المنطق

في فلسفة الرياضيات ، تعتبر المنطقية برنامجًا يشتمل على واحدة أو أكثر من الأطروحات التي تنص على أن الرياضيات هي امتداد للمنطق ، أو أن بعض أو كل الرياضيات قابلة للاختزال في المنطق، أو أن بعض أو كل الرياضيات يمكن نمذجتها في المنطق. ^{[1] دافع} برتراند راسل وألفريد نورث وايتهايد عن هذا البرنامج، الذي بدأه جوتلوب فريج وطوره لاحقًا ريتشارد ديدكيند وجوزيبي بيانو .

كان مسار ديدكيند نحو المنطق نقطة تحول عندما تمكن من بناء نموذج يلبي البديهيات التي تميز الأعداد الحقيقية باستخدام مجموعات معينة من الأعداد النسبية . أقنعته هذه الأفكار والأفكار ذات الصلة بأن الحساب والجبر والتحليل يمكن اختزالها إلى الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى "منطق" الفئات. وعلاوة على ذلك ، بحلول عام 1872، خلص إلى أن الأعداد الطبيعية نفسها يمكن اختزالها إلى مجموعات وتعيينات . ومن المرجح أن يكون المنطقيون الآخرون، وأهمهم فريجه، قد استرشدوا أيضًا بالنظريات الجديدة للأعداد الحقيقية المنشورة في عام 1872.

كان الدافع الفلسفي وراء برنامج فريجه المنطقي منذ كتابه أسس الحساب فصاعدًا هو عدم رضاه جزئيًا عن الالتزامات المعرفية والوجودية للحسابات القائمة آنذاك للأعداد الطبيعية، وقناعته بأن استخدام كانط للحقائق حول الأعداد الطبيعية كأمثلة على الحقيقة التركيبية الأولية كان غير صحيح.

كانت هذه بداية فترة من التوسع للمنطقية، وكان ديدكيند وفريجيه من روادها الرئيسيين. ومع ذلك، دخلت هذه المرحلة الأولية من برنامج المنطقية في أزمة مع اكتشاف المفارقات الكلاسيكية لنظرية المجموعات ( كانتور 1896، وزرميلو وراسل 1900-1901). تخلى فريجه عن المشروع بعد أن أدرك راسل مفارقته التي حددت تناقضًا في نظام فريجه الموضح في Grundgesetze der Arithmetik وأبلغ بها. لاحظ أن نظرية المجموعات الساذجة تعاني أيضًا من هذه الصعوبة.

من ناحية أخرى، كتب راسل مبادئ الرياضيات في عام 1903 مستخدمًا المفارقة وتطورات مدرسة جوزيبي بيانو في الهندسة . نظرًا لأنه تناول موضوع المفاهيم البدائية في الهندسة ونظرية المجموعات بالإضافة إلى حساب العلاقات ، فإن هذا النص يمثل نقطة تحول في تطور المنطقية. تم جمع أدلة على تأكيد المنطقية من قبل راسل ووايتهيد في كتابهما مبادئ الرياضيات . ^[2]

اليوم، يُعتقد أن الجزء الأكبر من الرياضيات الموجودة يمكن اشتقاقه منطقيًا من عدد صغير من البديهيات غير المنطقية، مثل بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (أو امتدادها ZFC )، والتي لم يتم اشتقاق أي تناقضات منها حتى الآن. وبالتالي، أثبتت عناصر البرامج المنطقية قابليتها للتطبيق، ولكن في هذه العملية، أصبحت نظريات الطبقات والمجموعات والتعيينات والمنطق من الدرجة الأعلى بخلاف دلالات هنكين تعتبر غير منطقية بطبيعتها، جزئيًا تحت تأثير فكر كوين اللاحق.

تُظهِر نظريات عدم الاكتمال لكورت جودل أنه لا يوجد نظام رسمي يمكن استخلاص بديهيات بيانو للأعداد الطبيعية منه - مثل أنظمة راسل في PM - يمكنه تحديد جميع الجمل ذات التكوين الجيد لهذا النظام. ^[3] ألحقت هذه النتيجة الضرر ببرنامج ديفيد هيلبرت لأسس الرياضيات حيث تم إثبات أن النظريات "اللانهائية" - مثل نظرية PM - متسقة مع النظريات المنتهية، بهدف طمأنة أولئك الذين يشعرون بالقلق بشأن "الطرق اللانهائية" إلى أن استخدامها لا ينبغي أن يؤدي بشكل قابل للإثبات إلى اشتقاق تناقض . تشير نتيجة جودل إلى أنه من أجل الحفاظ على موقف منطقي، مع الاحتفاظ بقدر الإمكان بالرياضيات الكلاسيكية، يجب على المرء قبول بعض بديهيات اللانهاية كجزء من المنطق. في ظاهر الأمر، هذا يضر بالبرنامج المنطقي أيضًا، وإن كان فقط لأولئك الذين يشككون بالفعل في "الطرق اللانهائية". ومع ذلك، فقد استمرت المواقف المستمدة من كل من المنطقية والنهائية الهيلبرتية في الظهور منذ نشر نتيجة جودل.

قد تكون إحدى الحجج التي تزعم أن البرامج المستمدة من المنطقية تظل صالحة هي أن نظريات عدم الاكتمال " تُثبت بالمنطق تمامًا مثل أي نظريات أخرى ". ومع ذلك، يبدو أن هذه الحجة لا تعترف بالتمييز بين نظريات المنطق من الدرجة الأولى ونظريات المنطق من الدرجة الأعلى . يمكن إثبات الأولى باستخدام الأساليب النهائية، بينما لا يمكن إثبات الثانية - بشكل عام. تُظهر نظرية عدم قابلية التعريف لتارسكي أنه يمكن استخدام ترقيم جودل لإثبات البنى النحوية ، ولكن ليس التأكيدات الدلالية . لذلك، فإن الادعاء بأن المنطقية تظل برنامجًا صالحًا قد يلزم المرء بالقول بأن نظام الإثبات القائم على وجود وخصائص الأعداد الطبيعية أقل إقناعًا من النظام القائم على نظام شكلي معين. ^[4]

كانت المنطقية - وخاصة من خلال تأثير فريجه على راسل وفيتجنشتاين ^[5] ولاحقًا دوميت - مساهمًا مهمًا في تطوير الفلسفة التحليلية خلال القرن العشرين.

يذكر إيفور جراتان-جينيس أن الكلمة الفرنسية "Logistique" "قدمها كوتورات وآخرون في المؤتمر الدولي للفلسفة عام 1904 ، واستخدمها راسل وآخرون منذ ذلك الحين، في إصدارات مناسبة لمختلف اللغات." (GG 2000: 501).

يبدو أن أول (ووحيد) استخدام لكلمة "منطق" من قِبَل راسل ظهر في مقاله عام 1919: "أشار راسل عدة مرات إلى فريجه، وقدمه باعتباره أول من نجح في "إضفاء المنطق" على الرياضيات" (ص 7). وبصرف النظر عن التحريف (الذي صححه راسل جزئيًا من خلال شرح وجهة نظره الخاصة حول دور الحساب في الرياضيات)، فإن المقطع جدير بالملاحظة بسبب الكلمة التي وضعها بين علامتي اقتباس، لكن وجودهما يوحي بالتوتر، ولم يستخدم الكلمة مرة أخرى أبدًا، لذلك لم تظهر كلمة "المنطق" حتى أواخر عشرينيات القرن العشرين" (GG 2002: 434). ^[6]

في نفس الوقت تقريبًا الذي استخدم فيه رودولف كارناب (1929)، ولكن بشكل مستقل على ما يبدو، استخدم فراينكل (1928) الكلمة: "لقد استخدم اسم "المنطقية" دون تعليق لوصف موقف وايتهايد/راسل (في عنوان القسم في الصفحة 244، والشرح في الصفحة 263)" (GG 2002: 269). استخدم كارناب كلمة مختلفة قليلاً "Logistik"؛ اشتكى بهمان من استخدامها في مخطوطة كارناب، لذا اقترح كارناب كلمة "Logizismus"، لكنه تمسك في النهاية باختياره للكلمة "Logistik" (GG 2002: 501). في النهاية "كان الانتشار يرجع بشكل أساسي إلى كارناب، من عام 1930 فصاعدًا" (GG 2000: 502).

إن القصد الواضح للمنطقية هو اشتقاق كل الرياضيات من المنطق الرمزي (فريجه، ديدكيند، بيانو، راسل). وعلى النقيض من المنطق الجبري ( المنطق البولياني ) الذي يستخدم المفاهيم الحسابية، يبدأ المنطق الرمزي بمجموعة مختصرة للغاية من العلامات (الرموز غير الحسابية)، وعدد قليل من البديهيات "المنطقية" التي تجسد "قوانين الفكر"، وقواعد الاستدلال التي تملي كيفية تجميع العلامات والتلاعب بها - على سبيل المثال الاستبدال و modus ponens (أي من [1] A يستلزم ماديًا B و [2] A ، يمكن للمرء أن يستنتج B ). كما يتبنى المنطق من الأساس الذي وضعه فريجه اختزال عبارات اللغة الطبيعية من "الموضوع | المسند" إلى "ذرات" تقريرية أو "حجة | دالة" "التعميم" - مفاهيم " الكل "، " البعض "، "الفئة" (المجموعة، التجميع) و"العلاقة".

في الاستنباط المنطقي للأعداد الطبيعية وخصائصها، لا ينبغي لأي "حدس" يتعلق بالأعداد أن "يتسلل" سواء كبديهية أو بالصدفة. الهدف هو استنباط كل الرياضيات، بدءًا بالأعداد العددية ثم الأعداد الحقيقية، من بعض "قوانين الفكر" المختارة وحدها، دون أي افتراضات ضمنية حول "قبل" و"بعد" أو "أقل" و"أكثر" أو إلى حد كبير: "خليفة" و"سلف". لخص جودل 1944 "الإنشاءات" المنطقية لراسل، عند مقارنتها بـ "الإنشاءات" في الأنظمة الأساسية للحدسية والشكلية ( " مدرسة هيلبرت") على النحو التالي: "تستند كلتا المدرستين في إنشائهما إلى حدس رياضي يعد تجنبه أحد الأهداف الرئيسية لبنائية راسل " (جودل 1944 في الأعمال المجمعة 1990: 119).

لقد لخص جودل عام 1944 الخلفية التاريخية من كتاب لايبنتز في Characteristica universalis ، مروراً بفريج وبيانو وراسل: "كان فريج مهتماً بشكل أساسي بتحليل الفكر واستخدم حساب التفاضل والتكامل في المقام الأول لاستخلاص الحساب من المنطق البحت"، في حين كان بيانو "أكثر اهتماماً بتطبيقاته في الرياضيات". ولكن "لم يكن كتاب [راسل] Principia Mathematica هو الذي استخدم بشكل كامل الطريقة الجديدة لاستخلاص أجزاء كبيرة من الرياضيات من عدد قليل جداً من المفاهيم والمسلمات المنطقية. بالإضافة إلى ذلك، تم إثراء العلم الشاب بأداة جديدة، وهي النظرية المجردة للعلاقات" (ص 120-121).

يذكر كلين 1952 الأمر على هذا النحو: "كان لايبنتز (1666) أول من تصور المنطق باعتباره علمًا يحتوي على الأفكار والمبادئ التي تقوم عليها جميع العلوم الأخرى. وكان ديدكيند (1888) وفريجه (1884، 1893، 1903) منخرطين في تعريف المفاهيم الرياضية من حيث المفاهيم المنطقية، وكان بيانو (1889، 1894-1908) منخرطًا في التعبير عن النظريات الرياضية في رمزية منطقية" (ص 43)؛ وفي الفقرة السابقة، أدرج راسل ووايتهيد كأمثلة على "المدرسة المنطقية"، والمدرستان "الأساسيتان" الأخريان هما المدرسة الحدسية و"المدرسة الشكلية أو البديهية" (ص 43).

يصف فريجه (1879) مقصده في مقدمة كتابه "الفلسفة" لعام 1879 : لقد بدأ بالتفكير في الحساب: هل ينبع من "المنطق" أم من "حقائق التجربة"؟

"كان علي أولاً أن أتأكد من مدى ما يمكن للمرء أن يتقدم به في الحساب من خلال الاستدلالات وحدها، بدعم وحيد من قوانين الفكر التي تتجاوز كل التفاصيل. كانت خطوتي الأولى هي محاولة تقليص مفهوم الترتيب في تسلسل إلى مفهوم النتيجة المنطقية ، حتى أتمكن من الانتقال من هناك إلى مفهوم العدد. لمنع أي شيء بديهي من الاختراق هنا دون أن يلاحظه أحد، كان علي أن أبذل قصارى جهدي للحفاظ على سلسلة الاستدلالات خالية من الفجوات ... وجدت أن عدم كفاية اللغة يشكل عقبة؛ بغض النظر عن مدى صعوبة التعبيرات التي كنت مستعدًا لقبولها، فقد أصبحت أقل قدرة، مع تزايد تعقيد العلاقات، على تحقيق الدقة التي يتطلبها هدفي. قادني هذا النقص إلى فكرة الأيديولوجية الحالية. وبالتالي، فإن غرضها الأول هو تزويدنا بأكثر الاختبارات موثوقية لصحة سلسلة الاستدلالات والإشارة إلى كل افتراض يحاول التسلل دون أن يلاحظه أحد" (Frege 1879 in van der Frege 1879 in van der Frege 1879). هيجنورت 1967:5).

يصف ديدكيند 1887 نيته في مقدمة عام 1887 للطبعة الأولى من كتابه طبيعة ومعنى الأرقام . كان يعتقد أن "أسس أبسط العلوم؛ أي ذلك الجزء من المنطق الذي يتعامل مع نظرية الأرقام" لم يتم مناقشتها بشكل صحيح - "لا ينبغي قبول أي شيء قابل للإثبات دون إثبات":

"عندما أتحدث عن الحساب (الجبر والتحليل) كجزء من المنطق، فإنني أعني أنني أعتبر مفهوم العدد مستقلاً تمامًا عن مفاهيم الحدس للمكان والزمان، وأنني أعتبره نتيجة مباشرة لقوانين الفكر ... الأرقام هي إبداعات حرة للعقل البشري ... [و] فقط من خلال العملية المنطقية البحتة لبناء علم الأرقام ... نكون مستعدين بدقة للتحقيق في مفاهيمنا عن المكان والزمان من خلال وضعها في علاقة مع مجال الأرقام هذا الذي تم إنشاؤه في أذهاننا" (ديديكيند 1887 إعادة نشر دوفر 1963: 31).

يذكر بيانو عام 1889 هدفه في مقدمة كتابه مبادئ الحساب عام 1889 :

إن الأسئلة التي تتعلق بأسس الرياضيات، على الرغم من معالجتها من قبل العديد من الناس في الآونة الأخيرة، لا تزال تفتقر إلى حل مرضٍ. وتنبع الصعوبة في المقام الأول من غموض اللغة. ولهذا السبب فإن فحص الكلمات التي نستخدمها بعناية يشكل أهمية قصوى. وكان هدفي هو إجراء هذا الفحص" (بيانو 1889 في فان هيجنورت 1967:85).

يصف راسل 1903 نيته في مقدمة كتابه مبادئ الرياضيات عام 1903 :

"إن العمل الحالي له هدفان رئيسيان. الأول هو إثبات أن كل الرياضيات البحتة تتعامل حصريًا مع المفاهيم التي يمكن تعريفها من حيث عدد صغير جدًا من المفاهيم المنطقية الأساسية، وأن كل مقترحاتها يمكن استنتاجها من عدد صغير جدًا من المبادئ المنطقية الأساسية" (المقدمة 1903: السادس).

"قد تفيد بضع كلمات حول أصل العمل الحالي في إظهار أهمية الأسئلة التي نوقشت. منذ حوالي ست سنوات، بدأت تحقيقًا في فلسفة الديناميكيات ... [من سؤالين - التسارع والحركة المطلقة في "نظرية الفضاء العلائقية"]، قادني ذلك إلى إعادة فحص مبادئ الهندسة، ومن ثم إلى فلسفة الاستمرارية واللانهاية، ثم، بهدف اكتشاف معنى كلمة أي ، إلى المنطق الرمزي" (مقدمة 1903:vi-vii).

تبدو نظريات المعرفة لدى ديدكيند وفريج أقل تحديدًا من نظرية راسل، ولكن يبدو أن كليهما يقبل مسبقًا " قوانين الفكر" المعتادة فيما يتعلق بالعبارات القياسية البسيطة (عادةً ما تكون متعلقة بالاعتقاد)؛ وستكون هذه القوانين كافية في حد ذاتها إذا تم تعزيزها بنظرية الطبقات والعلاقات (على سبيل المثال x R y ) بين الأفراد x و y المرتبطين بالتعميم R.

تبدأ حجة ديدكيند بـ "1. فيما يلي، أعني بالشيء كل موضوع من موضوعات فكرنا"؛ نستخدم نحن البشر الرموز لمناقشة هذه "الأشياء" في أذهاننا؛ "الشيء محدد تمامًا بكل ما يمكن تأكيده أو التفكير فيه بشأنه" (ص 44). في فقرة لاحقة، يناقش ديدكيند ما هو "النظام س : إنه مجموع، متعدد، مجموع من العناصر المرتبطة (الأشياء) أ ، ب ، ج "؛ يؤكد أن "مثل هذا النظام س ... كموضوع لفكرنا هو أيضًا شيء (1)؛ إنه محدد تمامًا عندما يتم تحديد ما إذا كان عنصرًا من س أم لا فيما يتعلق بكل شيء .*" (ص 45، تمت إضافة الخط المائل). يشير * إلى حاشية سفلية حيث يذكر أنه:

" لقد سعى كرونيكر منذ فترة ليست طويلة ( مجلة كريلي ، المجلد 99، ص 334-336) إلى فرض قيود معينة على التكوين الحر للمفاهيم في الرياضيات والتي لا أعتقد أنها مبررة" (ص 45).

في الواقع، فهو ينتظر أن يقوم كرونيكر "بنشر أسبابه لضرورة أو مجرد ملاءمة هذه القيود" (ص 45).

كان لكرونيكر، الذي اشتهر بتأكيده أن " الله خلق الأعداد الصحيحة ، وكل شيء آخر هو عمل الإنسان" ^[7]، أعداء، من بينهم هيلبرت. وصف هيلبرت كرونيكر بأنه " عقائدي ، إلى الحد الذي يقبل فيه الأعداد الصحيحة بخصائصها الأساسية كعقيدة ولا ينظر إلى الوراء" ^[8] وقارن بين موقفه البنائي المتطرف وموقف حدسية بروير ، متهمًا كليهما بـ "الذاتية": "إن تحريرنا من التعسف والعاطفة والعادات وحمايتنا من الذاتية التي جعلت نفسها محسوسة بالفعل في آراء كرونيكر، ويبدو لي أنها تجد ذروتها في الحدسية". ^[9] ثم يذكر هيلبرت أن "الرياضيات علم بلا افتراضات. ولإيجادها لا أحتاج إلى الله، كما يحتاج كرونيكر ..." (ص 479).

كانت واقعية راسل بمثابة ترياق للمثالية البريطانية ، ^[10] مع أجزاء مستعارة من العقلانية الأوروبية والتجريبية البريطانية . ^[11] بادئ ذي بدء، "كان راسل واقعيًا بشأن قضيتين رئيسيتين: الكليات والأشياء المادية" (راسل 1912: xi). بالنسبة لراسل، الجداول هي أشياء حقيقية موجودة بشكل مستقل عن راسل المراقب. ستساهم العقلانية بمفهوم المعرفة القبلية ، ^[12] بينما ستساهم التجريبية بدور المعرفة التجريبية (الاستقراء من التجربة). ^[13] سينسب راسل إلى كانط فكرة المعرفة "القبلية"، لكنه يقدم اعتراضًا على كانط يعتبره "مميتًا": "يجب أن تتوافق الحقائق [في العالم] دائمًا مع المنطق والحساب. القول بأن المنطق والحساب ساهمنا به لا يفسر هذا" (1912: 87)؛ ويخلص راسل إلى أن المعرفة الأولية التي نمتلكها تتعلق "بالأشياء، وليس فقط بالأفكار" (1912: 89). وفي هذا تبدو نظرية راسل المعرفية مختلفة عن نظرية ديديكيند القائلة بأن "الأعداد إبداعات حرة للعقل البشري" (ديديكيند 1887: 31) ^[14]

ولكن نظريته المعرفية حول الفطرة (وهو يفضل استخدام كلمة "قبلية" عند تطبيقها على المبادئ المنطقية، قارن 1912:74) معقدة. فهو يعبر بقوة وبشكل لا لبس فيه عن دعمه لـ "الكليات" الأفلاطونية (قارن 1912:91-118) ويخلص إلى أن الحقيقة والزيف "موجودان هناك"؛ فالعقول تخلق المعتقدات وما يجعل المعتقد صادقاً هو حقيقة، "وهذه الحقيقة لا تشمل (إلا في حالات استثنائية) عقل الشخص الذي لديه المعتقد" (1912:130).

من أين استمد راسل هذه المفاهيم المعرفية؟ يخبرنا في مقدمة كتابه " مبادئ الرياضيات " الصادر عام 1903. لاحظ أنه يؤكد أن الاعتقاد بأن "إميلي أرنب" غير موجود، ومع ذلك فإن حقيقة هذه القضية غير الموجودة مستقلة عن أي عقل عارف؛ إذا كانت إميلي أرنبًا حقًا، فإن حقيقة هذه الحقيقة موجودة سواء كان راسل أو أي عقل آخر حيًا أو ميتًا، والعلاقة بين إميلي والأرنب "نهائية":

"في المسائل الأساسية للفلسفة، فإن موقفي، بكل سماته الرئيسية، مستمد من السيد جيه إي مور. لقد قبلت منه الطبيعة غير الوجودية للاقتراحات (باستثناء تلك التي تتفق على تأكيد الوجود) واستقلالها عن أي عقل عارف؛ كما قبلت منه التعددية التي تنظر إلى العالم، سواء عالم الموجودات أو عالم الكيانات، على أنه يتألف من عدد لا نهائي من الكيانات المستقلة المتبادلة، مع علاقات نهائية، ولا يمكن اختزالها في صفات مصطلحاتها أو الكل الذي تتألف منه... إن العقائد التي ذكرتها للتو، في رأيي، لا غنى عنها تمامًا لأي فلسفة رياضية مرضية إلى حد ما، كما آمل أن تظهر الصفحات التالية... من الناحية الرسمية، فإن مقدماتي مفترضة ببساطة؛ ولكن حقيقة أنها تسمح للرياضيات بأن تكون صحيحة، وهو ما لا تسمح به معظم الفلسفات الحالية، هي بالتأكيد حجة قوية لصالحها." (مقدمة 1903:viii)

في عام 1902 اكتشف راسل "دائرة مفرغة" ( مفارقة راسل ) في كتاب فريجه "أسس الحساب" ، المستمد من القانون الأساسي الخامس لفريجه، وكان عازمًا على عدم تكرارها في كتابه " مبادئ الرياضيات" الصادر عام 1903. وفي ملحقين أضيفا في اللحظة الأخيرة، خصص راسل 28 صفحة لتحليل مفصل لنظرية فريجه مقارنة بنظريته، ولإصلاح المفارقة. لكنه لم يكن متفائلًا بشأن النتيجة:

"فيما يتعلق بالطبقات، لا بد أن أعترف بأنني فشلت في إدراك أي مفهوم يفي بالشروط اللازمة لمفهوم الطبقة. والتناقض الذي ناقشناه في الفصل العاشر يثبت أن هناك خطأ ما، ولكنني فشلت حتى الآن في اكتشاف ماهية هذا الخطأ. (مقدمة راسل 1903: السادس)"

إن جودل في عام 1944 قد يختلف مع راسل الشاب في عام 1903 ("إن [مقدماتي] تسمح للرياضيات بأن تكون صحيحة") ولكنه قد يتفق مع تصريح راسل المذكور أعلاه ("هناك شيء خاطئ")؛ لقد فشلت نظرية راسل في الوصول إلى أساس مرضٍ للرياضيات: وكانت النتيجة "سلبية في الأساس؛ أي أن الفئات والمفاهيم المقدمة بهذه الطريقة لا تمتلك كل الخصائص المطلوبة لاستخدام الرياضيات" (جودل 1944: 132).

ولكن كيف وصل راسل إلى هذا الموقف؟ يلاحظ جودل أن راسل "واقعي" مدهش، ولكن بطريقة مختلفة: فهو يستشهد بقول راسل في عام 1919:169: "إن المنطق يهتم بالعالم الحقيقي بنفس صدق علم الحيوان" (جودل 1944:120). ولكنه يلاحظ أن "راسل عندما بدأ في التعامل مع مشكلة ملموسة، سرعان ما تحولت الأشياء التي يتعين تحليلها (مثل الفئات أو القضايا) إلى "خيالات منطقية"... [وهذا يعني] أننا لا نملك تصوراً مباشراً لها". (جودل 1944:120)

في ملاحظة ذات صلة بأسلوب راسل في المنطق، يلاحظ بيري أن راسل مر بثلاث مراحل من الواقعية: المتطرفة، والمعتدلة، والبناءة (بيري 1997:xxv). في عام 1903 كان في مرحلته المتطرفة؛ وبحلول عام 1905 كان في مرحلته المعتدلة. وفي غضون بضع سنوات، "استغنى عن الأشياء المادية أو الفيزيائية باعتبارها أجزاء أساسية من أثاث العالم. وحاول بناءها من البيانات الحسية" في كتابه التالي " معرفتنا للعالم الخارجي " [1914] (بيري 1997:xxvi).

هذه البنيات التي أطلق عليها جودل عام 1944 اسم " البنائية الاسمية ... والتي قد يكون من الأفضل أن نطلق عليها اسم الخيالية " مستمدة من "فكرة راسل الأكثر جذرية، نظرية عدم وجود طبقات" (ص 125):

"وفقًا لذلك، فإن الفئات أو المفاهيم لا وجود لها أبدًا كأشياء حقيقية، وأن الجمل التي تحتوي على هذه المصطلحات لا معنى لها إلا لأنها يمكن تفسيرها على أنها ... طريقة للتحدث عن أشياء أخرى" (ص 125).

للمزيد من التفاصيل، راجع قسم النقد أدناه.

إن منطق فريجه وديديكيند يشبه منطق راسل، ولكن مع اختلافات في التفاصيل (انظر الانتقادات أدناه). بشكل عام، تختلف اشتقاقات المنطقيين للأعداد الطبيعية عن اشتقاقات بديهيات زيرميلو لنظرية المجموعات ('Z'). بينما في الاشتقاقات من Z، يستخدم أحد تعريفات "العدد" بديهية من ذلك النظام - بديهية الاقتران - والتي تؤدي إلى تعريف " الزوج المرتب " - لا توجد بديهية عددية واضحة في أنظمة البديهيات المنطقية المختلفة التي تسمح باشتقاق الأعداد الطبيعية. لاحظ أن البديهيات اللازمة لاشتقاق تعريف عدد قد تختلف بين أنظمة البديهيات لنظرية المجموعات في أي حال. على سبيل المثال، في ZF وZFC، يمكن اشتقاق بديهية الاقتران، وبالتالي في النهاية مفهوم الزوج المرتب، من بديهية اللانهاية وبديهية الاستبدال ، وهو مطلوب في تعريف أرقام فون نيومان (ولكن ليس أرقام زيرميلو)، بينما في NFU يمكن اشتقاق أرقام فريج بطريقة مماثلة لاشتقاقها في Grundgesetze.

يبدأ كتاب Principia ، مثل سلفه Grundgesetze ، في بناء الأعداد من مقترحات بدائية مثل "الفئة" و"الدالة التقريرية" وعلى وجه الخصوص علاقات "التشابه" (" التساوي العددي ": وضع عناصر المجموعات في تطابق واحد لواحد) و"الترتيب" (باستخدام علاقة "خليفة" لترتيب مجموعات الفئات المتساوية العدد)". ^[15] يساوي الاشتقاق المنطقي الأعداد الأساسية المبنية بهذه الطريقة بالأعداد الطبيعية، وتنتهي هذه الأعداد جميعها بنفس "النوع" - كفئات من الفئات - بينما في بعض الإنشاءات النظرية للمجموعات - على سبيل المثال أرقام فون نيومان وزرميلو - يكون لكل رقم سلفه كمجموعة فرعية . يلاحظ كلين ما يلي. (تنص افتراضات كلين (1) و (2) على أن 0 له الخاصية P وأن n +1 له الخاصية P كلما كان n له الخاصية P. )

"وجهة النظر هنا مختلفة تمامًا عن وجهة النظر التي تتبناها مقولة [كرونيكر] القائلة بأن 'الله خلق الأعداد الصحيحة' بالإضافة إلى بديهيات بيانو للأعداد والاستقراء الرياضي ]، حيث افترضنا مفهومًا بديهيًا لتسلسل الأعداد الطبيعية، واستنبطنا منه المبدأ القائل بأنه كلما تم إعطاء خاصية معينة P للأعداد الطبيعية بحيث (1) و (2)، فإن أي عدد طبيعي معين يجب أن يكون له الخاصية P. " (Kleene 1952:44).

إن أهمية بناء الأعداد الطبيعية بالنسبة للبرنامج المنطقي تنبع من ادعاء راسل بأن "إمكانية استنباط كل الرياضيات البحتة التقليدية من الأعداد الطبيعية هي اكتشاف حديث إلى حد ما، على الرغم من الشك في ذلك منذ فترة طويلة" (1919:4). إن أحد اشتقاقات الأعداد الحقيقية ينبع من نظرية ديديكيند التي تقطع على الأعداد النسبية، والأعداد النسبية بدورها مشتقة من الأعداد الطبيعية. وفي حين أن مثالاً لكيفية القيام بذلك مفيد، إلا أنه يعتمد أولاً على اشتقاق الأعداد الطبيعية. لذا، إذا ظهرت صعوبات فلسفية في اشتقاق منطقي للأعداد الطبيعية، فيجب أن تكون هذه المشاكل كافية لإيقاف البرنامج حتى يتم حلها (انظر الانتقادات أدناه).

يلخص بيرنايز 1930-1931 إحدى محاولات بناء الأعداد الطبيعية. ^[16] ولكن بدلاً من استخدام ملخص بيرنايز، الذي يفتقر إلى بعض التفاصيل، فإن المحاولة التالية لإعادة صياغة بناء راسل، مع دمج بعض الأمثلة المحدودة هي:

بالنسبة لراسل، فإن المجموعات (الفئات) هي مجموعات من "الأشياء" المحددة بأسماء خاصة، والتي تنشأ نتيجة لقضايا (ادعاءات حقيقة حول شيء أو أشياء). قام راسل بتحليل هذه الفكرة العامة. بدأ بـ "المصطلحات" في الجمل، والتي حللها على النحو التالي:

بالنسبة لراسل، فإن "المصطلحات" هي إما "أشياء" أو "مفاهيم": "كل ما قد يكون موضوعًا للفكر، أو قد يحدث في أي اقتراح صحيح أو خاطئ، أو يمكن اعتباره واحدًا، فأنا أسميه مصطلحًا . هذه، إذن، هي الكلمة الأوسع في المفردات الفلسفية. سأستخدم الكلمات، الوحدة، الفرد، والكيان كمرادفات لها. تؤكد الكلمتان الأوليان على حقيقة أن كل مصطلح هو واحد، بينما تشتق الثالثة من حقيقة أن كل مصطلح له وجود، أي أنه موجود بمعنى ما. من المؤكد أن الرجل، أو اللحظة، أو العدد، أو الفئة، أو العلاقة، أو الوهم، أو أي شيء آخر يمكن ذكره، هو مصطلح؛ وإنكار أن هذا الشيء أو ذاك هو مصطلح يجب أن يكون دائمًا خاطئًا" (راسل 1903:43)

"من بين المصطلحات، من الممكن التمييز بين نوعين، سأسميهما على التوالي الأشياء والمفاهيم ؛ الأول هو المصطلحات التي تشير إليها الأسماء الصحيحة، والثاني هو المصطلحات التي تشير إليها جميع الكلمات الأخرى... ومن بين المفاهيم، مرة أخرى، يجب التمييز بين نوعين على الأقل، وهما تلك التي تشير إليها الصفات وتلك التي تشير إليها الأفعال" (1903: 44).

"غالبًا ما يُطلق على النوع السابق اسم مسندات أو مفاهيم طبقية؛ أما النوع الأخير فهو دائمًا أو دائمًا تقريبًا علاقات." (1903:44)

"سأتحدث عن مصطلحات القضية باعتبارها المصطلحات، مهما كثر عددها، التي ترد في القضية ويمكن اعتبارها موضوعات تدور حولها القضية. ومن خصائص مصطلحات القضية أن أياً منها يمكن أن يحل محله أي كيان آخر دون أن نفقد القضية. وعلى هذا فإننا نقول إن عبارة "سقراط إنسان" هي عبارة عن قضية لا تحتوي إلا على مصطلح واحد؛ ومن المكون المتبقي من القضية، أحدهما هو الفعل، والآخر هو محمول... والمحمولات إذن هي مفاهيم، غير الأفعال، ترد في القضايا التي لا تحتوي إلا على مصطلح واحد أو موضوع واحد." (1903:45)

لنفترض أن أحدهم أشار إلى شيء ما وقال: "هذا الشيء الذي أمامي اسمه إميلي امرأة". هذا اقتراح، تأكيد على اعتقاد المتحدث، والذي يجب اختباره في مواجهة "حقائق" العالم الخارجي: "العقول لا تخلق الحقيقة أو الزيف. إنها تخلق المعتقدات ... ما يجعل الاعتقاد صحيحًا هو حقيقة ، وهذه الحقيقة لا تنطوي بأي شكل من الأشكال (باستثناء حالات استثنائية) على عقل الشخص الذي لديه الاعتقاد" (1912: 130). إذا اكتشف راسل من خلال التحقيق في اللفظ والتوافق مع "الحقيقة" أن إميلي أرنب، فإن لفظه يعتبر "كاذبًا"؛ إذا كانت إميلي إنسانًا أنثى (أنثى "ثنائية القدمين بلا ريش" كما يحب راسل أن يسمي البشر، متبعًا حكاية ديوجين لايرتيوس عن أفلاطون )، فإن لفظه يعتبر "حقيقيًا".

"إن الفئة، على النقيض من مفهوم الفئة، هي مجموع أو اقتران كل المصطلحات التي تحمل مسندًا معينًا" (1903 ص 55). ويمكن تحديد الفئات من خلال الامتداد (إدراج أعضائها) أو من خلال القصد، أي من خلال "دالة اقتراحية" مثل " x هو u " أو " x هو v ". ولكن "إذا أخذنا الامتداد على أنه مجرد، فإن فئتنا تُعرَّف من خلال تعداد مصطلحاتها، وهذه الطريقة لن تسمح لنا بالتعامل، كما يفعل المنطق الرمزي، مع فئات لا نهائية. وبالتالي، يجب اعتبار فئاتنا بشكل عام أشياء تدل عليها المفاهيم، وإلى هذا الحد فإن وجهة نظر القصد ضرورية". (1909 ص 66)

"إن السمة المميزة لمفهوم الفئة، على النقيض من المصطلحات بشكل عام، هي أن " x هو u " هي دالة تقريرية عندما، وفقط عندما، تكون u مفهوم فئة." (1903:56)

"71. يمكن تعريف الطبقة إما امتداديًا أو قصديًا. وهذا يعني أننا قد نحدد نوع الشيء الذي هو فئة، أو نوع المفهوم الذي يدل على فئة: هذا هو المعنى الدقيق للتضاد بين الامتداد والقصد في هذا الصدد. ولكن على الرغم من أنه يمكن تعريف المفهوم العام بهذه الطريقة المزدوجة، فإن الفئات الخاصة، باستثناء الحالات التي تكون فيها محدودة، لا يمكن تعريفها إلا قصديًا، أي باعتبارها الأشياء التي تدل عليها مثل هذه المفاهيم أو تلك... منطقيًا؛ ويبدو أن التعريف الامتدادي ينطبق بنفس القدر على الفئات اللانهائية، ولكن عمليًا، إذا حاولنا ذلك، فإن الموت سيقطع مسعانا الجدير بالثناء قبل أن يحقق هدفه." (1903: 69)

في كتاب Prinicipia، تشتق الأعداد الطبيعية من جميع القضايا التي يمكن تأكيدها بشأن أي مجموعة من الكيانات. يوضح راسل هذا الأمر في الجملة الثانية (المكتوبة بخط مائل) أدناه.

"في المقام الأول، تشكل الأعداد نفسها مجموعة لا نهائية، وبالتالي لا يمكن تعريفها بالعد. وفي المقام الثاني، من المفترض أن تشكل المجموعات التي تحتوي على عدد معين من المصطلحات مجموعة لا نهائية: فمن المفترض، على سبيل المثال، أن هناك مجموعة لا نهائية من الثلاثيات في العالم ، لأنه إذا لم تكن هذه هي الحال، فإن العدد الإجمالي للأشياء في العالم سيكون محدودًا، وهو أمر يبدو مستبعدًا، على الرغم من أنه ممكن. وفي المقام الثالث، نود تعريف "العدد" بطريقة تجعل الأعداد اللانهائية ممكنة؛ وبالتالي يجب أن نكون قادرين على التحدث عن عدد المصطلحات في مجموعة لا نهائية، ويجب تعريف مثل هذه المجموعة بالقصد، أي بخاصية مشتركة بين جميع أعضائها ومميزة لهم." (1919:13)

ولتوضيح ذلك، ضع في اعتبارك المثال المحدود التالي: لنفترض أن هناك 12 أسرة تعيش في شارع ما. بعضها لديها أطفال، وبعضها الآخر ليس لديه أطفال. إن مناقشة أسماء الأطفال في هذه الأسر تتطلب 12 اقتراحًا تؤكد أن " اسم الطفل هو اسم طفل في الأسرة F n " مطبقًا على مجموعة الأسر هذه في الشارع المعين للأسر التي تحمل أسماء F1 وF2 و... F12. يتعلق كل من الاقتراحات الـ 12 بما إذا كانت "حجة" اسم الطفل تنطبق على طفل في أسرة معينة أم لا. يمكن اعتبار أسماء الأطفال ( اسم الطفل ) بمثابة x في دالة اقتراحية f ( x )، حيث تكون الدالة "اسم طفل في الأسرة التي تحمل اسم F n ". ^{[17] [ بحث أصلي؟ ]}

في حين أن المثال السابق محدود على الدالة القياسية المحدودة " أسماء أطفال العائلة F n' " على الشارع المحدود لعدد محدود من العائلات، فمن الواضح أن راسل كان يقصد أن يمتد ما يلي إلى جميع الدوال القياسية الممتدة على نطاق لا نهائي للسماح بإنشاء جميع الأرقام.

يرى كليين أن راسل قد وضع تعريفًا غير تنبؤي يجب عليه حله، أو المخاطرة باستنتاج شيء مثل مفارقة راسل . "هنا نفترض بدلًا من ذلك مجموع جميع خصائص الأعداد الأساسية، كما توجد في المنطق، قبل تعريف تسلسل الأعداد الطبيعية" (كليين 1952: 44). ستظهر المشكلة، حتى في المثال المحدود المقدم هنا، عندما يتعامل راسل مع فئة الوحدة (راجع راسل 1903: 517).

السؤال الذي يطرح نفسه هو ما هي "الفئة" على وجه التحديد أو ما ينبغي أن تكون عليه. بالنسبة لديديكيند وفريجه، فإن الفئة هي كيان متميز في حد ذاته، "وحدة" يمكن تحديدها بكل تلك الكيانات x التي تلبي بعض الوظائف القياسية F. (تظهر هذه الرمزية في راسل، المنسوبة هناك إلى فريجه: "جوهر الوظيفة هو ما يتبقى عندما يتم إزالة x ، أي في المثال أعلاه، 2( ) ³ + ( ). الحجة x لا تنتمي إلى الوظيفة، لكن الاثنين معًا يشكلان كلًا (المرجع السابق ص 6 [أي وظيفة فريجه 1891 وBegriff ]" (راسل 1903: 505).) على سبيل المثال، يمكن إعطاء "وحدة" معينة اسمًا؛ لنفترض أن عائلة Fα لديها أطفال بأسماء آني وباربي وتشارلز:

{ أ، ب، ج } _فα

يؤدي مفهوم المجموعة أو الفئة ككائن، عند استخدامه دون قيود، إلى مفارقة راسل ؛ انظر المزيد أدناه حول التعريفات غير التنبؤية . كان حل راسل هو تعريف مفهوم الفئة بحيث تشمل فقط تلك العناصر التي تلبي الاقتراح، وكانت حجته هي أن الحجج x لا تنتمي بالفعل إلى الدالة الاقتراحية المعروفة أيضًا باسم "الفئة" التي أنشأتها الدالة. لا ينبغي اعتبار الفئة نفسها كائنًا موحدًا في حد ذاته، فهي موجودة فقط كنوع من الخيال المفيد: "لقد تجنبنا القرار بشأن ما إذا كانت فئة من الأشياء لها وجود بأي معنى ككائن واحد. إن اتخاذ قرار بشأن هذا السؤال بأي شكل من الأشكال غير مبالٍ بمنطقنا" (الطبعة الأولى من مبادئ الرياضيات 1927: 24).

ويستمر راسل في التمسك بهذا الرأي في مقالته التي كتبها عام 1919؛ لاحظ الكلمات "الخيالات الرمزية": ^{[ بحث أصلي؟ ]}

"عندما نقرر أن الطبقات لا يمكن أن تكون أشياء من نفس نوع أعضائها، وأنها لا يمكن أن تكون مجرد أكوام أو مجموعات، وأنها لا يمكن أن يتم تحديدها من خلال وظائف تقريرية، يصبح من الصعب للغاية أن نرى ما يمكن أن تكون عليه، إذا كان من المفترض أن تكون أكثر من مجرد خيالات رمزية . وإذا تمكنا من إيجاد أي طريقة للتعامل معها باعتبارها خيالات رمزية ، فإننا نزيد من الأمن المنطقي لموقفنا، لأننا نتجنب الحاجة إلى افتراض وجود الطبقات دون أن نضطر إلى افتراض معاكس مفاده أنه لا توجد طبقات. نحن نمتنع فقط عن كلا الافتراضين ... ولكن عندما نرفض تأكيد وجود الطبقات، فلا ينبغي أن يُفترض أننا نؤكد بشكل قاطع أنه لا توجد طبقات. نحن لا نؤمن بوجودها إلا لا أدريين ... " (1919: 184)

وفي الطبعة الثانية من كتاب PM (1927) يرى راسل أن "الوظائف لا تحدث إلا من خلال قيمها،... وكل وظائف الوظائف امتدادية... [و] وبالتالي لا يوجد سبب للتمييز بين الوظائف والفئات... وبالتالي تفقد الفئات، على النقيض من الوظائف، حتى ذلك الكيان الغامض الذي تحتفظ به في *20" (ص. xxxix). بعبارة أخرى، اختفت الفئات كمفهوم منفصل تمامًا.

الخطوة 2: جمع الفئات "المتشابهة" في "حزم" : يمكن وضع هذه المجموعات أعلاه في "علاقة ثنائية" (مقارنة من أجل) التشابه من خلال "التساوي العددي"، والذي يرمز إليه هنا بـ ≈ ، أي التطابق الواحد للعناصر، ^[18] وبالتالي إنشاء فئات راسل من الفئات أو ما أسماه راسل "الحزم". "يمكننا أن نفترض جميع الأزواج في حزمة واحدة، وجميع الثلاثيات في حزمة أخرى، وهكذا. وبهذه الطريقة نحصل على حزم مختلفة من المجموعات، تتكون كل حزمة من جميع المجموعات التي تحتوي على عدد معين من المصطلحات. كل حزمة هي فئة أعضاؤها عبارة عن مجموعات، أي فئات؛ وبالتالي فإن كل منها هي فئة من الفئات" (راسل 1919:14).

الخطوة 3: قم بتعريف الفئة الفارغة : لاحظ أن فئة معينة من الفئات هي خاصة لأن فئاتها لا تحتوي على أي عناصر، أي أن العناصر لا تلبي المسندات التي حدد تأكيدها هذه الفئة/المجموعة المعينة.

يمكن تسمية الكيان الناتج "الفئة الفارغة" أو "الفئة الفارغة". يرمز راسل إلى الفئة الفارغة/الفارغة بـ Λ. إذن، ما هي الفئة الفارغة التي يرمز إليها راسل بالضبط؟ يقول راسل في كتابه PM "إن الفئة يقال إنها موجودة عندما يكون بها عضو واحد على الأقل... الفئة التي ليس بها أعضاء تسمى "الفئة الفارغة"... "α هي الفئة الفارغة" تعادل "α غير موجودة". ينشأ السؤال بشكل طبيعي عما إذا كانت الفئة الفارغة نفسها "موجودة"؟ تظهر الصعوبات المتعلقة بهذا السؤال في عمل راسل عام 1903. ^[19] بعد أن اكتشف المفارقة في Grundgesetze لفريجه ، أضاف الملحق أ إلى عمله عام 1903 حيث اكتشف من خلال تحليل طبيعة الفئات الفارغة والوحدوية الحاجة إلى "عقيدة الأنواع"؛ راجع المزيد حول الفئة الوحدوية ومشكلة التعريفات غير التنبؤية و"مبدأ الدائرة المفرغة" لراسل أدناه. ^[19]

الخطوة 4: تعيين "رقم" لكل حزمة : لأغراض الاختصار والتعريف، قم بتعيين رمز فريد (المعروف أيضًا باسم "رقم") لكل حزمة. هذه الرموز عشوائية.

الخطوة 5: تحديد "0" بعد فريج، اختار راسل الفئة الفارغة أو الخالية من الفئات باعتبارها الفئة المناسبة لملء هذا الدور، وهي فئة الفئات التي لا تحتوي على أعضاء. يمكن تسمية هذه الفئة الخالية من الفئات بـ "0"

الخطوة 6: تعريف مفهوم "الخليفة" : عرّف راسل خاصية جديدة "وراثية" (قارن "الأسلاف" لفريج)، وهي خاصية لفئات معينة لديها القدرة على "وراثة" خاصية من فئة أخرى (قد تكون فئة من الفئات) أي "يقال إن الخاصية "وراثية" في سلسلة الأعداد الطبيعية إذا كانت تنتمي إلى عدد n ، فإنها تنتمي أيضًا إلى n +1، خليفة n ". (1903: 21). ويؤكد أن "الأعداد الطبيعية هي نسل - "الأبناء"، ورثة "الخليفة" - من 0 فيما يتعلق بالعلاقة "السلف المباشر لـ (وهو عكس "الخليفة") (1919: 23).

لاحظ أن راسل استخدم هنا بضع كلمات دون تعريف، وخاصة "سلسلة الأعداد"، و"العدد n "، و"الخليفة". وسوف يقوم بتعريف هذه الكلمات في الوقت المناسب. لاحظ على وجه الخصوص أن راسل لا يستخدم فئة الوحدة من الفئات "1" لبناء الخليفة . والسبب هو أنه في التحليل التفصيلي لراسل، ^[20] إذا أصبحت فئة الوحدة كيانًا في حد ذاتها، فيمكنها أيضًا أن تكون عنصرًا في اقتراحها الخاص؛ وهذا يتسبب في أن يصبح الاقتراح "غير قابل للتنبؤ" وينتج عنه "حلقة مفرغة". بل إنه يقول: "لقد رأينا في الفصل الثاني أن العدد الأساسي يجب أن يُعرَّف بأنه فئة من الفئات، وفي الفصل الثالث أن الرقم 1 يجب أن يُعرَّف بأنه فئة كل الفئات الوحدوية، كل ما يحتوي على عضو واحد فقط، كما ينبغي لنا أن نقول ولكن من أجل الدائرة المفرغة. بطبيعة الحال، عندما يُعرَّف الرقم 1 بأنه فئة كل الفئات الوحدوية، يجب تعريف الفئات الوحدوية حتى لا نفترض أننا نعرف ما هو المقصود بالواحد ( 1919: 181).

بالنسبة لتعريفه للخليفة، سوف يستخدم راسل لـ "وحدته" كيانًا واحدًا أو "مصطلحًا" على النحو التالي:

"يبقى أن نحدد "الخليفة". إذا كان هناك أي عدد n، فلنجعل α فئة تحتوي على n عضو، ولنجعل x حدًا ليس عضوًا في α . عندئذٍ، ستحتوي الفئة المكونة من α مع إضافة x على +1 عضو. وبالتالي، لدينا التعريف التالي:

"خليفة عدد المصطلحات في الفئة α هو عدد المصطلحات في الفئة المكونة من α مع x حيث x ليس أي مصطلح ينتمي إلى الفئة ." (1919:23)

يتطلب تعريف راسل "مصطلحًا" جديدًا "يُضاف إلى" المجموعات الموجودة داخل الحزم.

الخطوة 7: إنشاء خليفة للفئة الفارغة .

الخطوة 8: لكل فئة من الفئات المتساوية العدد، قم بإنشاء خليفتها .

الخطوة 9: ترتيب الأعداد : تتطلب عملية إنشاء خليفة العلاقة "... هو خليفة..."، والتي يمكن الإشارة إليها بـ " S "، بين "الأعداد" المختلفة. "يجب علينا الآن أن نفكر في الطابع التسلسلي للأعداد الطبيعية بالترتيب 0، 1، 2، 3،... نحن عادة نفكر في الأعداد بهذا الترتيب، وهو جزء أساسي من عمل تحليل بياناتنا للبحث عن تعريف "الترتيب" أو "السلسلة" بمصطلحات منطقية... لا يكمن الترتيب في فئة المصطلحات، ولكن في العلاقة بين أعضاء الفئة، حيث يظهر بعضها في وقت سابق وبعضها في وقت لاحق." (1919: 31)

يطبق راسل على مفهوم "علاقة الترتيب" ثلاثة معايير: أولاً، يحدد مفهوم عدم التماثل ، أي بالنظر إلى العلاقة مثل S ("... هي خليفة...") بين حدين x و y : x S y ≠ y S x . ثانيًا، يحدد مفهوم الانتقالية لثلاثة أرقام x و y و z : إذا كان x S y و y S z، فإن x S z . ثالثًا، يُعرِّف مفهوم المتصل : "بالنظر إلى أي حدين من الفئة المراد ترتيبها، يجب أن يكون هناك حد يسبق والآخر يليه... تكون العلاقة متصلة عندما، بالنظر إلى أي حدين مختلفين من مجالها [كل من المجال والمجال المعاكس لعلاقة ما، على سبيل المثال الأزواج مقابل الزوجات في علاقة متزوجين]، تكون العلاقة قائمة بين الأول والثاني أو بين الثاني والأول (لا يستبعد إمكانية حدوث كليهما، على الرغم من أنه لا يمكن حدوث كليهما إذا كانت العلاقة غير متكافئة)." (1919: 32)

ويخلص إلى أن "... يقال إن العدد [الطبيعي] m أقل من عدد آخر n عندما يمتلك n كل الخصائص الوراثية التي يمتلكها خليفة m . ومن السهل أن نرى، وليس من الصعب إثبات، أن العلاقة "أقل من"، المحددة على هذا النحو، غير متناظرة ومتعدية ومتصلة، ولها الأعداد [الطبيعية] لمجالها [أي أن المجال والمجال المعاكس هما الأعداد]." (1919:35)

افتراض وجود مفهوم "خارج المنطق" للتكرار : يلاحظ كليين أن "الأطروحة المنطقية يمكن التشكيك فيها في النهاية على أساس أن المنطق يفترض بالفعل أفكارًا رياضية في صياغته. في النظرة الحدسية، فإن جوهرًا رياضيًا أساسيًا موجود في فكرة التكرار" (كليين 1952: 46)

يلاحظ بيرنايز 1930-1931 أن مفهوم "الشيئين" هذا يفترض بالفعل شيئًا ما، حتى بدون ادعاء وجود شيئين، وأيضًا بدون الإشارة إلى مسند، والذي ينطبق على الشيئين؛ إنه يعني ببساطة "شيء وشيء آخر... فيما يتعلق بهذا التعريف البسيط، يتبين أن مفهوم العدد مفهوم بنيوي أولي ... يتبين أن ادعاء المنطقيين بأن الرياضيات هي معرفة منطقية بحتة غامض ومضلل عند الملاحظة الدقيقة للمنطق النظري... [يمكن للمرء أن يوسع تعريف "المنطقي"] ومع ذلك، من خلال هذا التعريف يتم إخفاء ما هو أساسي معرفيًا، ويتم تجاهل ما هو غريب في الرياضيات" (في مانكوسو 1998: 243).

إن هيلبرت 1931:266-7، مثل بيرنايز، يعتبر أن هناك "شيئًا خارج المنطق" في الرياضيات: "إلى جانب الخبرة والفكر، هناك أيضًا مصدر ثالث للمعرفة. حتى لو لم نعد نستطيع اليوم أن نتفق مع كانط في التفاصيل، فإن الفكرة الأكثر عمومية وجوهرية في نظرية المعرفة الكانطية تحتفظ بأهميتها: تحديد نمط التفكير البديهي المسبق ، وبالتالي التحقيق في حالة إمكانية كل المعرفة. في رأيي هذا هو ما يحدث بشكل أساسي في تحقيقاتي لمبادئ الرياضيات. إن البديهي هنا ليس أكثر ولا أقل من نمط أساسي للفكر، والذي أسميه أيضًا نمط الفكر المحدود: شيء ما مُعطى لنا مسبقًا في قدرتنا على التمثيل: أشياء ملموسة خارج المنطق معينة موجودة حدسيًا كخبرة مباشرة قبل كل فكر. إذا كان الاستدلال المنطقي مؤكدًا، فيجب أن تكون هذه الأشياء قابلة للفحص تمامًا في جميع أجزائها، وعرضها، واختلافاتها، وتعاقبها أو ترتيبها جنبًا إلى جنب مع بعضها البعض مُعطى على الفور وبشكل حدسي. "إننا، مع الأشياء، نعتبرها شيئًا لا يمكن اختزاله إلى أي شيء آخر، ولا يحتاج إلى مثل هذا الاختزال." (هيلبرت 1931 في مانكوسو 1998: 266، 267).

باختصار، وفقًا لهيلبرت وبيرنايز، فإن مفهوم "التسلسل" أو "الخليفة" هو مفهوم مسبق يقع خارج المنطق الرمزي.

رفض هيلبرت المنطقية باعتبارها "مسارًا زائفًا": "حاول البعض تعريف الأعداد منطقيًا بحتًا؛ واتخذ آخرون ببساطة أساليب الاستدلال المعتادة في نظرية الأعداد على أنها بديهية. وفي كلا المسارين واجهوا عقبات أثبتت أنها لا يمكن التغلب عليها". (هيلبرت 1931 في مانكوسو 1998: 267). يمكن القول إن نظريات عدم الاكتمال تشكل عقبة مماثلة للنهاية الهيلبرتية.

يذكر مانكوسو أن بروير استنتج أن: "القوانين أو المبادئ الكلاسيكية للمنطق هي جزء من الانتظام المتصور [في التمثيل الرمزي]؛ وهي مستمدة من السجل اللاحق للإنشاءات الرياضية ... المنطق النظري ... [هو] علم تجريبي وتطبيق للرياضيات" (بروير نقلاً عن مانكوسو 1998: 9).

وفيما يتعلق بالجوانب الفنية للمنطق الروسيلي كما يظهر في كتاب مبادئ الرياضيات (أيا كان الإصدار)، فقد شعر جودل في عام 1944 بخيبة الأمل:

"إن من المؤسف أن هذا العرض الشامل والدقيق الأول للمنطق الرياضي واستنباط الرياضيات منه يفتقر إلى الدقة الشكلية في الأسس (المضمنة في *1–*21 من كتاب المبادئ ) إلى الحد الذي يجعله في هذا الصدد يمثل خطوة كبيرة إلى الوراء مقارنة بفريجه. إن ما ينقصه، قبل كل شيء، هو بيان دقيق لقواعد النحو في الصيغة" (راجع الحاشية رقم 1 في الأعمال المجمعة لغودل 1944، 1990:120).

وأشار بشكل خاص إلى أن "الأمر مشكوك فيه بشكل خاص فيما يتعلق بقاعدة الاستبدال واستبدال الرموز المحددة برموزها المحددة " (راسل 1944: 120)

وفيما يتصل بالفلسفة التي قد تشكل الأساس لهذه الأسس، اعتبر جودل أن "نظرية اللاطبقات" التي اقترحها راسل تجسد "نوعاً من البنائية الاسمية... والتي قد يكون من الأفضل أن نطلق عليها مذهب الخيال" (راجع الحاشية رقم 1 في كتاب جودل 1944:119) ـ وهي نظرية معيبة. انظر المزيد في "نقد جودل واقتراحاته" أدناه.

استمرت نظرية معقدة للعلاقات في خنق كتاب راسل التفسيري " مقدمة إلى الفلسفة الرياضية" عام 1919 وطبعته الثانية من كتاب "المبادئ" عام 1927. وفي الوقت نفسه، واصلت نظرية المجموعات عملية اختزالها للعلاقات إلى الزوج المرتب من المجموعات. ويلاحظ جراتان-غينيس أن راسل تجاهل في الطبعة الثانية من كتاب "المبادئ" هذا الاختزال الذي حققه تلميذه نوربرت وينر (1914). وربما بسبب "الإزعاج المتبقي، لم يتفاعل راسل على الإطلاق". ^[21] وبحلول عام 1914، قدم هاوسدورف تعريفًا آخر مكافئًا، وقدم كوراتوفسكي في عام 1921 التعريف المستخدم اليوم . ^[22]

لنفترض أن أمينة مكتبة تريد فهرسة مجموعتها في كتاب واحد (لنسميه Ι لـ "الفهرس"). سيسرد فهرسها جميع الكتب ومواقعها في المكتبة. وكما اتضح، هناك ثلاثة كتب فقط، وهذه لها عناوين Ά وβ وΓ. لتشكيل فهرسها I، تخرج وتشتري كتابًا مكونًا من 200 صفحة فارغة وتسميه "I". الآن لديها أربعة كتب: I وΆ وβ وΓ. مهمتها ليست صعبة. عند الانتهاء، يكون محتوى فهرسها I 4 صفحات، كل منها بعنوان فريد وموقع فريد (يتم اختصار كل مدخل باسم Title.Location _T ):

I = { IL _I , Ά.L _Ά , β.L _β , Γ.L _Γ }.

اعتبر بوانكاريه هذا النوع من التعريفات لـ I " غير تنبؤي ". ويبدو أنه اعتبر أن التعريفات التنبؤية فقط هي التي يمكن السماح بها في الرياضيات:

"إن التعريف يكون "تنبؤيًا" ومقبولًا منطقيًا فقط إذا استبعد جميع الأشياء التي تعتمد على المفهوم المحدد، أي التي يمكن تحديدها بأي شكل من الأشكال من خلاله". ^[23]

وفقًا لتعريف بوانكاريه، فإن كتاب الفهرس الخاص بأمين المكتبة "غير تنبؤي" لأن تعريف I يعتمد على تعريف المجموع I وΆ وβ وΓ. وكما هو موضح أدناه، يصر بعض المعلقين على أن عدم التنبؤ في الإصدارات المنطقية غير ضار، ولكن كما تظهر الأمثلة أدناه، هناك إصدارات ليست ضارّة. وردًا على هذه الصعوبات، دعا راسل إلى حظر قوي، وهو "مبدأ الدائرة المفرغة":

"لا يمكن لأي مجموع أن يحتوي على أعضاء يمكن تعريفها فقط من حيث هذا المجموع، أو أعضاء تتضمن أو تفترض هذا المجموع" (مبدأ الدائرة المفرغة)" (جودل 1944 يظهر في الأعمال المجمعة المجلد الثاني 1990: 125). ^[24]

ولتوضيح مدى الضرر الذي قد يلحق بحالة عدم القدرة على التنبؤ، فلنتأمل عواقب إدخال الوسيطة α في الدالة f مع الناتج ω = 1−α. وقد يُنظر إلى هذا باعتباره تعبير "المنطق الجبري" المكافئ للتعبير "المنطق الرمزي" ω = NOT -α، مع قيمتي الحقيقة 1 و0. فعندما يكون الإدخال α = 0، يكون الناتج ω = 1؛ وعندما يكون الإدخال α = 1، يكون الناتج ω = 0.

لجعل الدالة "غير تنبؤية"، حدد المدخلات بالمخرجات، مما يعطي α = 1−α

في جبر الأعداد النسبية، على سبيل المثال، تتحقق المعادلة عندما تكون α = 0.5. ولكن في جبر بولياني، على سبيل المثال، حيث لا يُسمح إلا بقيمتي الحقيقة 0 و1، فلا يمكن تحقيق المساواة.

قد تنبع بعض الصعوبات في البرنامج المنطقي من مفارقة α = NOT-α ^{[25] اكتشف راسل في} كتاب فريجه لعام 1879 ^[26] أن فريجه سمح لوظيفة باستخلاص مدخلاتها "الوظيفية" (قيمة متغيرها) ليس فقط من كائن (شيء، مصطلح)، ولكن أيضًا من مخرجات الوظيفة نفسها. ^[27]

كما هو موضح أعلاه، فإن بناء فريجه وراسل للأعداد الطبيعية يبدأ بتكوين فئات متساوية العدد من الفئات ("الحزم")، يتبع ذلك تعيين "رقم" فريد لكل حزمة، ثم وضع الحزم في ترتيب عبر علاقة S غير متماثلة: x S y ≠ y S x . لكن فريجه، على عكس راسل، سمح بتحديد فئة الفئات الوحدوية كوحدة في حد ذاتها:

ولكن بما أن الفئة التي تحمل الرقم 1 هي كائن أو وحدة منفردة في حد ذاتها، فيجب أيضًا تضمينها في فئة فئات الوحدات. ويؤدي هذا التضمين إلى انحدار لا نهائي من النوع المتزايد والمحتوى المتزايد.

لقد تجنب راسل هذه المشكلة بإعلانه أن الفئة هي أكثر من مجرد "خيال". وبهذا كان يعني أن الفئة لا يمكنها أن تشير إلا إلى تلك العناصر التي تلبي وظيفتها التقريرية ولا شيء غير ذلك. وباعتبارها "خيالاً" لا يمكن اعتبار الفئة شيئًا: كيانًا، أو "مصطلحًا"، أو مفردة، أو "وحدة". إنها مجموعة، لكنها في نظر راسل ليست "جديرة بالوجود":

"إن الصفة باعتبارها عددًا كبيرًا... لا يمكن الاعتراض عليها، ولكنها كثيرة وليست واحدة. ويمكننا، إذا أردنا، أن نمثلها برمز واحد: وبالتالي فإن x ε u تعني " x هو أحد u ". ولا ينبغي أن نعتبر هذا علاقة بين حدين، x و u ، لأن u باعتبارها حرف اقتران عددي ليست حدًا واحدًا... وبالتالي فإن صفًا من الفئات سيكون عبارة عن العديد من العديد؛ وسوف يكون كل مكون من مكوناته العديد فقط، وبالتالي لا يمكن بأي حال من الأحوال، كما قد نفترض، أن يكون مكونًا منفردًا.[إلخ]" (1903: 516).

يفترض هذا أنه "في الأسفل" يمكن إدراج كل "مصطلح" منفرد (يتم تحديده بواسطة مسند "تنبؤي") لأي فئة، لأي فئة من الفئات، لفئة من فئات الفئات، وما إلى ذلك، ولكنه يقدم مشكلة جديدة - تسلسل هرمي من "أنواع" الفئات.

يلاحظ جودل 1944:131 أن "راسل يسوق سببين ضد وجهة النظر التوسعية للفئات، وهما وجود (1) الفئة الخالية، والتي لا يمكن أن تكون مجموعة، و(2) فئات الوحدة، والتي يجب أن تكون متطابقة مع عناصرها الفردية". ويقترح أن راسل كان ينبغي له أن يعتبر هذه العناصر خيالية، ولكن لا يتوصل إلى استنتاج آخر مفاده أن جميع الفئات (مثل فئة الفئات التي تحدد الأرقام 2 و3 وما إلى ذلك) خيالية.

ولكن راسل لم يفعل هذا. فبعد تحليل مفصل في الملحق أ: العقائد المنطقية والحسابية لفريجه في كتابه عام 1903، يخلص راسل إلى:

"إن المبدأ المنطقي الذي يفرض علينا هو هذا: إن موضوع القضية لا يمكن أن يكون مصطلحًا واحدًا، بل مصطلحات عديدة في الأساس؛ وهذه هي الحال مع جميع القضايا التي تؤكد على أرقام غير 0 و1" (1903: 516).

في الإشعار التالي، صياغة "الفئة ككل" - الفئة هي مجموع تلك المصطلحات (الأشياء) التي تلبي الوظيفة الاقتراحية، ولكن الفئة ليست شيئًا في حد ذاته :

"وبالتالي فإن الاستنتاج النهائي هو أن النظرية الصحيحة للفئات أكثر توسعًا من نظرية الفصل السادس؛ وأن الفئة ككل هي الكائن الوحيد الذي يتم تعريفه دائمًا بواسطة وظيفة تقريرية، وأن هذا مناسب للأغراض الرسمية" (1903: 518).

إن الأمر أشبه بجمع مربي ماشية كل ما يملكه من ماشية (أغنام وأبقار وخيول) في ثلاث حظائر وهمية (واحدة للأغنام وواحدة للأبقار وواحدة للخيول) تقع في مزرعته الخيالية. إن ما يوجد في الواقع هو الأغنام والأبقار والخيول (الامتدادات)، ولكن ليس الحظائر والمزرعة الخيالية "المفاهيمية". ^{[ بحث أصلي؟ ]}

عندما أعلن راسل أن كل الفئات هي خيالات مفيدة، فقد حل مشكلة فئة "الوحدة"، لكن المشكلة الإجمالية لم تختف؛ بل إنها جاءت في شكل جديد: "سيكون من الضروري الآن التمييز بين (1) المصطلحات، (2) الفئات، (3) فئات الفئات، وهكذا إلى ما لا نهاية ؛ وسيتعين علينا أن نعتبر أن أي عضو في مجموعة ما ليس عضوًا في أي مجموعة أخرى، وأن x ε u يتطلب أن يكون x من مجموعة بدرجة أقل بمقدار واحد من المجموعة التي تنتمي إليها u . وبالتالي فإن x ε x سيصبح اقتراحًا بلا معنى؛ وبهذه الطريقة يتم تجنب التناقض" (1903: 517).

هذه هي "عقيدة الأنواع" التي وضعها راسل. ولضمان إمكانية التعامل مع التعبيرات غير التنبؤية مثل x ε x في منطقه، اقترح راسل، كنوع من فرضية العمل، أن جميع هذه التعريفات غير التنبؤية لها تعريفات تنبؤية. ويتطلب هذا الافتراض مفهومي "ترتيب" الوظيفة و"أنواع" الحجة. أولاً، يجب تصنيف الوظائف (وفئاتها كامتدادات، أي "المصفوفات") حسب "ترتيبها"، حيث تكون وظائف الأفراد من الدرجة 1، ووظائف الدوال (فئات الفئات) من الدرجة 2، وهكذا. بعد ذلك، يحدد "نوع" حجج الدالة ("مدخلات" الدالة) على أنها "نطاق أهميتها"، أي ما هي تلك المدخلات α (أفراد؟ فئات؟ فئات الفئات؟ إلخ) التي، عند توصيلها بـ f ( x )، تنتج مخرجًا ذا معنى ω. لاحظ أن هذا يعني أن "النوع" يمكن أن يكون من ترتيب مختلط، كما يوضح المثال التالي:

"فاز جو ديماجيو وفريق يانكيز ببطولة العالم عام 1947".

يمكن تحليل هذه الجملة إلى جملتين: " فاز x ببطولة العالم لعام 1947" + " فاز y ببطولة العالم لعام 1947". تأخذ الجملة الأولى بالنسبة لـ x فردًا "Joe DiMaggio" كمدخل لها، وتأخذ الجملة الأخرى بالنسبة لـ y مجموع "Yankees" كمدخل لها. وبالتالي فإن الجملة المركبة لها نوع (مختلط) من 2، مختلط حسب الترتيب (1 و2).

وباستخدام كلمة "تنبؤية"، قصد راسل أن الدالة يجب أن تكون من مرتبة أعلى من "نوع" متغيراتها. وبالتالي، فإن الدالة (من المرتبة 2) التي تنشئ فئة من الفئات لا يمكنها استيعاب الحجج الخاصة بمتغيراتها التي هي فئات (النوع 1) وأفراد (النوع 0)، لأن هذه أنواع أدنى. ولا يمكن للنوع 3 استيعاب الأنواع 2 أو 1 أو 0، وهكذا. ولكن يمكن خلط هذه الأنواع (على سبيل المثال، لكي تكون هذه الجملة صحيحة (نوعًا ما): " فاز z ببطولة العالم لعام 1947" يمكن أن تقبل الفرد (النوع 0) "جو ديماجيو" و/أو أسماء زملائه الآخرين في الفريق، ويمكنها قبول الفئة (النوع 1) للاعبين الأفراد "يانكيز".

إن بديهية القابلية للاختزال هي الفرضية التي تقول بأن أي دالة من أي مرتبة يمكن اختزالها إلى (أو استبدالها) بدالة تنبؤية مكافئة من المرتبة المناسبة. ^[28] تشير القراءة المتأنية للطبعة الأولى إلى أن الدالة التنبؤية من المرتبة n لا يلزم التعبير عنها "بالكامل" كـ "مصفوفة" ضخمة أو مجموعة من المقترحات الذرية الفردية. "ففي الممارسة العملية، تكون الأنواع النسبية للمتغيرات فقط ذات صلة؛ وبالتالي يمكن تسمية النوع الأدنى الذي يحدث في سياق معين بالأفراد" (ص 161). لكن بديهية القابلية للاختزال تقترح أنه من الناحية النظرية يمكن اختزالها "بالكامل"

لكن بحلول الطبعة الثانية من كتاب PM لعام 1927، تخلى راسل عن بديهية القابلية للاختزال وخلص إلى أنه سيجبر أي ترتيب للوظائف "حتى النهاية" على افتراضاتها الأولية، المرتبطة مع المشغلات المنطقية:

"كل القضايا، مهما كان ترتيبها، مستمدة من مصفوفة مكونة من قضايا أولية مجمعة بواسطة الضربة" ( PM 1927 Appendix A, p. 385)

("الضربة" هي ضربة شيفر - المعتمدة للطبعة الثانية من PM - وهي دالة منطقية ذات حجتين واحدة يمكن من خلالها تعريف جميع الدوال المنطقية الأخرى.)

ولكن النتيجة النهائية كانت انهيار نظريته. وتوصل راسل إلى هذا الاستنتاج المحبط: "إن نظرية الأعداد الترتيبية والكرادلة لا تزال قائمة... ولكن الأعداد غير النسبية ، والأعداد الحقيقية عموماً، لم يعد من الممكن التعامل معها على النحو اللائق... ولعل بعض البديهيات الأخرى، الأقل اعتراضاً من بديهية القابلية للاختزال، قد تؤدي إلى هذه النتائج، ولكننا لم ننجح في التوصل إلى مثل هذه البديهية" ( PM 1927:xiv).

يتفق جودل (1944) على أن مشروع راسل المنطقي قد تعطل؛ ويبدو أنه لا يتفق مع فكرة أن الأعداد الصحيحة نجت أيضًا:

"[في الطبعة الثانية] تم إسقاط بديهية القابلية للاختزال، وتم ذكر صراحة أن جميع المسندات البدائية تنتمي إلى النوع الأدنى وأن الغرض الوحيد من المتغيرات (ومن الواضح أيضًا الثوابت) من الرتب والأنواع الأعلى هو تمكين تأكيد وظائف الحقيقة الأكثر تعقيدًا للاقتراحات الذرية" (جودل 1944 في الأعمال المجمعة : 134).

ومع ذلك، يؤكد جودل أن هذا الإجراء يبدو وكأنه يفترض الحساب في شكل أو آخر (ص 134). ويستنتج أن "المرء يحصل على أعداد صحيحة من رتب مختلفة" (ص 134-135)؛ والدليل في الملحق ب من كتاب راسل 1927 PM على أن "الأعداد الصحيحة من أي رتبة أعلى من 5 هي نفس الأعداد الصحيحة من الرتبة 5" "ليس قاطعًا" و"يجب اعتبار السؤال عما إذا كان (أو إلى أي مدى) يمكن الحصول على نظرية الأعداد الصحيحة على أساس التسلسل الهرمي المتفرع [الفئات بالإضافة إلى الأنواع] غير محلول في الوقت الحاضر". وخلص جودل إلى أن هذا لن يهم على أي حال لأن الدوال القياسية من الرتبة n (أي n ) يجب وصفها بمجموعات محدودة من الرموز (جميع الاقتباسات والمحتوى مستمدة من الصفحة 135).

في عمله الصادر عام 1944، حدد جودل النقطة التي يرى فيها أن منطق راسل قد فشل، وقدم اقتراحات لتصحيح المشاكل. فقد أعاد النظر في "مبدأ الدائرة المفرغة"، وقسمه إلى ثلاثة أجزاء "لا يمكن تعريفها إلا من حيث"، و"تتضمن"، و"تفترض". والجزء الأول هو الذي "يجعل التعريفات غير التنبؤية مستحيلة وبالتالي يدمر اشتقاق الرياضيات من المنطق، كما فعل ديديكيند وفريجيه، وكثير من الرياضيات نفسها". ولأنه يزعم أن الرياضيات تعتمد على عدم التنبؤ المتأصل فيها (على سبيل المثال "الأعداد الحقيقية المحددة بالإشارة إلى جميع الأعداد الحقيقية")، فإنه يستنتج أن ما قدمه هو "دليل على أن مبدأ الدائرة المفرغة خاطئ [وليس] أن الرياضيات الكلاسيكية خاطئة" (كلها مقتبسة من جودل 1944: 127).

إن نظرية راسل التي تزعم عدم وجود فئات هي جذر المشكلة : يعتقد جودل أن عدم القدرة على التنبؤ ليس "عبثًا"، كما يبدو في جميع أنحاء الرياضيات. تنبع مشكلة راسل من وجهة نظره "البنائية (أو الاسمية" ^[29] ) تجاه موضوعات المنطق والرياضيات، وخاصة تجاه القضايا والفئات والمفاهيم... حيث يكون المفهوم رمزًا... بحيث يبدو الكائن المنفصل الذي يشير إليه الرمز مجرد خيال" (ص 128).

في الواقع، يستنتج غودل من نظرية راسل "عدم وجود طبقة":

"إن هذا الأمر يشكل أهمية كبرى باعتباره أحد الأمثلة القليلة، التي تم تناولها بالتفصيل، على الميل إلى إزالة الافتراضات المتعلقة بوجود الأشياء خارج "البيانات" واستبدالها ببناءات على أساس هذه البيانات ^33. إن "البيانات" ينبغي أن نفهمها هنا بمعنى نسبي؛ أي في حالتنا كمنطق دون افتراض وجود فئات ومفاهيم]. وكانت النتيجة في هذه الحالة سلبية في الأساس؛ أي أن الفئات والمفاهيم التي تم تقديمها بهذه الطريقة لا تتمتع بكل الخصائص المطلوبة لاستخدامها في الرياضيات. . . . كل هذا ليس سوى تأكيد للرأي الذي دافعنا عنه أعلاه بأن المنطق والرياضيات (تمامًا مثل الفيزياء) مبنيان على بديهيات ذات محتوى حقيقي لا يمكن تفسيره بعيدًا" (ص 132)

ويختتم مقالته بالاقتراحات والملاحظات التالية:

"إن المرء لابد وأن يتبع مساراً أكثر تحفظاً، مثل محاولة توضيح معنى مصطلحي "الفئة" و"المفهوم"، وإقامة نظرية متسقة للفئات والمفاهيم باعتبارها كيانات موجودة موضوعياً. وهذا هو المسار الذي سلكه التطور الفعلي للمنطق الرياضي والذي اضطر راسل نفسه إلى اتباعه في الأجزاء الأكثر بناءة من عمله. ومن بين المحاولات الرئيسية في هذا الاتجاه... نظرية الأنواع البسيطة ... ونظرية المجموعة البديهية ، وكلاهما نجح على الأقل إلى هذا الحد، حيث يسمحان باستنباط الرياضيات الحديثة وفي الوقت نفسه يتجنبان كل المفارقات المعروفة... ويبدو من المعقول أن نشك في أن هذا الفهم غير الكامل للأسس هو المسؤول عن حقيقة أن المنطق الرياضي ظل حتى الآن متخلفاً إلى هذا الحد عن التوقعات العالية لبيانو وغيره..." (ص 140).

يصف المنطق الجديد مجموعة من وجهات النظر التي يعتبرها أنصارها خليفة للبرنامج المنطقي الأصلي. ^[30] وبشكل أضيق، يمكن النظر إلى المنطق الجديد على أنه محاولة لإنقاذ بعض أو كل عناصر برنامج فريجه من خلال استخدام نسخة معدلة من نظام فريجه في Grundgesetze (والتي يمكن اعتبارها نوعًا من المنطق من الدرجة الثانية ).

على سبيل المثال، قد يستبدل المرء القانون الأساسي الخامس (المماثل لمخطط البديهية للفهم غير المقيد في نظرية المجموعة الساذجة ) ببعض البديهيات "الأكثر أمانًا" لمنع اشتقاق المفارقات المعروفة. المرشح الأكثر استشهادًا لاستبدال BLV هو مبدأ هيوم ، التعريف السياقي لـ "#" المعطى بواسطة "# F = # G إذا وفقط إذا كان هناك اقتران بين F و G" . ^[31] غالبًا ما يُشار إلى هذا النوع من المنطقية الجديدة باسم الفريجية الجديدة . ^[32] يشمل أنصار الفريجية الجديدة كريسبين رايت وبوب هيل ، ويُطلق عليهما أحيانًا أيضًا المدرسة الاسكتلندية أو الأفلاطونية التجريدية ، ^[33] الذين يتبنون شكلًا من أشكال التأسيسية المعرفية . ^[34]

من بين المؤيدين الرئيسيين الآخرين للمنطقية الجديدة برنارد لينسكي وإدوارد ن. زالتا ، الذين يُطلق عليهم أحيانًا مدرسة ستانفورد-إدمونتون ، والبنيوية المجردة أو المنطقية الجديدة النمطية ، الذين تبنوا شكلًا من أشكال الميتافيزيقيا البديهية . ^{[34] [32]} تستمد المنطقية الجديدة النمطية بديهيات بيانو داخل نظرية الكائن النمطية من الدرجة الثانية . ^{[35] [36]}

وقد اقترح م. راندال هولمز نهجًا آخر شبه منطقي جديد. وفي هذا النوع من التعديلات على القواعد الأساسية ، تظل BLV سليمة، باستثناء تقييد الصيغ القابلة للتقسيم على غرار NF الخاص بكواين والأنظمة ذات الصلة. ومن الناحية الأساسية، يتم بعد ذلك "تطبيق" جميع القواعد الأساسية . ويتمتع النظام الناتج بنفس قوة الاتساق مثل NFU الخاص بجينسن + بديهية العد الخاصة بروسير . ^[37]

• الفلسفة الواقعية الأرسطية في الرياضيات

• ريتشارد ديدكيند، 1858، 1878، مقالات حول نظرية الأعداد ، ترجمة إنجليزية نشرتها شركة Open Court Publishing Company عام 1901، منشورات دوفر عام 1963، مينولا، نيويورك، ISBN 0-486-21010-3 . يحتوي على مقالين - الأول "الاستمرارية والأعداد غير النسبية" مع المقدمة الأصلية، والثاني "طبيعة ومعنى الأعداد" مع مقدمتين (1887، 1893). 
• هوارد إيفز، 1990، أساسيات ومفاهيم الرياضيات الأساسية ، الطبعة الثالثة، دار دوفر للنشر، مينولا، نيويورك، ISBN 0-486-69609-X . 
• إ. جراتان-جينيس، 2000، البحث عن الجذور الرياضية، 1870-1940: المنطق ونظريات المجموعات وأسس الرياضيات من كانتور عبر راسل إلى جودل ، مطبعة جامعة برينستون، برينستون نيوجيرسي، ISBN 0-691-05858-X . 
• جان فان هيجنوورت، 1967، من فريج إلى جودل: كتاب مصدري في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، الطبعة الثالثة عام 1976، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-674-32449-8 . يتضمن كتاب Begriffsschrift لفريج عام 1879 مع تعليق فان هيجنوورت، وكتاب راسل عام 1908 المنطق الرياضي على أساس نظرية الأنواع مع تعليق ويلارد في. كوين، وكتاب زيرميلو عام 1908 دليل جديد على إمكانية وجود ترتيب جيد مع تعليق فان هيجنوورت، ورسائل إلى فريج من راسل ومن راسل إلى فريج، إلخ. 
• ستيفن سي. كلين، 1971، 1952، مقدمة في علم الرياضيات الميتافيزيقي 1991 الطبعة العاشرة ، شركة النشر شمال هولندا، أمستردام، نيويورك، ISBN 0-7204-2103-9 . 
• ماريو ليفيو، 2011 "لماذا تنجح الرياضيات: هل تم اختراع الرياضيات أم اكتشافها؟ يقترح أحد علماء الفيزياء الفلكية الرائدين أن الإجابة على السؤال الذي يعود تاريخه إلى آلاف السنين هي كليهما"، مجلة ساينتفك أمريكان (ISSN 0036-8733)، المجلد 305، العدد 2، أغسطس 2011، قسم ساينتفك أمريكان التابع لشركة نيتشر أمريكا، نيويورك.
• برتراند راسل، 1903، مبادئ الرياضيات المجلد الأول ، كامبريدج: مطبعة الجامعة، كامبريدج، المملكة المتحدة.
• باولو مانكوسو، 1998، من بروير إلى هيلبرت: المناقشة حول أسس الرياضيات في عشرينيات القرن العشرين ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، نيويورك، ISBN 0-19-509632-0 . 
• برتراند راسل، 1912، مشاكل الفلسفة (مع مقدمة بقلم جون بيري 1997)، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، نيويورك، ISBN 0-19-511552-X . 
• برتراند راسل، 1919، مقدمة إلى الفلسفة الرياضية ، بارنز أند نوبل، نيويورك، نيويورك، رقم ISBN 978-1-4114-2942-0 . هذا هو رفيق غير رياضي لكتاب مبادئ الرياضيات .  

  • أميت هاجار 2005 مقدمة إلى برتراند راسل، 1919، مقدمة إلى الفلسفة الرياضية ، بارنز أند نوبل، نيويورك، نيويورك، ISBN 978-1-4114-2942-0 . 

• ألفريد نورث وايتهايد وبرتراند راسل، 1927 الطبعة الثانية، (الطبعة الأولى 1910-1913)، مبادئ الرياضيات إلى *56، طبعة 1962 ، كامبريدج في مطبعة الجامعة، كامبريدج المملكة المتحدة، بدون رقم ISBN. الطبعة الثانية، مختصرة إلى *56، مع مقدمة الطبعة الثانية الصفحات Xiii-xlvi، والملحق أ الجديد (*8 مقترحات تحتوي على متغيرات ظاهرة ) ليحل محل *9 نظرية المتغيرات الظاهرة ، والملحق ج وظائف الحقيقة وغيرها .

• "المنطقية" في موسوعة الرياضيات