميم ردهة منزل في المدينة . عامل القياس هو${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}},}$والتكرار على طول الحافة 2 يعطي حلزونًا زاويًا بطول${\displaystyle \sigma +1.}$⁠

يرتبط المتوسط ​​الفضي بالأجسام الأرخميدية التالية ذات التناظر الثماني الأوجه ؛ تستند جميع القيم إلى طول الحافة = 2.

• مُكعب ثماني الأوجه مُعيني الأوجه

تُعطى إحداثيات الرؤوس بواسطة 24 تبديلاً مختلفاً لـ${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm 1,\pm 1),}$وهكذا، تلامس ثلاثة مستطيلات فضية متعامدة ستة من أوجهها المربعة. نصف القطر الأوسط هو${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$نصف قطر مركز الأوجه المربعة هو ⁠${\displaystyle \sigma .}$[ ^{28 ]​}

• مكعب مقطوع

الإحداثيات: 24 تبديلاً لـ${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm \sigma ,\pm 1).}$ منتصف القطر: ⁠${\displaystyle \sigma +1,}$نصف قطر مركز أوجه الشكل الثماني :${\displaystyle \sigma .}$[ ^{29 ]​}

• مكعب ثماني الأوجه مقطوع

الإحداثيات: 48 تبديلاً لـ${\displaystyle (\pm (2\sigma -1),\pm \sigma ,\pm 1).}$ منتصف القطر:${\displaystyle {\sqrt {6(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$نصف قطر مركز الأوجه المربعة :${\displaystyle \sigma +2,}$بالنسبة للأوجه الثمانية الأضلاع :${\displaystyle 2\sigma -1.}$[ ^{30 ]​}

انظر أيضًا إلى الأشكال الصلبة الكاتالونية المزدوجة

• رباعي الأضلاع ثلاثي ثماني الأوجه
• ثلاثي ثماني الأوجه
• ثماني السطوح سداسي الأوجه

يُطلق على المثلث الحاد متساوي الساقين، المتكون من توصيل رأسين متجاورين من رؤوس مثمن منتظم بمركزه، اسم المثلث الفضي . ويُعرف هذا المثلث بشكل فريد من خلال نسب زواياه .${\displaystyle 2:3:3.}$تبلغزاوية القمة ⁠​${\displaystyle 360/8=45,}$كل زاوية أساسية​​${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}}$درجات . ويترتب على ذلك أن نسبة الارتفاع إلى القاعدة هي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\tan(67{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\sigma }{2}}.}$

بتقسيم أحد زوايا قاعدته إلى ثلاثة أجزاء، ينقسم المثلث الفضي إلى مثلث مشابه ومؤشر فضي منفرج الزاوية . يقع منصف الزاوية على استقامة واحدة مع القطر المتوسط ​​للمثمن. يشترك المؤشر في رأس المثلث الأصلي، وله زوايا قياسها .${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}/3=22{\tfrac {1}{2}},45{\text{ و }}112{\tfrac {1}{2}}}$درجات في النسب${\displaystyle 1:2:5.}$وبحسب قانون الجيب ، فإن أضلاعه نسبية.${\displaystyle 1:{\sqrt {\sigma +1}}:\sigma .}$

وبالمثل، يتم الحصول على المثلث الفضي المماثل عن طريق تغيير حجم المثلث الأصلي بنسبة القاعدة إلى الساق .${\displaystyle 2\cos(67{\tfrac {1}{2}})}$، مصحوبًا بـ${\displaystyle 112{\tfrac {1}{2}}}$دورانٌ بزاوية 10 درجات. يؤدي تكرار العملية بمقاييس متناقصة إلى سلسلة لانهائية من المثلثات الفضية، تتقارب عند مركز الدوران . يُفترض، دون برهان، أن مركز الدوران هو نقطة تقاطع الخطوط المتوسطة المتتابعة التي تصل بين الأرجل المتناظرة ورؤوس القاعدة. ^{[ 31 ]} وقد تم التحقق من هذا الافتراض من خلال البناء، كما هو موضح في الصورة المتجهة.

مركز الدوران له إحداثيات مركزية$${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}\right)\sim \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}:1:1\right),}$$ تتفاوت مساحات الدوائر الثلاث المتراصة من الأبراج بنسب معينة. $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}\right)^{2}:{\tfrac {\sigma +1}{2}}:1.}$$

المنحنى اللوغاريتمي الحلزوني المار برؤوس جميع المثلثات المتداخلة له ميل قطبي$${\displaystyle k={\frac {4}{5\pi }}\ln \left({\tfrac {\sigma }{\sigma -1}}\right),}$$ أو معدل توسع قدره${\displaystyle {\tfrac {\sigma +1}{2}}}$لكل​​${\displaystyle 225}$درجات الدوران.

مراكز المثلث الفضي : إحداثيات أفينية على محور التناظر

مركز الدائرة	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\sigma +1}}:{\tfrac {1}{\sigma }}\right)\sim (\sigma -1:1)}$
مركز الثقل	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{3}}:{\tfrac {1}{3}}\right)\sim (2:1)}$
مركز النقاط التسع	${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sigma -1}}:{\tfrac {1}{\sigma +1}}\right)\sim (\sigma :1)}$
المركز , α = ⁠ 3π / 8 ⁠	${\displaystyle \left([1+\cos(\alpha )]^{-1}:[1+\sec(\alpha )]^{-1}\right)\sim (\sec(\alpha ):1)}$
نقطة متناظرة	${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{\sigma +2}}:{\tfrac {1}{\sigma +2}}\right)\sim (\sigma +1:1)}$
مركز تقويم العظام	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\sigma }}:{\tfrac {1}{\sigma ^{2}}}\right)\sim (2\sigma :1)}$

تتطابق الأقطار الطويلة والمتوسطة والقصيرة للمثمن المنتظم على التوالي عند رأس المثلث الفضي ومركز الدائرة المحيطة به ومركزه القائم.

لنفترض أنه تم إنشاء مستطيل فضي كما هو موضح أعلاه، بارتفاع 1 وطول ⁠${\displaystyle \sigma }$والطول القطري​​${\displaystyle {\sqrt {\sigma ^{2}+1}}}$المثلثات الموجودة على القطر لها ارتفاعات${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\sigma ^{-2}}}\,;}$يقسم كل قدم عمودي القطر بنسبة${\displaystyle \sigma ^{2}.}$⁠

إذا رُسم خط أفقي يمر بنقطة تقاطع القطر والحافة الداخلية لمربع التخفيض ، فإن مساحة المستطيل الفضي الأصلي والنسختين المصغرتين على طول القطر تكون بنسب معينة.${\displaystyle \sigma ^{2}:2:1\,,}$المستطيلان المقابلان للقطر لهما مساحات متساوية${\displaystyle {\tfrac {2}{\sigma +1}}.}$^{[ 32 ]}

بالنسبة للرأس A ، تكون إحداثيات أقدام الارتفاعين U و V هي $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma }{\sigma ^{2}+1}},{\tfrac {1}{\sigma ^{2}+1}}\right){\text{ and }}\left({\tfrac {\sigma }{1+\sigma ^{-2}}},{\tfrac {1}{1+\sigma ^{-2}}}\right).}$$

إذا تم تقسيم الرسم البياني بشكل أكبر بواسطة خطوط عمودية تمر عبر النقطتين U و V ، فيمكن التعبير عن أطوال القطر وأجزائه الفرعية كدوال مثلثية ذات وسيط.${\displaystyle \alpha =67{\tfrac {1}{2}}}$الدرجات، زاوية قاعدة المثلث الفضي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}={\sqrt {\sigma ^{2}+1}}&=\sec(\alpha )\\{\overline {AV}}=\sigma ^{2}/{\overline {AB}}&=\sigma \sin(\alpha )\\{\overline {UV}}=2/{\overline {AS}}&=2\sin(\alpha )\\{\overline {SB}}=4/{\overline {AB}}&=4\cos(\alpha )\\{\overline {SV}}=3/{\overline {AB}}&=3\cos(\alpha )\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\sigma ^ {-2}}}&=\csc(\alpha )\\{\overline {h}}=1/{\overline {AS}}&=\sin(\alpha )\\{\overline {US}}={\overline {AV}}-{\overline {SB}}&=(2\sigma -3)\cos(\alpha )\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\cos(\alpha ),\end{محاذاة}}}$$

مع​${\displaystyle \sigma =\tan(\alpha ).}$⁠

كل من أطوال الأجزاء القطرية والقيم المثلثية هي عناصر من حقل الأعداد التربيعي المزدوج${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right).}$

المعين الفضي ذو الحافة${\displaystyle 1}$له أطوال قطرية تساوي${\displaystyle {\overline {UV}}}$و​​${\displaystyle 2{\overline {AU}}.}$الشكل الثماني المنتظم ذو الحافة${\displaystyle 2}$له أقطار طويلة طولها${\displaystyle 2{\overline {AB}}}$تقسمه إلى ثمانية مثلثات فضية. وبما أن الشكل الثماني المنتظم يُحدد بطول ضلعه وزوايا المثلث الفضي، فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن التعبير عن جميع القياسات بقوى σ والقطاعات القطرية للمستطيل الفضي، كما هو موضح أعلاه، جزء لكل جزء على مثلث واحد.

نسبة الساق إلى القاعدة${\displaystyle {\overline {AB}}/2\approx 1.306563}$أطلق المهندس المعماري الإسباني رافائيل دي لا هوز أرديريوس على هذه النسبة اسم " نسبة قرطبة" . ووفقًا لملاحظاته، فهي تُعدّ مقياسًا بارزًا في الهندسة المعمارية والزخارف المعقدة للمسجد القروسطي في قرطبة ، الأندلس . ^{[ 33 ]}

اللولب الفضي هو لولب لوغاريتمي يتسع بمعامل ⁠${\displaystyle \sigma }$لكل ربع دورة. ويتم وصفها بالمعادلة القطبية${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$بنصف قطر ابتدائي${\displaystyle a}$والمعامل​${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\sigma ).}$إذا رُسم الحلزون على مستطيل فضي، فإن قطبه يقع عند قاعدة ارتفاع مثلث على القطر، ويمر عبر رؤوس مربعات مزدوجة متراصة عمودياً ومُقاسة تباعاً بمعامل ⁠${\displaystyle \sigma ^{-1}.}$⁠

تظهر نسبة الفضة بشكل بارز في تبليط أمان-بينكر ، وهو تبليط غير دوري للسطح المستوي ذي تناظر ثماني الأضلاع، مُكوّن من مربع ومعين فضي متساوي الأضلاع. اكتشفه روبرت أمان عام 1977، ووصف فرانس بينكر خصائصه الجبرية بعد خمس سنوات. ^{[ 34 ]} إذا قُسِّم المربعان إلى مثلثين، فإن عامل التضخم لبلاطات أمان A5 هو ⁠${\displaystyle \sigma ^{2},}$القيمة الذاتية المهيمنة لمصفوفة الاستبدال$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}}.}$$