مجموعة لا نهائية

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة
صورة نظرية المجموعات
صورة نظرية المجموعات

في نظرية المجموعات ، المجموعة اللانهائية هي مجموعة ليست مجموعة منتهية . قد تكون المجموعات اللانهائية قابلة للعد أو غير قابلة للعد . [ 1 ]

ملكيات

مجموعة الأعداد الطبيعية (التي يُفترض وجودها بموجب بديهية اللانهاية ) هي مجموعة لانهائية. [ 1 ] وهي المجموعة الوحيدة التي تشترط البديهيات مباشرةً أن تكون لانهائية. يمكن إثبات وجود أي مجموعة لانهائية أخرى في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZFC)، ولكن فقط بإثبات أنها تتبع من وجود الأعداد الطبيعية.

تكون المجموعة لانهائية إذا وفقط إذا كان لكل عدد طبيعي، مجموعة جزئية يكون عدد عناصرها مساوياً لعدد عناصر ذلك العدد الطبيعي. [ 2 ]

إذا صحت بديهية الاختيار ، فإن المجموعة تكون لانهائية إذا وفقط إذا كانت تتضمن مجموعة فرعية لانهائية قابلة للعد.

إذا كانت مجموعة من المجموعات لانهائية أو تحتوي على عنصر لانهائي، فإن اتحادها يكون لانهائيًا. مجموعة القوى لمجموعة لانهائية تكون لانهائية. [ 3 ] أي مجموعة شاملة لمجموعة لانهائية تكون لانهائية. إذا قُسّمت مجموعة لانهائية إلى عدد محدود من المجموعات الجزئية، فلا بد أن تكون إحداها على الأقل لانهائية. أي مجموعة يمكن تمثيلها على مجموعة لانهائية تكون لانهائية. حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة لانهائية ومجموعة غير فارغة يكون لانهائيًا. حاصل الضرب الديكارتي لعدد لانهائي من المجموعات، تحتوي كل منها على عنصرين على الأقل، إما أن يكون فارغًا أو لانهائيًا؛ إذا تحققت بديهية الاختيار، فإنه يكون لانهائيًا.

إذا كانت المجموعة اللانهائية مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا ، فيجب أن يكون لها مجموعة جزئية غير فارغة وغير تافهة ليس لها عنصر أكبر.

في نظرية ZF، تكون المجموعة لانهائية إذا وفقط إذا كانت مجموعة القوى لمجموعة القوى الخاصة بها مجموعة لانهائية من نوع ديديكيند ، ولها مجموعة جزئية فعلية مكافئة لها في العدد. [ 4 ] إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة أيضًا، فإن المجموعات اللانهائية هي تحديدًا مجموعات ديديكيند اللانهائية.

إذا كانت المجموعة اللانهائية مجموعة قابلة للترتيب الجيد ، فإن لها العديد من الترتيبات الجيدة غير المتماثلة.

تاريخ

تتضمن الأفكار المهمة التي ناقشها ديفيد بيرتون في كتابه " تاريخ الرياضيات: مدخل" كيفية تعريف "العناصر" أو أجزاء المجموعة، وكيفية تعريف العناصر الفريدة في المجموعة، وكيفية إثبات اللانهاية. [ 5 ] كما يناقش بيرتون براهين أنواع مختلفة من اللانهاية، بما في ذلك المجموعات القابلة للعد والمجموعات غير القابلة للعد. [ 5 ] تشمل المواضيع المستخدمة عند مقارنة المجموعات اللانهائية والمجموعات المنتهية المجموعات المرتبة ، والعددية، والتكافؤ، والمستويات الإحداثية ، والمجموعات الشاملة ، والتطبيق، والمجموعات الجزئية، والاستمرارية، والتجاوز . [ 5 ] تأثرت أفكار كانتور حول المجموعات بعلم المثلثات والأعداد غير النسبية. ومن الأفكار الرئيسية الأخرى في نظرية المجموعات اللانهائية التي ذكرها بيرتون، وباولا، ونارلي، ورودجر الأعداد الحقيقية مثل π ، والأعداد الصحيحة، وعدد أويلر . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

يستخدم كلٌّ من بيرتون وروغرز المجموعات المنتهية كمدخلٍ لشرح المجموعات غير المنتهية باستخدام مفاهيم البرهان مثل التعيين، والبرهان بالاستقراء، والبرهان بالتناقض. [ 5 ] [ 7 ] كما يمكن استخدام الأشجار الرياضية لفهم المجموعات غير المنتهية. [ 8 ] ويناقش بيرتون أيضًا براهين المجموعات غير المنتهية، بما في ذلك مفاهيم مثل الاتحادات والمجموعات الجزئية. [ 5 ]

في الفصل الثاني عشر من كتاب "تاريخ الرياضيات: مدخل" ، يُسلّط بيرتون الضوء على كيفية بحث علماء الرياضيات، مثل زيرميلو ، وديديكيند ، وغاليليو ، وكرونيكر ، وكانتور، وبولزانو، في نظرية المجموعات اللانهائية وتأثيرهم فيها. وقد ناقش العديد من هؤلاء العلماء مفهوم اللانهاية، أو أضافوا إليه أفكارًا أخرى. ومن بين التأثيرات التاريخية المحتملة، كيف أدى تاريخ بروسيا في القرن التاسع عشر إلى زيادة المعرفة الرياضية الأكاديمية، بما في ذلك نظرية كانتور للمجموعات اللانهائية. [ 5 ]

أحد التطبيقات المحتملة لنظرية المجموعات اللانهائية هو في علم الوراثة وعلم الأحياء. [ 9 ]

أمثلة

مجموعات لا نهائية قابلة للعد

مجموعة جميع الأعداد الصحيحة ، {..., −1 , 0, 1, 2, ...}، هي مجموعة غير منتهية قابلة للعد. ومجموعة جميع الأعداد الزوجية هي أيضاً مجموعة غير منتهية قابلة للعد، حتى وإن كانت مجموعة جزئية فعلية من مجموعة الأعداد الصحيحة. [ 3 ]

مجموعة جميع الأعداد النسبية هي مجموعة غير منتهية قابلة للعد، حيث يوجد تقابل بينها وبين مجموعة الأعداد الصحيحة. [ 3 ]

مجموعات لا نهائية غير قابلة للعد

مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي مجموعة غير قابلة للعد وغير منتهية. ومجموعة جميع الأعداد غير النسبية هي أيضاً مجموعة غير قابلة للعد وغير منتهية. [ 3 ]

مجموعة جميع المجموعات الجزئية للأعداد الصحيحة هي مجموعة لا نهائية غير قابلة للعد.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 باجاريا، جوان (2019)، "نظرية المجموعات" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (  طبعة خريف 2019)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2019
  2. ↑ بولوس، جورج (1998). المنطق، المنطق، والمنطق ( طبعة مصورة). مطبعة جامعة هارفارد. ص 262. ISBN   978-0-674-53766-8.
  3. 1 2 3 4 كالدول، كريس. "المعجم الرئيسي - اللانهائي" . primes.utm.edu . تم الاسترجاع في 29-11-2019 .
  4. ↑ بولوس، جورج (1994)، "مزايا العمل الشريف على السرقة"، الرياضيات والعقل (أمهيرست، ماساتشوستس، 1991) ، المنطق والحوسبة والفلسفة، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، ص 27-44 ، MR 1373892  انظر على وجه الخصوص الصفحتين 32-33 .
  5. 1 2 3 4 5 6 7 بيرتون، ديفيد (2007). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة السادسة). بوسطن: ماكجرو هيل. ص 666 – 689. ISBN   978-0-07-305189-5.
  6. ↑ بالا، أوزان؛ نارلي، سركان (15 ديسمبر 2020). "دور المعرفة الرسمية في تكوين صورة البرهان: دراسة حالة في سياق المجموعات اللانهائية" . المجلة التركية لتعليم الحاسوب والرياضيات . 11 (3): 584-618 . doi : 10.16949/turkbilmat.702540 . S2CID 225253469 . 
  7. 1 2 رودجرز، نانسي (2000). تعلم الاستدلال: مقدمة في المنطق والمجموعات والعلاقات . نيويورك: وايلي. ISBN 978-1-118-16570-6. OCLC 757394919 . 
  8. ↑ جولين، ج. باسكال؛ كنيب، جاكوب (2021-04-01). "تمثيلات مجموعات الأشجار اللانهائية" . النظام . 38 (1): 79-96 . arXiv : 1908.10327 . doi : 10.1007/s11083-020-09529-0 . ISSN 1572-9273 . S2CID 201646182 .  
  9. ↑ شيلاه، ساهارون؛ سترونغمان، لوتز (2021-06-01). " التوافقية اللانهائية في البيولوجيا الرياضية" . بيوسيستمز . 204 104392. Bibcode : 2021BiSys.20404392S . doi : 10.1016/j.biosystems.2021.104392 . ISSN 0303-2647 . PMID 33731280. S2CID 232298447 .