وقت الضرب

في دراسة العمليات العشوائية في الرياضيات ، يُعرف وقت الوصول (أو وقت الوصول الأول ) بأنه أول وقت تصل فيه عملية معينة إلى مجموعة فرعية معينة من فضاء الحالة . كما تُعد أوقات الخروج وأوقات العودة أمثلة على أوقات الوصول.

ليكن T مجموعة فهارس مرتبة مثل الأعداد الطبيعية ،${\displaystyle \mathbb {N} ,}$الأعداد الحقيقية غير السالبة ، [ 0, +∞) ، أو مجموعة جزئية منها؛ عناصر${\displaystyle t\in T}$يمكن اعتبار ⁠ بمثابة "أوقات". بالنظر إلى فضاء احتمالي (Ω، Σ، Pr) وفضاء حالة قابل للقياس S ، ليكن${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$ليكن عملية عشوائية ، ولتكن A مجموعة جزئية قابلة للقياس من فضاء الحالة S. عندئذٍ يكون وقت الاصطدام الأول${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$المتغير العشوائي المعرف بواسطة

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

يُعرَّف وقت الخروج الأول ( من A ) بأنه وقت الوصول الأول لـ S \ A ، وهو مكمل A في S. ومن المثير للارتباك ^أن هذا يُشار إليه غالبًا أيضًا بـ τ _A. ^{[ 1} ]

يتم تعريف وقت العودة الأول على أنه وقت الوصول الأول لمجموعة العناصر الفردية { X ₀ ( ω )}، والتي عادة ما تكون عنصرًا حتميًا معينًا من فضاء الحالة، مثل أصل نظام الإحداثيات.

• أي وقت توقف هو وقت وصول لعملية ومجموعة أهداف مختارة بشكل صحيح. وهذا يتبع من عكس نظرية ديبوت (فيشر، 2013).
• لنفترض أن B يرمز إلى الحركة البراونية القياسية على خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بدءًا من نقطة الأصل. عندئذٍ، يُلبي زمن الوصول τ _A متطلبات قابلية القياس ليكون زمن توقف لكل مجموعة قابلة للقياس وفقًا لبوريل .${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$⁠
• بالنسبة لـ B كما هو موضح أعلاه، لنفترض أن τ _r ( r > 0 ) يمثل وقت الخروج الأول للفترة ( − r , r ) ، أي وقت الوصول الأول لـ${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).}$عندئذٍ، تحقق القيمة المتوقعة والتباين لـ τ _r

$$\displaystyle \begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• بالنسبة لـ B كما هو مذكور أعلاه، فإن وقت الوصول إلى نقطة واحدة (مختلفة عن نقطة البداية 0) له توزيع ليفي .

• تتناول مشكلة الهروب الضيق الوقت الذي يستغرقه جسيم محصور، يخضع لحركة براونية، للهروب عبر فتحة صغيرة.

يُعرف وقت الوصول لمجموعة F أيضًا باسم بداية F. تنص نظرية البداية على أن وقت الوصول لمجموعة قابلة للقياس F ، بالنسبة لعملية قابلة للقياس تدريجيًا فيما يتعلق بترشيح كامل ومستمر من اليمين، هو وقت توقف. تشمل العمليات القابلة للقياس تدريجيًا، على وجه الخصوص، جميع العمليات التكيفية المستمرة من اليمين واليسار . يُعد إثبات أن البداية قابلة للقياس أمرًا معقدًا نوعًا ما ويتضمن خصائص المجموعات التحليلية . تتطلب النظرية أن يكون فضاء الاحتمال الأساسي كاملًا ، أو على الأقل كاملًا بشكل شامل.

تنصّ معادلة عكس نظرية ديبو على أنه يمكن تمثيل كل زمن توقف مُعرَّف بالنسبة لعملية ترشيح على مؤشر زمني حقيقي القيمة بزمن وصول. وعلى وجه الخصوص، لأي زمن توقف من هذا القبيل، توجد عملية مُكيَّفة غير متزايدة ذات مسارات càdlàg (RCLL) تأخذ القيمتين 0 و1 فقط، بحيث يكون زمن وصول هذه العملية إلى المجموعة {0} هو زمن التوقف المُعتبر. البرهان بسيط للغاية. ^{[ 2 ]}

إذا كانت سلسلة ماركوف غير قابلة للاختزال ومتكررة موجبة، فإن التوزيع الثابت يكون فريدًا ويُعطى بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (i)={\frac {1}{\operatorname {E} \left[\tau _{i}\right]}}\end{aligned}}}$$

حيث τ _i هو وقت الوصول إلى الحالة i . ^{[ 3 ]}

يمكن اعتبار هذا حالة خاصة من لِمّة كاك .

• وقت التغطية ، الوقت الذي يتم فيه الوصول إلى جميع الولايات
• إيقاف الزمن