وظيفة اللياقة البدنية

عند التحسين باستخدام المجموع المرجح، فإن القيم الفردية لـ${\displaystyle O}$تُوحّد الأهداف أولاً لتسهيل مقارنتها. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام التكاليف أو بتحديد القيم المستهدفة وتحديد القيمة الحالية كدرجة تحقيقها. بعد ذلك، تُقارن التكاليف أو درجات التحقيق، ويمكن ربطها، عند الحاجة، بمقياس لياقة موحد. وبدون الإخلال بعمومية الحل ، يُفترض أن اللياقة تمثل قيمةً يُراد تعظيمها. كل هدف${\displaystyle o_{i}}$يتم تخصيص وزن له${\displaystyle w_{i}}$على شكل قيمة مئوية بحيث تكون اللياقة البدنية الخام الإجمالية${\displaystyle f_{raw}}$يمكن حسابها كمجموع مرجح:

${\displaystyle f_{raw}=\sum _{i=1}^{O}{o_{i}\cdot w_{i}}\quad {\mathsf {with}}\quad \sum _{i=1}^{O}{w_{i}}=1}$

انتهاك${\displaystyle R}$قيود${\displaystyle r_{j}}$يمكن تضمينها في اللياقة المحددة بهذه الطريقة في شكل دوال جزاء . ولهذا الغرض، دالة${\displaystyle pf_{j}(r_{j})}$يمكن تعريفها لكل قيد يُرجع قيمة بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$وذلك بحسب درجة المخالفة، وتكون النتيجة${\displaystyle 1}$في حال عدم وجود أي انتهاك، يتم ضرب قيمة اللياقة الأولية المحددة مسبقًا بدالة (دوال) الجزاء، وتكون النتيجة هي قيمة اللياقة النهائية.${\displaystyle f_{final}}$: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle f_{final}=f_{raw}\cdot \prod _{j=1}^{R}{pf_{j}(r_{j})}=\sum _{i=1}^{O}{(o_{i}\cdot w_{i})}\cdot \prod _{j=1}^{R}{pf_{j}(r_{j})}}$

هذا النهج بسيط، ويتميز بإمكانية الجمع بين أي عدد من الأهداف والقيود. أما عيبه، فهو إمكانية تعويض الأهداف المختلفة لبعضها البعض، وضرورة تحديد الأوزان قبل عملية التحسين. وهذا يعني ضرورة تحديد خطوط التوازن قبل التحسين، ولذا يُشار إلى التحسين باستخدام المجموع المرجح أيضًا باسم طريقة التوقع المسبق . ^{[ 12 ]} إضافةً إلى ذلك، قد لا تُحقق بعض الحلول، انظر قسم مقارنة نوعي التحسين .

يُطلق على الحل اسم الحل الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو إذا كان تحسين أحد الأهداف ممكنًا فقط على حساب هدف آخر واحد على الأقل. تمثل مجموعة جميع الحلول الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو، والتي تُسمى أيضًا مجموعة باريتو، مجموعة جميع الحلول الوسطية المثلى بين الأهداف. يوضح الشكل أدناه على اليمين مثالًا على مجموعة باريتو لهدفين.${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$لتحقيق أقصى قيمة. تشكل عناصر المجموعة جبهة باريتو (الخط الأخضر). من هذه المجموعة، يجب على صانع القرار البشري اختيار الحل الوسط المطلوب. ^{[ 12 ]} تُدرج القيود في تحسين باريتو، حيث تكون الحلول التي لا تنتهك القيود أفضل في حد ذاتها من تلك التي تنتهكها. إذا كان لكل من الحلين المراد مقارنتهما انتهاكات للقيود، فإن مدى هذه الانتهاكات هو الذي يحدد الحل الأمثل. ^{[ 14 ]}

أُدرك مبكراً أن الخوارزميات التطورية، بما تتضمنه من مجموعة حلول متزامنة، تُعدّ مناسبةً تماماً لإيجاد حلول في جولة واحدة تُغطي جبهة باريتو بشكلٍ كافٍ. ^{[ 14 ] [ 15 ]} ولذلك، فهي تُعدّ مناسبةً كطرق لاحقة للتحسين متعدد الأهداف، حيث يتخذ القرار النهائي صانع قرار بشري بعد التحسين وتحديد جبهة باريتو. ^{[ 12 ]} إلى جانب SPEA2، ^{[ 16 ]} رسّخت خوارزميتا NSGA-II ^{[ 17 ]} وNSGA-III ^{[ 18 ] [ 19 ]} مكانتهما كطرق قياسية.

تتمثل ميزة تحسين باريتو في أنه، على عكس المجموع المرجح، يوفر جميع البدائل المتكافئة من حيث الأهداف كحل شامل. أما عيبه، فيتمثل في صعوبة أو حتى استحالة تصور البدائل بدءًا من أربعة أهداف. علاوة على ذلك، يتزايد الجهد المبذول بشكل كبير مع ازدياد عدد الأهداف. ^{[ 13 ]} في حال وجود أكثر من ثلاثة أو أربعة أهداف، يجب دمج بعضها باستخدام المجموع المرجح أو طرق تجميع أخرى. ^{[ 12 ]}

بمساعدة المجموع المرجح، يمكن الحصول على جبهة باريتو الكلية باختيار مناسب للأوزان، بشرط أن تكون محدبة . ^{[ 20 ]} يوضح ذلك الشكل المجاور على اليسار. النقطة${\displaystyle {\mathsf {P}}}$يتم الوصول إلى جبهة باريتو الخضراء بواسطة الأوزان${\displaystyle w_{1}}$و${\displaystyle w_{2}}$بشرط أن يتقارب الخوارزمية التطورية نحو الحل الأمثل. الاتجاه الذي يحقق أكبر مكسب في اللياقة ضمن مجموعة الحلول.${\displaystyle Z}$يُشار إلى ذلك بالأسهم المرسومة.

أما في حالة الجبهة غير المحدبة، فلا يمكن الوصول إلى أجزاء الجبهة غير المحدبة بواسطة المجموع المرجح. في الصورة المجاورة على اليمين، يمثل هذا الجزء المقطع بين النقطتين.${\displaystyle {\mathsf {A}}}$و${\displaystyle {\mathsf {B}}}$ويمكن معالجة هذا الأمر إلى حد محدود باستخدام امتداد للمجموع المرجح، وهو المجموع المرجح المتتالي . ^{[ 13 ]}

بمقارنة كلا أسلوبي التقييم، يُعدّ استخدام تحسين باريتو مفيدًا بلا شك عندما تكون المعلومات المتوفرة عن الحلول الممكنة لمهمة ما قليلة، وعندما يمكن حصر عدد أهداف التحسين في ثلاثة، أو أربعة على الأكثر. مع ذلك، في حالة التحسين المتكرر لتنويعات المهمة نفسها، تكون خطوط التوفيق المطلوبة معروفة عادةً، ولا يعود الجهد المبذول لتحديد جبهة باريتو بأكملها مُبررًا. وينطبق هذا أيضًا عندما لا يكون التدخل البشري مرغوبًا أو ممكنًا بعد التحسين، كما هو الحال في عمليات اتخاذ القرار الآلية. ^{[ 13 ]}