وظيفة الوزن

في الإطار المنفصل، دالة الوزن${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$هي دالة موجبة معرفة على مجموعة منفصلة${\displaystyle A}$وهي عادةً ما تكون محدودة أو قابلة للعد . دالة الوزن${\displaystyle w(a):=1}$يتوافق هذا مع الحالة غير المرجحة التي تتساوى فيها جميع العناصر في الوزن. ويمكن بعد ذلك تطبيق هذا الوزن على مختلف المفاهيم.

إذا كانت الدالة${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة حقيقية ذات قيم ، فإن المجموع غير المرجح لـ${\displaystyle f}$على${\displaystyle A}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

ولكن بالنظر إلى دالة الوزن${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$يُعرَّف المجموع المرجح أو التركيبة المخروطية على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

يظهر أحد التطبيقات الشائعة للمجاميع المرجحة في التكامل العددي .

إذا كانت B مجموعة جزئية منتهية من A ، فيمكن استبدال العدد غير الموزون | B | للمجموعة B بالعدد الموزون

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

إذا كانت A مجموعة منتهية غير فارغة، فيمكن استبدال المتوسط ​​غير المرجح أو المتوسط ​​الحسابي.

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

بالمتوسط ​​المرجح أو المتوسط ​​المرجح

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

في هذه الحالة، لا يهم سوى الأوزان النسبية .

تُستخدم المتوسطات المرجحة بشكل شائع في الإحصاء للتعويض عن وجود التحيز . بالنسبة لكمية معينة${\displaystyle f}$تم قياسها عدة مرات مستقلة${\displaystyle f_{i}}$مع التباين${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$يتم الحصول على أفضل تقدير للإشارة عن طريق حساب متوسط ​​جميع القياسات مع ترجيحها.${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$ويكون التباين الناتج أصغر من كل قياس من القياسات المستقلة${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$تعتمد طريقة الاحتمال الأقصى على ترجيح الفرق بين المطابقة والبيانات باستخدام نفس الأوزان .${\displaystyle w_{i}}$.

القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي هي المتوسط ​​المرجح للقيم المحتملة التي قد يأخذها، حيث تمثل الأوزان الاحتمالات المقابلة . وبشكل أعم، فإن القيمة المتوقعة لدالة لمتغير عشوائي هي المتوسط ​​المرجح للاحتمالات للقيم التي تأخذها الدالة لكل قيمة محتملة للمتغير العشوائي.

في نماذج الانحدار التي يُفترض فيها تأثر المتغير التابع بكلٍ من القيم الحالية والمتأخرة (السابقة) للمتغير المستقل ، يتم تقدير دالة تأخير موزعة ، وهي عبارة عن متوسط ​​مرجح للقيم الحالية والمتأخرة المختلفة للمتغير المستقل. وبالمثل، يحدد نموذج المتوسط ​​المتحرك متغيرًا متطورًا كمتوسط ​​مرجح للقيم الحالية والمتأخرة المختلفة لمتغير عشوائي.

مصطلح دالة الوزن مأخوذ من الميكانيكا : إذا كان لدينا مجموعة من${\displaystyle n}$أشياء على رافعة ، مع أوزان${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$(حيث يُفسَّر الوزن الآن بالمعنى المادي) والمواقع${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$إذا كان محور ارتكاز الرافعة عند مركز الكتلة ، فسيكون الرافعة في حالة توازن.

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

وهو أيضاً المتوسط ​​المرجح للمواقع${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

لو${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة حقيقية ذات قيم ، فإن التكامل غير الموزون

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

يمكن تعميم ذلك على التكامل الموزون

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

لاحظ أنه قد يكون من الضروري طلب ذلك${\displaystyle f}$أن يكون قابلاً للتكامل تماماً فيما يتعلق بالوزن${\displaystyle w(x)\,dx}$لكي يكون هذا التكامل محدودًا.

إذا كانت E مجموعة جزئية من$أوميغا$عندئذٍ، يمكن تعميم حجم E ، vol( E ) ، إلى الحجم المرجح.

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

لو$أوميغا$إذا كان لدينا حجم مرجح غير صفري محدود، فيمكننا استبدال المتوسط ​​غير المرجح.

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

بالمتوسط ​​المرجح

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

لو${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$و${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$إذا كانتا دالتين، فيمكن تعميم الشكل الثنائي الخطي غير الموزون

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}

إلى شكل ثنائي خطي مرجح

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)w(x)\ dx.}$

انظر إلى المدخل الخاص بكثيرات الحدود المتعامدة للاطلاع على أمثلة للدوال المتعامدة الموزونة .