أسس الرياضيات

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

أسس الرياضيات هي الأطر المنطقية والرياضية التي تسمح بتطوير الرياضيات دون توليد نظريات متناقضة ، وللحصول على مفاهيم موثوقة للنظريات والبراهين والخوارزميات ، وما إلى ذلك على وجه الخصوص. وقد يشمل ذلك أيضًا الدراسة الفلسفية لعلاقة هذا الإطار بالواقع . [ 1 ]

تمثيل أسس الرياضيات. تُثبت النظريات إما من نتائج مثبتة سابقًا أو من بديهيات تُعتبر صحيحة.

لم يُصاغ مصطلح "أسس الرياضيات" قبل نهاية القرن التاسع عشر، مع أن الفلاسفة اليونانيين القدماء وضعوا أسسًا لها تحت مسمى منطق أرسطو ، وطُبقت بشكل منهجي في كتاب أصول إقليدس . ولا تُعتبر العبارة الرياضية صحيحة إلا إذا كانت نظرية مُثبتة من مقدمات صحيحة بواسطة سلسلة من القياسات المنطقية ( قواعد الاستدلال )، وتكون هذه المقدمات إما نظريات مُثبتة مسبقًا أو عبارات بديهية تُسمى مسلمات أو بديهيات .

كان يُفترض ضمنيًا أن هذه الأسس نهائية حتى ظهور حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر على يد إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز في القرن السابع عشر. وقد تضمن هذا المجال الجديد من الرياضيات أساليب جديدة في الاستدلال ومفاهيم أساسية جديدة ( الدوال المتصلة ، والمشتقات ، والنهايات ) لم تكن راسخة، ولكن كان لها نتائج مذهلة، مثل استنتاج أن مدارات الكواكب هي أشكال إهليلجية من قانون نيوتن للجاذبية .

خلال القرن التاسع عشر، أُحرز تقدمٌ في وضع تعريفات دقيقة للمفاهيم الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، ولا سيما الأعداد الطبيعية والحقيقية . وقد أدى ذلك إلى سلسلة من النتائج الرياضية التي بدت متناقضة في أواخر القرن التاسع عشر ، والتي زعزعت الثقة العامة في موثوقية وصحة النتائج الرياضية. وقد أُطلق على هذه الأزمة اسم " الأزمة التأسيسية للرياضيات" .

تطلّب حلّ هذه الأزمة ظهور فرع رياضي جديد يُسمى المنطق الرياضي ، والذي يشمل نظرية المجموعات ، ونظرية النماذج ، ونظرية البرهان ، والحوسبة ، ونظرية التعقيد الحسابي ، ومؤخرًا ، أجزاءً من علوم الحاسوب . ثمّ ساهمت الاكتشافات اللاحقة في القرن العشرين في ترسيخ أسس الرياضيات ضمن إطار متماسك صالح لجميع فروع الرياضيات. ويستند هذا الإطار إلى استخدام منهجي للمنهج البديهي ونظرية المجموعات، وتحديدًا نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار . كما اكتسبت الأسس القائمة على نظرية الأنواع رواجًا واسعًا، حيث تُستخدم بشكل شائع في برامج مساعدة البرهان الحاسوبية .

وينتج عن ذلك أن المفاهيم الرياضية الأساسية، كالأعداد والنقاط والخطوط والفضاءات الهندسية ، لا تُعرَّف على أنها تجريدات من الواقع، بل على أنها نتاج خصائص أساسية ( بديهيات ). ولم يعد ربطها بأصولها الفيزيائية من صميم الرياضيات، مع أن علاقتها بالواقع لا تزال تُستخدم لتوجيه الحدس الرياضي : فالرياضيون ما زالوا يستعينون بالواقع الفيزيائي لاختيار البديهيات، وتحديد النظريات المهمة للإثبات، واستخلاص مؤشرات على البراهين المحتملة.

اليونان القديمة

طوّرت معظم الحضارات بعض فروع الرياضيات، لأغراض عملية في المقام الأول، مثل الحساب (التجار)، والمسح (تحديد حدود الحقول)، وعلم العروض ، وعلم الفلك ، والتنجيم . ويبدو أن الفلاسفة اليونانيين القدماء كانوا أول من درس طبيعة الرياضيات وعلاقتها بالعالم الواقعي.

قدّم زينون الإيلي ( حوالي 490 - حوالي 430 قبل الميلاد ) العديد من المفارقات التي استخدمها لدعم فرضيته القائلة بأن الحركة غير موجودة. وتتعلق هذه المفارقات باللانهاية الرياضية ، وهو مفهوم كان خارج الأسس الرياضية في ذلك الوقت، ولم يكن مفهوماً جيداً قبل نهاية القرن التاسع عشر.  

أصرّ أتباع المدرسة الفيثاغورية في الرياضيات في الأصل على أن الأعداد الوحيدة هي الأعداد الطبيعية ونسب الأعداد الطبيعية. وكان اكتشاف ( حوالي القرن الخامس  قبل الميلاد ) أن نسبة قطر المربع إلى ضلعه ليست نسبة عددين طبيعيين بمثابة صدمة لهم، ولم يقبلوها إلا على مضض. ويشهد على ذلك المصطلح الحديث " العدد غير النسبي " للإشارة إلى عدد ليس ناتج قسمة عددين صحيحين، إذ أن كلمة "غير نسبي" تعني في الأصل "غير معقول" أو " غير قابل للفهم بالمنطق" .

لقد حلّ إيدوكسوس الكنيدي (408-355  قبل الميلاد)، تلميذ أفلاطون ، مشكلة عدم تمثيل نسب الأطوال بالأعداد النسبية، حيث اختزل مقارنة نسبتين غير نسبيتين إلى مقارنات بين مضاعفات صحيحة للقيم المعنية. وقد سبقت طريقته طريقة ديديكيند في تعريف الأعداد الحقيقية الحديث لريتشارد ديديكيند (1831-1916 ) ؛ [ 2 ] انظر إيدوكسوس الكنيدي، قسم  نسب إيدوكسوس .

في كتاب "التحليلات الثانية" ، وضع أرسطو (384-322 قبل الميلاد) منطق تنظيم مجال المعرفة باستخدام المفاهيم الأولية، والمسلمات، والفرضيات، والتعريفات، والنظريات. استقى أرسطو معظم أمثلته من الحساب والهندسة، وشكّل منطقه أساس الرياضيات لقرون. يشبه هذا المنهج المنهج البديهي الحديث ، لكن مع اختلاف فلسفي جوهري: إذ كان يُفترض أن تكون المسلمات والفرضيات صحيحة، إما بديهية أو ناتجة عن تجارب ، بينما لا يتضمن المنهج البديهي أي حقيقة أخرى سوى صحة البرهان. لذا، بالنسبة لأرسطو، النظرية المُثبتة صحيحة، بينما في المنهج البديهي، يُشير البرهان فقط إلى أن المسلمات تستلزم صحة النظرية. 

بلغت منطق أرسطو ذروتها مع كتاب " الأصول " لإقليدس (300 قبل الميلاد)، وهو كتاب في الرياضيات يتميز ببنية دقيقة للغاية: إذ يُبرهن إقليدس على كل قضية ببرهان في شكل سلاسل من القياسات المنطقية (مع أنها لا تلتزم دائمًا بالنماذج الأرسطية بدقة). يُعتبر منطق أرسطو القياسي ، إلى جانب تجسيده في كتاب " الأصول " لإقليدس ، من الإنجازات العلمية لليونان القديمة، وظلّ يُشكّل أساس الرياضيات لقرون. 

قبل حساب التفاضل والتكامل

خلال العصور الوسطى ، شكلت أصول إقليدس أساسًا متينًا تمامًا للرياضيات، وركزت فلسفة الرياضيات على الوضع الأنطولوجي للمفاهيم الرياضية؛ وكان السؤال هو ما إذا كانت موجودة بشكل مستقل عن الإدراك ( الواقعية ) أو داخل العقل فقط ( المفاهيمية )؛ أو حتى ما إذا كانت مجرد أسماء لمجموعة من الأشياء الفردية ( الاسمية ).

في كتاب الأصول ، اقتصرت الأعداد التي تم تناولها على الأعداد الطبيعية ونسب الأطوال. وظل هذا المنظور الهندسي للأعداد غير الصحيحة سائداً حتى نهاية العصور الوسطى، على الرغم من أن ظهور الجبر أدى إلى اعتبارها مستقلة عن الهندسة، مما يعني ضمناً وجود أسس رياضية بدائية. فعلى سبيل المثال، إن تحويلات المعادلات التي قدمها الخوارزمي، والصيغ التكعيبية والرباعية التي اكتُشفت في القرن السادس عشر ، ناتجة عن عمليات جبرية لا نظير هندسي لها.

ومع ذلك، لم يشكل هذا تحدياً للأسس الكلاسيكية للرياضيات، حيث يمكن استنتاج جميع خصائص الأرقام المستخدمة من تعريفها الهندسي.

في عام 1637، نشر رينيه ديكارت كتابه "الهندسة" ، الذي بيّن فيه إمكانية اختزال الهندسة إلى الجبر باستخدام الإحداثيات ، وهي أعداد تحدد موقع نقطة ما. وقد منح هذا الأعداد، التي أطلق عليها ديكارت اسم الأعداد الحقيقية، دورًا تأسيسيًا أكبر (قبل ذلك، كانت الأعداد تُعرَّف على أنها نسبة طولين). اكتسب كتاب ديكارت شهرة واسعة بعد عام 1649، ومهّد الطريق لحساب التفاضل والتكامل .

حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر

قام كل من إسحاق نيوتن (1642-1727) في إنجلترا وليبنيتز (1646-1716) في ألمانيا بشكل مستقل بتطوير حساب التفاضل والتكامل للتعامل مع النقاط المتحركة (مثل الكواكب في السماء) والكميات المتغيرة.

تطلّب هذا الأمر إدخال مفاهيم جديدة كالدوال المتصلة والمشتقات والنهايات . وللتعامل مع هذه المفاهيم بطريقة منطقية، عُرّفت بدلالة الكميات المتناهية في الصغر ، وهي أعداد افتراضية تقترب من الصفر إلى ما لا نهاية. ويتضح الأثر البالغ لحساب الكميات المتناهية في الصغر على أسس الرياضيات من خلال كتيب للفيلسوف البروتستانتي جورج بيركلي (1685-1753)، الذي كتب: "[الكمّيات المتناهية في الصغر] ليست كميات منتهية، ولا كميات متناهية الصغر، ولا هي العدم. ألا يمكننا أن نسميها أشباح كميات زائلة؟". [ 3 ]

كما أن الافتقار إلى الدقة كان يُثار مرارًا، لأن المتناهيات في الصغر والمفاهيم المرتبطة بها لم تكن مُعرَّفة تعريفًا رسميًا ( لم تكن الخطوط والمستويات مُعرَّفة تعريفًا رسميًا أيضًا، لكن الناس كانوا أكثر اعتيادًا عليها). لم تكن الأعداد الحقيقية والدوال المتصلة والمشتقات مُعرَّفة تعريفًا رسميًا قبل القرن التاسع عشر، وكذلك الهندسة الإقليدية . لم يُقدَّم تعريف رسمي للمتناهيات في الصغر إلا في القرن العشرين، مع إثبات إمكانية استنتاج المتناهية في الصغر بأكملها منها.

على الرغم من افتقارها إلى أسس منطقية راسخة، فقد تم اعتماد حساب التفاضل والتكامل بسرعة من قبل علماء الرياضيات، وتم التحقق من صحته من خلال تطبيقاته العديدة؛ ولا سيما حقيقة أنه يمكن استنتاج مسارات الكواكب من قانون نيوتن للجاذبية .

القرن التاسع عشر

شهد علم الرياضيات في القرن التاسع عشر تطورًا سريعًا في مجالات عديدة. وقد أدت العديد من المسائل التي نُظر فيها إلى طرح تساؤلات حول أسس الرياضيات. وكثيرًا ما أدت الحلول المقترحة إلى طرح تساؤلات أخرى ذات طبيعة فلسفية ورياضية في آن واحد. وقد أفضت هذه التساؤلات مجتمعة، في أواخر القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين، إلى نقاشات عُرفت بالأزمة التأسيسية للرياضيات . وتصف الأقسام الفرعية التالية أبرز هذه المشكلات التأسيسية التي ظهرت خلال القرن التاسع عشر.

التحليل الحقيقي

بدأ كوشي (1789-1857) مشروع إرساء أسس دقيقة لحساب التفاضل والتكامل . وعلى وجه الخصوص، رفض المبدأ الاستدلالي الذي أطلق عليه اسم " عمومية الجبر" ، والذي كان يقوم على تطبيق خصائص العمليات الجبرية على المتتاليات اللانهائية دون براهين مناسبة. في كتابه " دروس التحليل " (1821)، تناول الكميات الصغيرة جدًا ، والتي يمكن تسميتها حاليًا "الكميات الصغيرة بما فيه الكفاية"؛ أي أن الجملة التي تقول "إذا كان x صغيرًا جدًا فإن ..." يجب أن تُفهم على أنها "يوجد عدد طبيعي (كبير بما فيه الكفاية) n بحيث يكون | x | < 1/ n ". في البراهين، استخدم هذا المفهوم بطريقة سبقت التعريف الحديث للنهاية باستخدام (ε، δ) . [ 4 ]

تم تطوير التعريف الحديث (ε، δ) للنهايات والدوال المتصلة لأول مرة بواسطة بولزانو في عام 1817، ولكنه ظل غير معروف نسبيًا، وربما كان كوشي على دراية بعمل بولزانو.

قام كارل فايرشتراس (1815-1897) بصياغة ونشر تعريف (ε، δ) للنهايات، واكتشف بعض الدوال الشاذة التي بدت متناقضة في ذلك الوقت، مثل الدوال المتصلة التي لا يمكن تفاضلها في أي مكان . في الواقع، تتعارض هذه الدوال مع المفاهيم السابقة للدالة كقاعدة للحساب أو رسم بياني أملس.

عند هذه النقطة، اكتمل برنامج حساب التحليل (اختزال التحليل الرياضي إلى عمليات حسابية وجبرية) الذي دعا إليه فايرشتراس بشكل أساسي، باستثناء نقطتين.

أولاً، كان التعريف الرسمي للأعداد الحقيقية لا يزال غائباً. في الواقع، بدءاً من ريتشارد ديديكيند عام 1858، عمل العديد من علماء الرياضيات على تعريف الأعداد الحقيقية، بمن فيهم هيرمان هانكل ، وتشارلز ميراي ، وإدوارد هاينه ، ولكن لم يُنشر تعريفان كاملان مستقلان للأعداد الحقيقية إلا في عام 1872: أحدهما من قِبل ديديكيند، باستخدام قطوع ديديكيند ؛ والآخر من قِبل جورج كانتور كفئات تكافؤ لمتتاليات كوشي . [ 5 ]

تركت هذه التعريفات عدة إشكاليات دون حل، مما ساهم في الأزمة التأسيسية للرياضيات . أولًا، يفترض كلا التعريفين أن الأعداد النسبية ، وبالتالي الأعداد الطبيعية، مُعرَّفة تعريفًا دقيقًا؛ وقد تم ذلك بعد بضع سنوات باستخدام بديهيات بيانو . ثانيًا، يتضمن كلا التعريفين مجموعات غير منتهية (قطع ديديكيند ومجموعات عناصر متتالية كوشي)، وقد نُشرت نظرية كانتور للمجموعات بعد ذلك بسنوات.

المشكلة الثالثة أكثر دقة، وتتعلق بأسس المنطق: المنطق الكلاسيكي هو منطق من الدرجة الأولى ؛ أي أن المُكمِّمات تُطبَّق على المتغيرات التي تُمثِّل عناصر فردية، لا على المتغيرات التي تُمثِّل مجموعات (لا نهائية) من العناصر. الخاصية الأساسية لاكتمال الأعداد الحقيقية، واللازمة لتعريفها واستخدامها، تتضمن تكميمًا على مجموعات لا نهائية. في الواقع، يمكن التعبير عن هذه الخاصية إما كما يلي: لكل متتالية لا نهائية من الأعداد الحقيقية، إذا كانت متتالية كوشي ، فإن لها نهاية هي عدد حقيقي ، أو كما يلي: لكل مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية محدودة حدٌّ أعلى أصغر هو عدد حقيقي . هذه الحاجة إلى التكميم على مجموعات لا نهائية هي أحد دوافع تطوير منطق الرتب العليا خلال النصف الأول من القرن العشرين.

الهندسات غير الإقليدية

قبل القرن التاسع عشر، كانت هناك محاولات عديدة فاشلة لاستنباط مسلمة التوازي من بديهيات هندسية أخرى. وفي محاولة لإثبات أن نفيها يؤدي إلى تناقض، بدأ يوهان هاينريش لامبرت (1728-1777) في بناء الهندسة الزائدية ، وقدم الدوال الزائدية ، وحسب مساحة المثلث الزائدي (حيث يكون مجموع زواياه أقل من 180 درجة).

استكمالاً لبناء هذا النوع الجديد من الهندسة، أثبت العديد من علماء الرياضيات بشكل مستقل أنه إذا كان هذا النوع من الهندسة غير متسق ، فإن الهندسة الإقليدية تكون غير متسقة أيضاً، وبالتالي لا يمكن إثبات مسلمة التوازي. وقد أثبت ذلك نيكولاي لوباتشيفسكي عام 1826، ويانوس بولياي (1802-1860) عام 1832، وكارل فريدريش غاوس (بحث غير منشور).

في وقت لاحق من القرن التاسع عشر، طور عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان الهندسة الإهليلجية ، وهي هندسة غير إقليدية أخرى لا يمكن فيها إيجاد خطوط متوازية ويكون مجموع زوايا المثلث فيها أكبر من 180 درجة. وقد تم إثبات اتساقها من خلال تعريف النقاط على أنها أزواج من النقاط المتقابلة على الكرة (أو الكرة الفائقة )، والخطوط على أنها دوائر عظمى على الكرة.

أدت هذه البراهين على استحالة إثبات مسلمة التوازي إلى العديد من المشكلات الفلسفية، وأهمها أنه قبل هذا الاكتشاف، كانت مسلمة التوازي وجميع نتائجها تُعتبر صحيحة . لذا، شكّلت الهندسات غير الإقليدية تحديًا لمفهوم الحقيقة الرياضية .

الهندسة التركيبية مقابل الهندسة التحليلية

منذ إدخال الهندسة التحليلية من قبل رينيه ديكارت في القرن السابع عشر، كان هناك منهجان للهندسة، المنهج القديم المسمى الهندسة التركيبية ، والمنهج الجديد، حيث يتم تحديد كل شيء من حيث الأعداد الحقيقية المسماة بالإحداثيات .

لم يُعر علماء الرياضيات اهتمامًا كبيرًا للتناقض بين هذين المنهجين قبل منتصف القرن التاسع عشر، حيث كان هناك "جدل حاد بين أنصار المنهج التركيبي والمنهج التحليلي في الهندسة الإسقاطية ، إذ اتهم كل طرف الآخر بخلط المفاهيم الإسقاطية والمترية". [ 6 ] في الواقع، لا يوجد مفهوم للمسافة في الفضاء الإسقاطي ، والنسبة التبادلية ، وهي عدد، تُعد مفهومًا أساسيًا في الهندسة الإسقاطية التركيبية.

قام كارل فون شتاودت بتطوير نهج هندسي بحت لهذه المشكلة من خلال إدخال "رميات" تشكل ما يسمى حاليًا بالمجال ، والذي يمكن فيه التعبير عن النسبة التبادلية.

يبدو أن مشكلة التكافؤ بين المنهج التحليلي والمنهج التركيبي لم تُحل تمامًا إلا مع كتاب إميل آرتين "الجبر الهندسي" الذي نُشر عام ١٩٥٧. كان من المعروف أنه، بالنظر إلى حقل k ، يمكن تعريف الفضاءات الأفينية والإسقاطية على k بدلالة فضاءات متجهة k . في هذه الفضاءات، تتحقق نظرية بابوس السداسية . وعلى العكس، إذا أُدرجت نظرية بابوس السداسية في بديهيات هندسة مستوية، فإنه يمكن تعريف حقل k بحيث تكون الهندسة هي نفسها الهندسة الأفينية أو الإسقاطية على k .

الأعداد الطبيعية

تطلّب وضعُ تحليلٍ حقيقيٍّ دقيقٍ وتعريفَ الأعداد الحقيقية اختزالَ كلِّ شيءٍ إلى أعدادٍ نسبيةٍ، ومن ثمَّ إلى أعدادٍ طبيعيةٍ ، لأنّ الأعداد النسبية الموجبة هي كسورٌ من الأعداد الطبيعية. ولذلك، كانت هناك حاجةٌ إلى تعريفٍ رسميٍّ للأعداد الطبيعية، وهو ما يُستلزمُ نظريةً بديهيةً في الحساب . وقد بدأ هذا العمل مع تشارلز ساندرز بيرس عام 1881 وريتشارد ديديكيند عام 1888، اللذين عرّفا الأعداد الطبيعية بأنها عددُ عناصر مجموعةٍ منتهية . [ 7 ] ومع ذلك، فإنّ هذا يستلزمُ نظريةَ المجموعات ، التي لم تكن قد صيغت رسميًا في ذلك الوقت.

قدّم جوزيبي بيانو في عام 1888 مجموعة بديهيات كاملة تستند إلى الخاصية الترتيبية للأعداد الطبيعية. وتُعدّ بديهية بيانو الأخيرة هي الوحيدة التي تُثير صعوبات منطقية، إذ تبدأ إما بعبارة "إذا كانت S مجموعة، فإن" أو بعبارة "إذا".φ{\displaystyle \varphi }" إنها محمول إذن". لذا، فإن بديهيات بيانو تؤدي إلى تكميم على مجموعات غير منتهية، وهذا يعني أن حساب بيانو هو ما يسمى حاليًا منطق الرتبة الثانية .

لم يكن هذا الأمر مفهومًا جيدًا في ذلك الوقت، لكن حقيقة ورود اللانهاية في تعريف الأعداد الطبيعية شكّلت إشكاليةً للعديد من علماء الرياضيات آنذاك. فعلى سبيل المثال، ذكر هنري بوانكاريه أن البديهيات لا يمكن إثباتها إلا في تطبيقها المحدود، وخلص إلى أن "قوة العقل" هي التي تسمح بتصوّر التكرار غير المحدود للفعل نفسه. [ 8 ] وينطبق هذا بشكل خاص على استخدام بديهية بيانو الأخيرة لإثبات أن دالة الخلف تولد جميع الأعداد الطبيعية. كما قال ليوبولد كرونكر : "الله خلق الأعداد الصحيحة، وكل ما عداها من صنع الإنسان". [ ب ] ويمكن تفسير هذا على أنه "لا يمكن تعريف الأعداد الصحيحة رياضيًا".

المجموعات اللانهائية

قبل النصف الثاني من القرن التاسع عشر، كان مفهوم اللانهاية مفهومًا فلسفيًا لا ينتمي إلى الرياضيات. إلا أنه مع ظهور حساب التفاضل والتكامل ، اعتاد علماء الرياضيات على مفهوم اللانهاية، لا سيما من خلال مفهوم اللانهاية الكامنة ، أي كنتيجة لعملية لا نهائية، مثل تعريف المتتالية اللانهائية ، أو المتسلسلة اللانهائية ، أو النهاية . وقد كانت إمكانية وجود لانهاية فعلية موضوعًا للعديد من المناقشات الفلسفية.

لم تُعتبر المجموعات ، وخاصة المجموعات اللانهائية، مفهومًا رياضيًا؛ إذ لم يكن لها مصطلح ثابت. لكنّ تغييرًا جذريًا طرأ مع أعمال جورج كانتور، أول عالم رياضيات يدرس المجموعات اللانهائية دراسة منهجية. وقدّم على وجه الخصوص الأعداد الأصلية التي تقيس حجم المجموعات اللانهائية، والأعداد الترتيبية التي تسمح، بشكل عام، بمواصلة العدّ بعد الوصول إلى اللانهاية. ومن أهم نتائجه اكتشاف أن عدد الأعداد الحقيقية يفوق عدد الأعداد الطبيعية (أي أن العدد الأصلي لمجموعة الأعداد الحقيقية أكبر من العدد الأصلي لمجموعة الأعداد الطبيعية).

وقد رفض العديد من علماء الرياضيات والفلاسفة هذه النتائج، وأدت إلى مناقشات تشكل جزءًا من الأزمة التأسيسية للرياضيات .

تفاقمت الأزمة مع مفارقة راسل التي تنص على أن عبارة "مجموعة جميع المجموعات" متناقضة في ذاتها. وقد أثار هذا التناقض شكوكاً حول اتساق الرياضيات برمتها.

مع ظهور نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ( حوالي عام 1925 ) واعتمادها من قبل المجتمع الرياضي، تمت إزالة الشك حول الاتساق بشكل أساسي، على الرغم من أنه لا يمكن إثبات اتساق نظرية المجموعات بسبب نظرية عدم الاكتمال لغودل .

المنطق الرياضي

في عام ١٨٤٧، نشر دي مورغان قوانينه ، وابتكر جورج بول جبرًا يُعرف الآن بالجبر البولياني ، يسمح بالتعبير عن منطق أرسطو بدلالة الصيغ والعمليات الجبرية . يُعدّ الجبر البولياني نقطة انطلاق المنطق الرياضي وأساس حساب القضايا . وبشكل مستقل، في سبعينيات القرن التاسع عشر، وسّع تشارلز ساندرز بيرس وغوتلوب فريجه حساب القضايا بإدخال المُكمِّمات لبناء منطق المسندات .

أشار فريجه إلى ثلاث خصائص مرغوبة لنظرية منطقية: الاتساق (استحالة إثبات العبارات المتناقضة)، والاكتمال (أي عبارة إما قابلة للإثبات أو قابلة للدحض؛ أي أن نفيها قابل للإثبات)، وقابلية الحسم (هناك إجراء قرار لاختبار كل عبارة).

مع اقتراب مطلع القرن العشرين، روّج برتراند راسل لأعمال فريجه واكتشف مفارقة راسل التي تنص على أن عبارة "مجموعة جميع المجموعات" متناقضة في حد ذاتها. بدت هذه المفارقة وكأنها تجعل الرياضيات برمتها غير متسقة، وهي أحد الأسباب الرئيسية للأزمة التأسيسية للرياضيات.

أزمة تأسيسية

نشأت الأزمة التأسيسية للرياضيات في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين مع اكتشاف العديد من المفارقات أو النتائج غير البديهية.

كان أولها إثبات استحالة إثبات مسلمة التوازي . وينتج هذا عن بناء هندسة غير إقليدية داخل الهندسة الإقليدية ، حيث يستلزم تناقضها تناقض الهندسة الإقليدية. ومن المفارقات المعروفة مفارقة راسل ، التي تُبين أن عبارة "مجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها" متناقضة في ذاتها. ومن المشكلات الفلسفية الأخرى إثبات وجود كائنات رياضية لا يمكن حسابها أو وصفها صراحةً، وإثبات وجود نظريات حول الأعداد الطبيعية لا يمكن إثباتها باستخدام حساب بيانو (انظر نظريات عدم الاكتمال لغودل ).

واجهت العديد من مدارس فلسفة الرياضيات هذه المشكلات في القرن العشرين، وسيتم وصفها أدناه.

درس علماء الرياضيات هذه المشكلات أيضًا، مما أدى إلى تأسيس المنطق الرياضي كفرع جديد من فروع الرياضيات، ويتمثل في تقديم تعريفات رياضية للمنطق (مجموعات قواعد الاستدلال )، والنظريات الرياضية والمنطقية، والنظريات، والبراهين، واستخدام الأساليب الرياضية لإثبات النظريات المتعلقة بهذه المفاهيم. ويُعدّ كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" إنجازًا بارزًا في المنطق الرياضي وأسسه، وقد نشره راسل وألفريد نورث وايتهيد عام ١٩١٣.

أدى المنطق الرياضي إلى نتائج غير متوقعة، مثل نظريات عدم الاكتمال لغودل ، والتي تؤكد، بشكل عام، أنه إذا احتوت نظرية ما على الحساب القياسي، فلا يمكن استخدامها لإثبات أنها ليست متناقضة مع نفسها ؛ وإذا لم تكن متناقضة مع نفسها، فهناك نظريات لا يمكن إثباتها داخل النظرية، ولكنها مع ذلك صحيحة بمعنى تقني ما.

نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC) هي نظرية منطقية وضعها إرنست زيرميلو وأبراهام فرانكل . وقد أصبحت الأساس القياسي للرياضيات الحديثة، وما لم يُنص صراحةً على خلاف ذلك، فإنها تُستخدم في جميع النصوص الرياضية الحديثة، بشكل عام ضمنيًا.

في الوقت نفسه، أصبحت الطريقة البديهية معيارًا فعليًا: إذ يجب أن ينتج برهان أي نظرية عن بديهيات صريحة ونظريات مثبتة سابقًا من خلال تطبيق قواعد استدلال محددة بوضوح. ولا يشترط أن تتوافق البديهيات مع أي واقع. ومع ذلك، يبقى تفسير سبب كون أنظمة البديهيات التي تؤدي إلى نظريات ثرية ومفيدة هي تلك الناتجة عن التجريد من الواقع المادي أو النظريات الرياضية الأخرى، مشكلة فلسفية مفتوحة.

باختصار، تم حل الأزمة التأسيسية بشكل جوهري، مما يفتح آفاقًا جديدة لمشاكل فلسفية. على وجه الخصوص، لا يمكن إثبات أن الأساس الجديد (ZFC) ليس متناقضًا في ذاته. وهناك إجماع عام على أنه في حال حدوث ذلك، يمكن حل المشكلة بتعديل طفيف لـ ZFC.

وجهات نظر فلسفية

عندما نشأت الأزمة الأساسية، دار نقاش واسع بين علماء الرياضيات والمنطق حول ما ينبغي فعله لاستعادة الثقة في الرياضيات. وقد تضمن ذلك أسئلة فلسفية حول الحقيقة الرياضية ، وعلاقة الرياضيات بالواقع ، وواقعية الكائنات الرياضية ، وطبيعة الرياضيات نفسها.

فيما يتعلق بمشكلة الأسس، كان هناك خياران رئيسيان لمحاولة تجنب المفارقات. الأول أدى إلى الحدسية والبنائية ، ويتمثل في تقييد القواعد المنطقية للبقاء أقرب إلى الحدس، بينما الثاني، والذي يُطلق عليه الشكلية ، يعتبر أن النظرية صحيحة إذا أمكن استنتاجها من البديهيات بتطبيق قواعد الاستدلال ( البرهان الشكلي )، وأنه لا حاجة إلى "صحة" البديهيات لصحة النظرية.

الشكلية

يُزعم أن الشكلانيين، مثل ديفيد هيلبرت ( 1862-1943 )، يرون أن الرياضيات ليست سوى لغة وسلسلة من الألعاب. وقد أصرّ هيلبرت على أن الشكلانية، التي أطلق عليها اسم "لعبة الصيغ"، جزء أساسي من الرياضيات، لكن لا يجب اختزال الرياضيات إلى الشكلانية. بل إنه استخدم عبارة "لعبة الصيغ" في رده عام 1927 على انتقادات إل إي جيه بروير .

وإلى أي مدى نجحت لعبة الصيغ التي أتاحتها؟ تُمكّننا هذه اللعبة من التعبير عن كامل المحتوى الفكري لعلم الرياضيات بطريقة موحدة، وتطويره بحيث تتضح في الوقت نفسه الروابط بين القضايا والحقائق الفردية... إن لعبة الصيغ التي ينتقدها براور بشدة، إلى جانب قيمتها الرياضية، تحمل دلالة فلسفية عامة هامة. إذ تُجرى هذه اللعبة وفقًا لقواعد محددة، تُعبّر عن أسلوب تفكيرنا . تُشكّل هذه القواعد نظامًا مغلقًا يمكن اكتشافه وتحديده بشكل قاطع. [ 11 ]

وهكذا يصر هيلبرت على أن الرياضيات ليست لعبة اعتباطية بقواعد اعتباطية ؛ بل يجب أن تتوافق مع كيفية سير تفكيرنا، ومن ثم حديثنا وكتابتنا. [ 11 ]

لا نتحدث هنا عن التعسف بأي شكل من الأشكال. فالرياضيات ليست كلعبة تُحدد مهامها بقواعد مُحددة بشكل تعسفي. بل هي نظام مفاهيمي يمتلك ضرورة داخلية لا يمكن أن تكون إلا على هذا النحو، ولا سبيل إلى غيره بأي حال من الأحوال. [ 12 ]

تُعدّ الفلسفة التأسيسية للشكلية، كما جسّدها ديفيد هيلبرت ، استجابةً لمفارقات نظرية المجموعات ، وهي قائمة على المنطق الصوري . ويمكن صياغة جميع النظريات الرياضية تقريبًا اليوم كنظريات في نظرية المجموعات. وتُعتبر صحة العبارة الرياضية، وفقًا لهذا المنظور، مُتمثلةً في إمكانية استنتاجها من بديهيات نظرية المجموعات باستخدام قواعد المنطق الصوري.

إن مجرد استخدام الشكلية لا يفسر العديد من المسائل: لماذا نستخدم البديهيات التي نستخدمها دون غيرها، ولماذا نوظف القواعد المنطقية التي نوظفها دون غيرها، ولماذا تبدو العبارات الرياضية "الصحيحة" (مثل قوانين الحساب ) صحيحة، وما إلى ذلك. وقد طرح هيرمان فايل هذه الأسئلة نفسها على هيلبرت.

إنّ تحديد "الحقيقة" أو الموضوعية التي يمكن نسبها إلى هذا البناء النظري للعالم، والذي يتجاوز بكثير المعطيات، يُعدّ مشكلة فلسفية عميقة. وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالسؤال التالي: ما الذي يدفعنا إلى اتخاذ نظام البديهيات الذي وضعه هيلبرت أساسًا له؟ فالاتساق شرط ضروري، ولكنه غير كافٍ. ولعلنا لا نستطيع الإجابة عن هذا السؤال في الوقت الراهن... [ 13 ]

في بعض الحالات، قد تُجاب هذه الأسئلة إجابةً وافيةً من خلال دراسة النظريات الصورية، في تخصصات مثل الرياضيات العكسية ونظرية التعقيد الحسابي . وكما أشار فايل، فإن الأنظمة المنطقية الصورية معرضةٌ أيضًا لخطر عدم الاتساق ؛ ففي حساب بيانو ، يُمكن القول إن هذا الأمر قد حُسم بالفعل من خلال عدة براهين على الاتساق ، ولكن ثمة جدلٌ حول ما إذا كانت هذه البراهين منتهيةً بما يكفي لتكون ذات معنى. تُثبت نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل أن الأنظمة المنطقية الحسابية لا يُمكن أن تحتوي أبدًا على برهانٍ صحيحٍ على اتساقها . ما أراد هيلبرت فعله هو إثبات اتساق نظام منطقي S ، استنادًا إلى مبادئ P التي لا تُمثل سوى جزءٍ صغيرٍ من S. لكن غودل أثبت أن المبادئ P لا يُمكنها حتى إثبات اتساق P ، فضلًا عن S.

الحدسية

يرى أصحاب المذهب الحدسي، مثل إل إي جيه بروير (1882-1966)، أن الرياضيات من صنع العقل البشري. فالأرقام، كشخصيات القصص الخيالية، ليست سوى كيانات ذهنية، ما كانت لتوجد لولا وجود عقول بشرية تفكر فيها.

تتطلب الفلسفة الأساسية للحدسية أو البنائية ، كما تجسدت في أقصى صورها عند براور وستيفن كلين ، أن تكون البراهين "بنائية" بطبيعتها ؛ أي يجب إثبات وجود الشيء بدلاً من استنتاجه من إثبات استحالة عدم وجوده. ونتيجةً لذلك، فإن شكل البرهان المعروف باسم " البرهان بالخلف" مشكوك فيه. 

تنكر بعض النظريات الحديثة في فلسفة الرياضيات وجود الأسس بالمعنى الأصلي. وتميل بعض النظريات إلى التركيز على الممارسة الرياضية ، وتهدف إلى وصف وتحليل العمل الفعلي للرياضيين كمجموعة اجتماعية . بينما تسعى نظريات أخرى إلى إنشاء علم معرفي للرياضيات ، مع التركيز على الإدراك البشري باعتباره أصل موثوقية الرياضيات عند تطبيقها في العالم الحقيقي. وتقترح هذه النظريات إيجاد الأسس في الفكر البشري فقط، وليس في أي بناء موضوعي خارجي. ولا تزال هذه المسألة مثيرة للجدل.

المنطق

المنطقية مدرسة فكرية وبرنامج بحثي في ​​فلسفة الرياضيات، تقوم على فرضية أن الرياضيات امتداد للمنطق، أو أن بعض أو كل الرياضيات يمكن اشتقاقها في نظام صوري مناسب تكون بديهياته وقواعد استدلاله "منطقية" بطبيعتها. وقد دافع برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد عن هذه النظرية التي بدأها غوتلوب فريجه وتأثرت بريتشارد ديديكيند .

الأفلاطونية القائمة على نظرية المجموعات

لقد تبنى العديد من الباحثين في نظرية المجموعات البديهية ما يُعرف باسم الأفلاطونية القائمة على نظرية المجموعات ، والتي يمثلها كورت غودل .

اتبع العديد من علماء نظرية المجموعات هذا النهج، وبحثوا بنشاط عن بديهيات يمكن اعتبارها صحيحة لأسباب استدلالية، والتي من شأنها أن تحسم فرضية الاستمرارية . دُرست العديد من البديهيات الأساسية الكبيرة ، لكن الفرضية ظلت مستقلة عنها، ويُعتبر الآن من غير المرجح أن تُحل فرضية الاستمرارية ببديهية أساسية كبيرة جديدة. نُظر في أنواع أخرى من البديهيات، لكن لم يتوصل أي منها إلى إجماع بشأن فرضية الاستمرارية حتى الآن. يقترح عمل هامكينز الأخير بديلاً أكثر مرونة: كون متعدد قائم على نظرية المجموعات يسمح بالانتقال الحر بين أكوان نظرية المجموعات التي تُحقق فرضية الاستمرارية وأكوان أخرى لا تُحققها.

حجة الضرورة القصوى للواقعية

تقول هذه الحجة التي قدمها ويلارد كواين وهيلاري بوتنام (بكلمات بوتنام المختصرة):

...  إن التحديد الكمي للكيانات الرياضية أمر لا غنى عنه للعلم  ... لذلك يجب أن نقبل هذا التحديد الكمي؛ لكن هذا يلزمنا بقبول وجود الكيانات الرياضية المعنية.

لكن بوتنام لم يكن أفلاطونياً.

واقعية فجة وجاهزة

قلة من علماء الرياضيات يهتمون عادةً في عملهم اليومي بالمنطقية أو الشكلية أو أي موقف فلسفي آخر. بل ينصبّ اهتمامهم الأساسي على ضمان استمرار إنتاجية المجال الرياضي ككل. وعادةً ما يرون أن هذا يتحقق من خلال الانفتاح الذهني والعملية والنشاط الدؤوب، بينما يُهدد بالانغماس في الأيديولوجيا أو التبسيط المفرط أو الكسل.

وقد أعرب بعض الفيزيائيين المعروفين أيضاً عن هذا الرأي.

على سبيل المثال، قال ريتشارد فاينمان

يسألني الناس: "هل تبحث عن القوانين النهائية للفيزياء؟" كلا، لست كذلك... إذا تبيّن وجود قانون نهائي بسيط يُفسّر كل شيء، فليكن  - سيكون من الرائع اكتشافه. وإذا تبيّن أنه كالبصلة ذات ملايين الطبقات... فهذه هي الحقيقة. ولكن في كلتا الحالتين، هناك الطبيعة، وستبقى على ما هي عليه. لذا، عندما نبدأ البحث، لا ينبغي أن نُحدّد مسبقًا ما نبحث عنه لنكتشف المزيد عنه. [ 14 ]

وستيفن واينبرغ : [ 15 ]

لقد أفادت رؤى الفلاسفة الفيزيائيين أحيانًا، ولكن في الغالب بطريقة سلبية، إذ حمتهم من أفكار الفلاسفة الآخرين المسبقة. ... فبدون بعض التوجيه من أفكارنا المسبقة، لا يمكن للمرء أن يفعل شيئًا على الإطلاق. لكن المبادئ الفلسفية لم تزودنا عمومًا بالأفكار المسبقة الصحيحة.

كان واينبرغ يعتقد أن أي حالة عدم قابلية للحسم في الرياضيات، مثل فرضية الاستمرارية، يمكن حلها على الرغم من نظرية عدم الاكتمال، من خلال إيجاد بديهيات إضافية مناسبة لإضافتها إلى نظرية المجموعات.

النتائج الفلسفية لنظرية غودل في الاكتمال

تُثبت نظرية غودل للاكتمال تكافؤًا في منطق الرتبة الأولى بين إمكانية إثبات صحة صيغة ما رسميًا وصحتها في جميع النماذج الممكنة. تحديدًا، بالنسبة لأي نظرية متسقة من الرتبة الأولى، تُقدم هذه النظرية "بناءً صريحًا" لنموذج تصفه؛ ويكون هذا النموذج قابلًا للعد إذا كانت لغة النظرية قابلة للعد. مع ذلك، فإن هذا "البناء الصريح" ليس خوارزميًا، بل يعتمد على عملية تكرارية لإكمال النظرية، حيث تتضمن كل خطوة من خطوات التكرار إضافة صيغة إلى البديهيات إذا حافظت على اتساق النظرية؛ لكن مسألة الاتساق هذه قابلة للحسم جزئيًا فقط (تتوفر خوارزمية لإيجاد أي تناقض، ولكن إذا لم يكن هناك تناقض، فقد تبقى حقيقة الاتساق هذه غير قابلة للإثبات).

المزيد من المفارقات

تُدرج القائمة التالية بعض النتائج البارزة في ما وراء الرياضيات. تُعدّ نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات أكثر نظريات المجموعات دراسةً. ويُشار إليها اختصارًا بـ ZFC عند تضمينها بديهية الاختيار، و ZF عند استبعادها.

نحو حل الأزمة

ابتداءً من عام 1935، بدأت مجموعة بورباكي من علماء الرياضيات الفرنسيين بنشر سلسلة من الكتب لإضفاء الطابع الرسمي على العديد من مجالات الرياضيات على الأساس الجديد لنظرية المجموعات.

لم تجذب المدرسة الحدسية الكثير من المؤيدين، ولم يتم وضع الرياضيات البنائية على أسس أكثر متانة إلا بعد عمل بيشوب في عام 1967. [ 17 ]

يمكن اعتبار أن برنامج هيلبرت قد أُنجز جزئيًا ، وبالتالي فقد حُلّت الأزمة جوهريًا، مُرضيًا أنفسنا بمتطلبات أقل من طموحات هيلبرت الأصلية. لقد عبّر عن طموحاته في زمنٍ لم يكن فيه شيء واضحًا: لم يكن من الواضح ما إذا كان بإمكان الرياضيات أن تمتلك أساسًا متينًا من الأساس.

توجد العديد من الصيغ الممكنة لنظرية المجموعات، والتي تختلف في قوة اتساقها ، حيث تحتوي الصيغ الأقوى (التي تفترض أنواعًا أعلى من اللانهائيات) على براهين رسمية لاتساق الصيغ الأضعف، ولكن لا يوجد أي منها يحتوي على برهان رسمي لاتساقه الخاص. وبالتالي، فإن الشيء الوحيد الذي ينقصنا هو برهان رسمي لاتساق أي صيغة من نظرية المجموعات قد نفضلها، مثل ZF. وقد ظهرت مبررات فلسفية أخرى لاتساق النظام الصوري، مثل برهان جنتزن على الاتساق الذي يختزل اتساق بديهيات بيانو إلى النظام الأضعف للحساب التكراري البدائي مع بديهية إضافية تؤكد وجود عدد ترتيبي معين . وقد أطلق هذا البرهان أيضًا برنامجًا لتحليل ترتيبي مماثل لأنظمة صورية أخرى. [ 18 ]

عمليًا، لا يعتمد معظم علماء الرياضيات على الأنظمة البديهية، أو إن اعتمدوا عليها، فهم لا يشكّون في اتساق نظرية ZFC ، التي تُعدّ عمومًا نظامهم البديهي المفضّل. في معظم فروع الرياضيات كما تُمارس، لم يكن لعدم اكتمال النظريات الشكلية الأساسية ومفارقاتها أي دور يُذكر، وفي الفروع التي تلعب فيها دورًا، أو التي قد تُؤدي محاولات صياغتها إلى تكوين نظريات غير متسقة (مثل المنطق ونظرية الفئات)، يُمكن التعامل معها بحذر.

أظهر تطور نظرية الفئات في منتصف القرن العشرين فائدة نظريات المجموعات التي تضمن وجود فئات أكبر من ZFC، مثل نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل أو نظرية مجموعات تارسكي-غروتينديك ، على الرغم من أنه في كثير من الحالات يمكن التخلص رسميًا من استخدام البديهيات الأساسية الكبيرة أو عوالم غروتينديك.

يتمثل أحد أهداف برنامج الرياضيات العكسية في تحديد ما إذا كانت هناك مجالات في "الرياضيات الأساسية" قد تُثير فيها القضايا التأسيسية أزمةً جديدة. ويتضمن ذلك التحقق مما إذا كانت الأنظمة الرسمية الأضعف من ZFC قادرة على إثبات النظريات الرياضية.

مناهج غير قائمة على نظرية المجموعات

تم أيضًا بحث واعتماد مناهج لأسس الرياضيات لا تعتمد على نظرية المجموعات. استُخدمت نظرية الأنواع كأساس للأسس الرياضية، كما هو الحال في حساب الإنشاءات ، أو نظرية الأنواع الحدسية ، التي نشرها بير مارتن-لوف لأول مرة عام 1975. [ 19 ] تُعدّ الأسس أحادية القيمة منهجًا أحدث للأسس الرياضية، نشأ في العقد الأول من الألفية الثانية، وهو مبني على نظرية أنواع التماثل . أصبحت الأسس القائمة على نظرية الأنواع أكثر شيوعًا من تلك القائمة على نظرية المجموعات في برامج مساعدة البرهان ، وهي برامج حاسوبية تُساعد في تطوير البراهين الرياضية الرسمية والتحقق منها.

بصورة عامة، لا تحتاج نظرية الأنواع إلى "بديهيات" بالمعنى التقليدي، بل إلى نظام منطقي أكثر شمولاً يخدم الغرض نفسه. قد يُصعّب هذا مقارنة قوة اتساق نظرية الأنواع بنظرية المجموعات، ولكن جرت محاولات في هذا الصدد. على سبيل المثال، بيّن بنيامين فيرنر إمكانية ترميز نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل باستخدام حساب الإنشاءات الاستقرائية كنظرية فوقية ، والعكس صحيح بافتراض وجود أعداد أصلية لا نهائية غير قابلة للوصول . [ 20 ]

كما تم استخدام بعض كائنات نظرية الفئات التي تسمى "الطوبولوجيا" كأساس للأسس الرياضية.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ انظر العدد النسبي §  أصل الكلمة لهذا المصطلح غير المألوف: "النسبة" مشتقة من "نسبي"، والتي بدورها مشتقة من "غير نسبي".
  2. ↑ الترجمة الإنجليزية مأخوذة من غراي. وفي حاشية، ينسب غراي الاقتباس الألماني إلى: "ويبر 1891-1892، 19، نقلاً عن محاضرة لكرونيكر عام 1886." [ 9 ] [ 10 ]
  1. ↑ يواكيم لامبيك (2007)، "أسس الرياضيات"، الموسوعة البريطانية
  2. ↑ الكتب الثلاثة عشر من كتاب أصول إقليدس، حررها السير توماس هيث . المجلد  2 (الكتاب الخامس). ترجمة هيبرغ. نيويورك: منشورات دوفر . 1956. الصفحات 124-126 . ISBN  0-486-60089-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  3. ↑ المحلل ، خطاب موجه إلى عالم رياضيات غير مؤمن
  4. ↑ غرابينر، جوديث ف. (1983)، "من أعطاك إبسيلون؟ كوشي وأصول حساب التفاضل والتكامل الدقيق"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 90 (3): 185-194 ، doi : 10.2307/2975545 ، JSTOR 2975545 ، مجموعة في كتاب من أعطاك إبسيلون؟، رقم ISBN 978-0-88385-569-0الصفحات ٥-١٣. متوفر أيضًا على الرابط التالي: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
  5. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (أكتوبر 2005)، "الأعداد الحقيقية: من ستيفن إلى هيلبرت" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  6. ↑ لابتيف، ب.ل. وروزنفيلد، ب.أ. (1996) رياضيات القرن التاسع عشر: الهندسة ، صفحة 40، دار بيركهاوزر للنشر، رقم ISBN 3-7643-5048-2
  7. ↑ ديديكيند، ريتشارد. ما هي الأعداد وماذا ينبغي أن تكون؟ الاستمرارية والأعداد غير النسبية . سبرينغر. ISBN 978-3-662-70059-4.
  8. ↑ بوانكاريه، هنري (1905) [1902]. "حول طبيعة الاستدلال الرياضي" . العلم والفرضية . ترجمة ويليام جون غرينستريت. المجلد السادس .
  9. ↑ غراي، جيريمي (2008). شبح أفلاطون: التحول الحداثي للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 153. ISBN  978-1-4008-2904-0تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 29 مارس 2017 – عبر كتب جوجل.
  10. ^ ويبر، هاينريش ل. (1891-1892). " كرونيكر " .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ التقرير السنوي للجمعية الألمانية للرياضيين ] ، الصفحات  2:5-23. (الاقتباس موجود في الصفحة 19). مؤرشف من الأصل في 9 أغسطس 2018؛"الوصول إلى Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung " . أرشفة من الأصلي في 20 أغسطس 2017.
  11. 1 2 هيلبرت 1927 أسس الرياضيات في فان هايجنورت 1967:475
  12. ↑ ص. 14 في هيلبرت، د. (1919–20)، Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen، gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (تم تحريره ومع مقدمة باللغة الإنجليزية بقلم David E. Rowe )، بازل، بيركهاوزر (1992).
  13. ↑ تعليقات ويل 1927 على محاضرة هيلبرت الثانية حول أسس الرياضيات في فان هيجينورت 1967:484. على الرغم من أن ويل الحدسي اعتقد أن "رؤية هيلبرت" ستسود في النهاية، إلا أن هذا سيأتي بخسارة كبيرة للفلسفة: " أرى في هذا هزيمة حاسمة للموقف الفلسفي للظاهراتية البحتة ، والتي تثبت بالتالي أنها غير كافية لفهم العلوم الإبداعية حتى في مجال الإدراك الأكثر بدائية والأكثر انفتاحًا على الأدلة - الرياضيات" (المرجع نفسه). 
  14. ↑ ريتشارد فاينمان، متعة اكتشاف الأشياء، ص 23
  15. ↑ كتب ستيفن واينبرغ، في فصل " ضد الفلسفة" ، في كتابه "أحلام نظرية نهائية":
  16. ↑ تشايتين، غريغوري (2006)، "حدود العقل" (ملف PDF) ، مجلة ساينتفك أمريكان ، 294 (3): 74-81 ، رمز Bibcode : 2006SciAm.294c..74C ، doi : 10.1038/scientificamerican0306-74 ، PMID 16502614 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 4 مارس 2016 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 فبراير 2016 
  17. ↑ أندريه باور (2017)، "خمس مراحل لقبول الرياضيات البنائية"، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 54 (3): 485، doi : 10.1090/bull/1556
  18. ^ راثجين، مايكل. سيج ، ويلفريد (21 فبراير 2024). زالتا، إدوارد ن . نودلمان ، أوري (محرران). "نظرية الإثبات" "إثبات اتساق جنتزن"" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-02-02 . "{{cite web}}: CS1 maint: url-status ( link )
  19. ↑ مارتن-لوف، بير (1998). نظرية حدسية للأنواع، خمسة وعشرون عامًا من نظرية الأنواع البنائية (البندقية، 1995) . أدلة أكسفورد المنطقية. المجلد 36. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 127-172 .  
  20. ↑ فيرنر، بنيامين (1997). عبادي، مارتن؛ إيتو، تاكاياسو (محرران). "المجموعات في الأنواع، والأنواع في المجموعات" . الجوانب النظرية لبرمجيات الحاسوب . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر: 530-546 . doi : 10.1007/BFb0014566 . ISBN 978-3-540-69530-1.

مراجع

  • أفيغاد، جيريمي (2003) نظرية الأعداد والحساب الابتدائي ، مجلة فلسفة الرياضيات، المجلد 11، الصفحات  257-284
  • إيفز، هوارد (1990)، أسس ومفاهيم الرياضيات الأساسية، الطبعة الثالثة ، منشورات دوفر، مينولا، نيويورك، رقم ISBN 0-486-69609-X(غلاف ورقي) انظر §9.5 فلسفات الرياضيات ص  266-271. يسرد إيفز الثلاثة مع وصف موجز يسبقه مقدمة قصيرة.
  • جودمان، ن.د. (1979)، " الرياضيات كعلم موضوعي "، في تيموتشكو (محرر، 1986).
  • هارت، دبليو دي (محرر، 1996)، فلسفة الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، المملكة المتحدة.
  • هيرش، ر. (1979)، "بعض المقترحات لإحياء فلسفة الرياضيات"، في (تيموتشكو 1986).
  • Hilbert، D. (1922)، “Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung”، هامبرغر Mathematische Seminarabhandlungen 1، 157-177. ترجمت "الأسس الجديدة للرياضيات. التقرير الأول"، في (مانكوسو 1998).
  • كاتز، روبرت (1964)، التحليل البديهي ، دي سي هيث وشركاه.
  • كلين، ستيفن سي. (1991) [1952]. مقدمة في ما وراء الرياضيات (الطبعة العاشرة، 1991  ). أمستردام، نيويورك: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-7204-2103-9.
في الفصل الثالث، "نقد الاستدلال الرياضي"، الفقرة 11: " المفارقات "، يناقش كلين الحدسية والشكلية بتعمق. وفي بقية الكتاب، يتناول ويقارن بين المنطقين الشكلي (الكلاسيكي) والحدسي، مع التركيز على الأول. كتابة استثنائية من عالم رياضيات استثنائي.
  • مانكوسو، ب. (محرر، 1998)، من هيلبرت إلى بروير. النقاش حول أسس الرياضيات في عشرينيات القرن العشرين ، مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، المملكة المتحدة.
  • بوتنام، هيلاري (1967)، "الرياضيات بدون أسس"، مجلة الفلسفة 64/1، 5-22. أعيد طبعه، الصفحات  168-184 في دبليو دي هارت (محرر، 1996).
  • —، "ما هي الحقيقة الرياضية؟"، في تيموتشكو (محرر، 1986).
  • سوداك، أوليفييه (أبريل 2001). "نظرية الأعداد الأولية قابلة للإثبات باستخدام PRA". علوم الحاسوب النظرية . 257 ( 1-2 ): 185-239 . doi : 10.1016/S0304-3975(00)00116-X .
  • ترولسترا، أ.س. (بدون تاريخ، ولكن بعد عام ١٩٩٠)، "تاريخ البنائية في القرن العشرين" ، دراسة تفصيلية للمتخصصين: §١ مقدمة، §٢ المحدودية و§٢.٢ الواقعية، §٣ التنبؤية وشبه الحدسية، §٤ حدسية بروير، §٥ المنطق والحساب الحدسي، §٦ التحليل الحدسي والنظريات الأقوى، §٧ الرياضيات البنائية الاسترجاعية، §٨ بنائية بيشوب، §٩ ملاحظات ختامية. ما يقارب ٨٠ مرجعًا.
  • تيموتشكو، ت. (1986)، "تحدي الأسس"، في تيموتشكو (محرر، 1986).
  • —,(ed., 1986), اتجاهات جديدة في فلسفة الرياضيات ، 1986. طبعة منقحة، 1998.
  • van Dalen D. (2008)، “Brouwer، Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)”، في Biografisch Woordenboek van Nederland. عنوان URL: http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
  • Weyl، H. (1921)، “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”، Mathematische Zeitschrift 10، 39–79. ترجم "في الأزمة التأسيسية الجديدة للرياضيات" في (مانكوسو 1998).
  • وايلدر، ريموند ل. (1952)، مقدمة في أسس الرياضيات ، جون وايلي وأولاده، نيويورك، نيويورك.