النقاط الثابتة لمجموعات التساوي في الفضاء الإقليدي

النقطة الثابتة لمجموعة التناظر هي نقطة ثابتة لكل تناظر في المجموعة. بالنسبة لأي مجموعة تناظر في الفضاء الإقليدي، تكون مجموعة النقاط الثابتة إما فارغة أو فضاءً أفينيًا .

بالنسبة لأي جسم، فإن أي مركز فريد ، وبشكل أعم، أي نقطة ذات خصائص فريدة بالنسبة للجسم، هي نقطة ثابتة لمجموعة التناظر الخاصة به .

ينطبق هذا بشكل خاص على مركز ثقل الشكل، إن وُجد. في حالة الجسم المادي، إذا أُخذت الكثافة والشكل في الاعتبار عند حساب التناظر، فإن ذلك ينطبق على مركز الكتلة .

إذا كانت مجموعة النقاط الثابتة لمجموعة التناظر لجسم ما مجموعةً منفردة، فإن لهذا الجسم مركز تناظر محدد . ويُعرَّف مركز الثقل ومركز الكتلة، إن وُجدا، بأنه هذه النقطة. ويُقصد بمركز التناظر أيضًا النقطة التي ينطبق عليها تناظر الانعكاس. ولا يشترط أن تكون هذه النقطة فريدة؛ فإذا لم تكن كذلك، يوجد تناظر انتقالي ، وبالتالي يوجد عدد لا نهائي من هذه النقاط. ومن جهة أخرى، في حالات التناظر من النوع C _3h و D ₂ ، على سبيل المثال ، يوجد مركز تناظر بالمعنى الأول، ولكن لا يوجد تناظر انعكاسي.

إذا لم يكن لمجموعة التناظر الخاصة بجسم ما أي نقاط ثابتة، فإن الجسم يكون لانهائيًا ويكون مركز ثقله ومركز كتلته غير محددين.

إذا كانت مجموعة النقاط الثابتة لمجموعة التناظر لجسم ما عبارة عن خط أو مستوى، فإن مركز الثقل ومركز كتلة الجسم، إذا تم تعريفهما، وأي نقطة أخرى لها خصائص فريدة بالنسبة للجسم، تقع على هذا الخط أو المستوى.

خط

مجموعة التماثل التافهة فقط هي التي تُبقي الخط بأكمله ثابتًا.

نقطة

تترك المجموعات الناتجة عن الانعكاس نقطة ثابتة.

طائرة

إن مجموعة التناظر التافهة C ₁ هي الوحيدة التي تثبت المستوى بأكمله.

خط

C _s بالنسبة لأي خط يجعل ذلك الخط ثابتًا.

نقطة

تُبقي مجموعات النقاط في بعدين بالنسبة لأي نقطة تلك النقطة ثابتة.

فضاء

إن مجموعة التناظر التافهة C ₁ هي الوحيدة التي تجعل الفضاء بأكمله ثابتًا.

طائرة

C _s بالنسبة لمستوى ما يجعل ذلك المستوى ثابتًا.

خط

مجموعات التماثل التي تترك خطًا ثابتًا هي تماثلات لها في كل مستوى عمودي على ذلك الخط مجموعات نقاط ثنائية الأبعاد مشتركة في بعدين بالنسبة لنقطة تقاطع الخط والمستويات.

• C _n ( n > 1 ) و C _nv ( n > 1 )
• التناظر الأسطواني بدون تناظر انعكاسي في مستوى عمودي على المحور
• الحالات التي تكون فيها مجموعة التناظر مجموعة جزئية لانهائية من مجموعة التناظر الأسطواني

نقطة

جميع مجموعات النقاط الأخرى في ثلاثة أبعاد

لا توجد نقاط ثابتة

تحتوي مجموعة التماثل على عمليات إزاحة أو عملية لولبية.

نقطة

من الأمثلة على مجموعات التناظر، التي تنطبق في جميع الأبعاد، تلك الناتجة عن الانعكاس عند نقطة. يُعد متوازي المستطيلات ذو الأبعاد n مثالاً على جسم ثابت تحت هذا الانعكاس.

• سلافيك ف. جابلان، التناظر والزخرفة والنمطية ، المجلد 30 من سلسلة K & E حول العقد وكل شيء، وورلد ساينتيفيك، 2002. ISBN 9812380809