المالية

في الرياضيات والمنطق ، تُعتبر العملية منتهية إذا كانت ذات عدد محدود من المدخلات ، أي إذا كان لها عدد محدود من القيم المدخلة. وبالمثل، تُعتبر العملية غير منتهية إذا كان لها عدد غير محدود من القيم المدخلة.

في الرياضيات القياسية، تكون العملية منتهية بحكم تعريفها. لذلك، تُستخدم هذه المصطلحات عادةً فقط في سياق المنطق اللانهائي .

الحجة المحدودة هي تلك التي يمكن ترجمتها إلى مجموعة محدودة من القضايا الرمزية انطلاقاً من مجموعة محدودة من البديهيات ^{[ 1 ]} . بعبارة أخرى، هي برهان (يشمل جميع الافتراضات) يمكن كتابته على ورقة كبيرة بما يكفي.

في المقابل، يدرس المنطق اللانهائي المنطق الذي يسمح بعبارات وبراهين طويلة بلا حدود . في مثل هذا المنطق، يمكن اعتبار المُكمِّم الوجودي ، على سبيل المثال، مُشتقًا من فصل لانهائي .

سعى علماء المنطق في أوائل القرن العشرين إلى حل مشكلة الأسس ، مثل: "ما هو الأساس الحقيقي للرياضيات؟" وكان الهدف من البرنامج هو إعادة صياغة الرياضيات بأكملها باستخدام لغة نحوية بحتة دون دلالات . وكما قال ديفيد هيلبرت (في إشارة إلى الهندسة ) : "لا يهم إن سمينا الأشياء كراسي وطاولات وأكواب بيرة ، أو نقاطًا وخطوطًا ومستويات " .

انبثق التركيز على محدودية المبادئ من فكرة أن الفكر الرياضي البشري قائم على عدد محدود من المبادئ، وأن جميع الاستدلالات تتبع قاعدة واحدة جوهرية: قاعدة القياس المنطقي (modus ponens ). كان الهدف من المشروع تحديد عدد محدود من الرموز ( الأرقام 1، 2، 3، ...، حروف الأبجدية، وبعض الرموز الخاصة مثل "+"، "⇒"، "("، ")"، إلخ)، وتقديم عدد محدود من القضايا المعبر عنها بهذه الرموز، والتي تُعتبر "أسسًا" (المسلمات)، وبعض قواعد الاستدلال التي تحاكي طريقة استخلاص البشر للنتائج. انطلاقًا من هذه الأسس، وبغض النظر عن التفسير الدلالي للرموز، ينبغي أن تتبع النظريات المتبقية شكليًا باستخدام القواعد المذكورة فقط (مما يجعل الرياضيات تبدو كلعبة رموز أكثر من كونها علمًا ) دون الحاجة إلى الاعتماد على الإبداع. كان الأمل هو إثبات أنه من هذه المسلمات والقواعد يمكن استنتاج جميع نظريات الرياضيات. يُعرف هذا الهدف بالمنطقية .

• مدخل موسوعة ستانفورد للفلسفة حول المنطق اللانهائي