مجموعة التناظر

في نظرية الزمر ، تُعرَّف زمرة التناظر لجسم هندسي بأنها زمرة جميع التحويلات التي يبقى الجسم تحتها ثابتًا ، والمزودة بعملية التركيب . هذا التحويل هو تطبيق قابل للعكس للفضاء المحيط ، ينقل الجسم إلى نفسه، ويحافظ على جميع بنيته ذات الصلة. يُرمز لزمرة التناظر لجسم X عادةً بالرمز G = Sym( X ).

بالنسبة لجسم في فضاء متري ، تشكل تناظراته مجموعة فرعية من مجموعة التناظرات في الفضاء المحيط. تتناول هذه المقالة بشكل أساسي مجموعات التناظر في الهندسة الإقليدية ، ولكن يمكن دراسة هذا المفهوم أيضًا لأنواع أكثر عمومية من البنى الهندسية.

نعتبر الأشكال الهندسية والصور والأنماط، مثل نمط ورق الجدران ، "أجسامًا" تتمتع بالتناظر . ولتحديد تناظر الأجسام المادية، يمكن اعتبار تركيبها المادي جزءًا من النمط. (يمكن تحديد النمط رسميًا كحقل قياسي ، أو دالة للموقع بقيم تنتمي إلى مجموعة من الألوان أو المواد؛ أو كحقل متجه ؛ أو كدالة أكثر عمومية على الجسم). تُحدث مجموعة التماثلات في الفضاء تأثيرًا جماعيًا على الأجسام الموجودة فيها، وتتألف مجموعة التناظر Sym( X ) من تلك التماثلات التي تُسقط X على نفسها (وكذلك إسقاط أي نمط آخر على نفسه). نقول إن X ثابت تحت هذا الإسقاط ، وأن هذا الإسقاط هو تناظر لـ X.

يُطلق على ما سبق أحيانًا اسم مجموعة التناظر الكاملة لـ X للتأكيد على أنها تشمل التناظرات العكسية للاتجاه (الانعكاسات، والانعكاسات الانزلاقية ، والدورانات غير الصحيحة )، طالما أن هذه التناظرات تُسقط X المحدد على نفسه. تُسمى المجموعة الفرعية من التناظرات الحافظة للاتجاه (الانتقالات، والدورانات، وتركيباتها) مجموعة التناظر الخاصة به . يكون الجسم كيراليًا عندما لا يحتوي على أي تناظرات عكسية للاتجاه ، بحيث تكون مجموعة التناظر الخاصة به مساوية لمجموعة التناظر الكاملة.

يمكن تمثيل أي زمرة تناظر عناصرها تشترك في نقطة ثابتة واحدة ، سواء كانت الزمرة منتهية أو كان الشكل محدودًا، كزمرة جزئية من الزمرة المتعامدة O( n ) باختيار نقطة الأصل كنقطة ثابتة. وبالتالي، فإن زمرة التناظر المناسبة هي زمرة جزئية من الزمرة المتعامدة الخاصة SO( n )، وتُسمى زمرة دوران الشكل.

في زمرة التناظر المنفصلة ، ​​لا تتراكم النقاط المتناظرة حول نقطة معينة باتجاه نقطة حدية . أي أن كل مدار في الزمرة (صور نقطة معينة تحت جميع عناصر الزمرة) يشكل مجموعة منفصلة . جميع زمر التناظر المنتهية منفصلة.

تأتي مجموعات التناظر المنفصلة في ثلاثة أنواع: (1) مجموعات النقاط المحدودة ، التي تشمل فقط الدوران والانعكاس والانقلاب والانعكاس الدوراني - أي المجموعات الفرعية المحدودة من O( n )؛ (2) مجموعات الشبكة اللانهائية ، التي تشمل فقط الإزاحات؛ و(3) مجموعات الفضاء اللانهائية التي تحتوي على عناصر من كلا النوعين السابقين، وربما أيضًا تحويلات إضافية مثل الإزاحات اللولبية والانعكاسات الانزلاقية. وهناك أيضًا مجموعات التناظر المتصلة ( مجموعات لي )، التي تحتوي على دورانات بزوايا صغيرة كيفما اتفق أو إزاحات بمسافات صغيرة كيفما اتفق. ومن الأمثلة على ذلك O(3) ، وهي مجموعة تناظر الكرة. ويمكن تصنيف مجموعات تناظر الأجسام الإقليدية تصنيفًا كاملًا على أنها مجموعات فرعية من المجموعة الإقليدية E( n ) (مجموعة التناظر لـ ^Rⁿ ) .

^يكون للشكلين الهندسيين نفس نوع التناظر عندما تكون مجموعات التناظر الخاصة بهما مجموعات فرعية مترافقة من المجموعة الإقليدية: أي عندما تكون المجموعات الفرعية H1 و _H2 مرتبطة بالعلاقة H1 = _g⁻¹H2g لبعض g في _E ( n ) . على سبيل _المثال :

• يتمتع شكلان ثلاثيا الأبعاد بتناظر انعكاسي، ولكن بالنسبة لمستويات انعكاس مختلفة.
• يتمتع شكلان ثلاثي الأبعاد بتناظر دوراني ثلاثي ، ولكن بالنسبة لمحاور مختلفة.
• نمطان ثنائيا الأبعاد لهما تناظر انتقالي ، كل منهما في اتجاه واحد؛ متجهي الانتقال لهما نفس الطول ولكن باتجاه مختلف.

في الأقسام التالية، سنقتصر على دراسة مجموعات التماثل التي تكون مداراتها مغلقة طوبولوجيًا ، بما في ذلك جميع مجموعات التماثل المنفصلة والمتصلة. مع ذلك، يستثني هذا، على سبيل المثال، مجموعة الإزاحات أحادية البعد بواسطة عدد نسبي ؛ إذ لا يمكن رسم مثل هذا الشكل غير المغلق بدقة معقولة نظرًا لتفاصيله الدقيقة للغاية.

مجموعات التماثل في بُعد واحد هي:

• المجموعة الحلقية التافهة C ₁
• مجموعات عنصرين ناتجة عن انعكاس؛ وهي متماثلة مع C ₂
• المجموعات المنفصلة اللانهائية الناتجة عن عملية إزاحة؛ وهي متماثلة مع Z ، المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة
• المجموعات المنفصلة اللانهائية المتولدة عن طريق الإزاحة والانعكاس؛ وهي متماثلة مع المجموعة ثنائية السطوح المعممة لـ Z ، Dih( Z )، والتي يرمز إليها أيضًا بـ D∞ ₍ وهي ناتج شبه مباشر لـ Z و C2 ₎ .
• المجموعة المولدة من جميع الإزاحات (المتماثلة مع المجموعة الجمعية للأعداد الحقيقية R )؛ لا يمكن أن تكون هذه المجموعة مجموعة التناظر لشكل إقليدي، حتى لو كان مزودًا بنمط: سيكون هذا النمط متجانسًا، وبالتالي يمكن انعكاسه أيضًا. ومع ذلك، فإن حقل متجه ثابت أحادي البعد يمتلك مجموعة التناظر هذه.
• المجموعة المتولدة من جميع عمليات النقل والانعكاس في النقاط؛ وهي متماثلة مع المجموعة ثنائية السطوح المعممة Dih( R ).

حتى الاقتران، تكون مجموعات النقاط المنفصلة في الفضاء ثنائي الأبعاد هي الفئات التالية:

• المجموعات الدورية C1 _، C2 _، C3 _، C4 _، ... حيث تتكون Cn _من جميع الدورانات حول نقطة ثابتة بمضاعفات الزاوية 360°/ n
• المجموعات ثنائية السطوح D ₁ ، D ₂ ، D ₃ ، D ₄ ، ... ، حيث تتكون D _n (من الرتبة 2 n ) من الدورانات في C _n جنبًا إلى جنب مع الانعكاسات في n محاور التي تمر عبر النقطة الثابتة.

C1 هي المجموعة التافهة التي تحتوي فقط على عملية المحايد، والتي تظهر عندما يكون الشكل غير متناظر، على سبيل المثال الحرف "F". C2 _هي مجموعة التناظر للحرف "Z"، وC3 _{هي مجموعة} التريسكيليون ، وC4 _هي مجموعة التناظر لعجلة دوارة حلزونية رباعية الشفرات، وC5 _و C6 ، إلخ، هي مجموعات التناظر لعجلات دوارة حلزونية مماثلة ذات خمسة، _ستة ، إلخ، أذرع.

D ₁ هي مجموعة مكونة من عنصرين تحتوي على عملية التطابق وانعكاس واحد، والذي يحدث عندما يكون للشكل محور تناظر ثنائي واحد فقط ، على سبيل المثال الحرف "A".

المجموعة D2 _، المتماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية ، هي مجموعة التناظر لمستطيل غير متساوي الأضلاع. يحتوي هذا الشكل على أربع عمليات تناظر: عملية الوحدة، ومحور دوران ثنائي، ومستويان مرآويان غير متكافئين.

D ₃ و D ₄ وما إلى ذلك هي مجموعات التناظر للمضلعات المنتظمة .

ضمن كل نوع من أنواع التناظر هذه، توجد درجتان من الحرية لمركز الدوران، وفي حالة المجموعات ثنائية السطوح، درجة أخرى لمواضع المرايا.

أما مجموعات التماثل المتبقية في بعدين مع نقطة ثابتة فهي:

• المجموعة المتعامدة الخاصة SO(2) التي تتكون من جميع الدورانات حول نقطة ثابتة؛ وتُسمى أيضًا مجموعة الدائرة S1 ^، وهي المجموعة الضربية للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1. وهي مجموعة التناظر الخاصة بالدائرة والمكافئ المتصل لـ Cn _. لا يوجد شكل هندسي له مجموعة تناظر كاملة هي مجموعة الدائرة، ولكن قد ينطبق ذلك على حقل متجهي (انظر الحالة ثلاثية الأبعاد أدناه).
• المجموعة المتعامدة O(2) التي تتألف من جميع الدورانات حول نقطة ثابتة والانعكاسات حول أي محور يمر بتلك النقطة الثابتة. هذه هي مجموعة التناظر للدائرة. وتُسمى أيضًا Dih(S1 ⁾ لأنها المجموعة ثنائية السطوح المعممة لـ ^S1 .

قد تحتوي الأشكال غير المحدودة على مجموعات متساوية القياس تتضمن عمليات إزاحة؛ وهذه هي:

• المجموعات السبع للزخارف الجدارية
• مجموعات ورق الحائط الـ 17
• لكل مجموعة من مجموعات التناظر في بُعد واحد، يكون هناك مزيج من جميع التناظرات في تلك المجموعة في اتجاه واحد، ومجموعة جميع الإزاحات في الاتجاه العمودي.
• وينطبق الأمر نفسه على الانعكاسات في خط في الاتجاه الأول.

حتى الاقتران، تتألف مجموعة الزمر النقطية ثلاثية الأبعاد من 7 سلاسل لانهائية، و7 زمر فردية أخرى. في علم البلورات ، لا تُؤخذ في الاعتبار إلا الزمر النقطية التي تحافظ على جزء من الشبكة البلورية (لذا فإن دورانها قد يكون من الرتبة 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 6 فقط). ينتج عن هذا التقييد البلوري للعائلات اللانهائية من الزمر النقطية العامة 32 زمرة نقطية بلورية (27 زمرة فردية من السلاسل السبع، و5 من الزمر الفردية السبع الأخرى).

تشمل مجموعات التناظر المستمرة ذات النقطة الثابتة ما يلي:

• التناظر الأسطواني بدون مستوى تناظر عمودي على المحور. ينطبق هذا، على سبيل المثال، على الزجاجة أو المخروط .
• تناظر أسطواني مع مستوى تناظر عمودي على المحور
• التناظر الكروي

بالنسبة للأجسام ذات أنماط الحقول العددية ، فإن التناظر الأسطواني يستلزم تناظر الانعكاس الرأسي أيضًا. ومع ذلك، لا ينطبق هذا على أنماط الحقول المتجهة : على سبيل المثال، في الإحداثيات الأسطوانية بالنسبة لمحور ما، يكون الحقل المتجه ${\displaystyle \mathbf {A} =A_ {\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$تتمتع بتناظر أسطواني بالنسبة للمحور كلما${\displaystyle A_{\rho },A_{\phi },}$و${\displaystyle A_{z}}$يتمتع بهذا التناظر (بدون اعتماد على${\displaystyle \phi }$ويكون له تناظر انعكاسي فقط عندما${\displaystyle A_{\phi }=0}$.

أما بالنسبة للتناظر الكروي، فلا يوجد مثل هذا التمييز: أي جسم منقوش له مستويات تناظر انعكاسي.

تشمل مجموعات التناظر المستمرة التي لا تحتوي على نقطة ثابتة تلك التي تحتوي على محور لولبي ، مثل الحلزون اللانهائي . انظر أيضًا المجموعات الفرعية للمجموعة الإقليدية .

في سياقات أوسع، قد تكون مجموعة التناظر أي نوع من مجموعات التحويل أو مجموعات التشاكل الذاتي . لكل نوع من أنواع البنية الرياضية تطبيقات قابلة للعكس تحافظ على البنية. في المقابل، يمكن لتحديد مجموعة التناظر أن يُعرّف البنية، أو على الأقل يُوضّح معنى التطابق الهندسي أو الثبات؛ وهذه إحدى طرق النظر إلى برنامج إرلانجن .

على سبيل المثال، تمتلك الأشكال في الهندسة الزائدية غير الإقليدية مجموعات تناظر فوكسية ، وهي مجموعات فرعية منفصلة من مجموعة التناظرات للمستوى الزائدي، تحافظ على المسافة الزائدية بدلاً من المسافة الإقليدية. (يُصوَّر بعضها في رسومات إيشر ). وبالمثل، تحافظ مجموعات التشاكل الذاتي للهندسات المنتهية على عائلات من مجموعات النقاط (الفضاءات الفرعية المنفصلة) بدلاً من الفضاءات الفرعية الإقليدية، أو المسافات، أو الضرب الداخلي. وكما هو الحال بالنسبة للأشكال الإقليدية، تمتلك الأشكال في أي فضاء هندسي مجموعات تناظر هي مجموعات فرعية من تناظرات الفضاء المحيط.

مثال آخر على مجموعة التناظر هو الرسم البياني التوافقي : تناظر الرسم البياني هو تبديل للرؤوس يحول الحواف إلى حواف. أي مجموعة ذات تمثيل منتهٍ هي مجموعة التناظر لرسم كايلي الخاص بها ؛ أما المجموعة الحرة فهي مجموعة التناظر لرسم بياني شجري لانهائي .

تنص نظرية كايلي على أن أي زمرة مجردة هي زمرة جزئية من تباديل مجموعة ما X ، وبالتالي يمكن اعتبارها زمرة التناظر لـ X مع بعض البنية الإضافية. إضافةً إلى ذلك، يمكن تفسير العديد من الخصائص المجردة للزمرة (المعرفة فقط من خلال عملية الزمرة) من خلال التناظرات.

على سبيل المثال، لنفترض أن G = Sym( X ) هي مجموعة التناظر المنتهية للشكل X في فضاء إقليدي ، ولتكن H ⊂ G مجموعة جزئية. عندئذٍ، يمكن تفسير H على أنها مجموعة التناظر لـ X ⁺ ، وهي نسخة "مُزخرفة" من X. يمكن إنشاء هذا الزخرف كما يلي: أضف بعض الأنماط، مثل الأسهم أو الألوان، إلى X لكسر جميع التناظرات، فنحصل على شكل X ^# حيث Sym( X ^# ) = {1}، وهي المجموعة الجزئية التافهة؛ أي أن gX ^# ≠ X ^# لكل g ∈ G غير تافهة . الآن نحصل على:

${\displaystyle X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{يحقق}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).}$

يمكن أيضًا توصيف المجموعات الفرعية العادية في هذا الإطار. مجموعة التناظر للانتقال gX ⁺ هي المجموعة الفرعية المرافقة gHg ^{- 1} . وبالتالي، تكون H عادية عندما:

${\displaystyle \mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{لكل}}\ g\in G;}$

أي أنه كلما أمكن رسم زخرفة X ⁺ في أي اتجاه، بالنسبة لأي جانب أو ميزة من X ، وما زال ينتج نفس مجموعة التناظر gHg ^{− 1} = H.

كمثال، لننظر إلى المجموعة ثنائية السطوح G = D ₃ = Sym( X )، حيث X مثلث متساوي الأضلاع. يمكننا تزيين هذا المثلث بسهم على أحد أضلاعه، فنحصل على شكل غير متناظر X ^# . إذا اعتبرنا τ ∈ G انعكاس الضلع الذي عليه السهم، فإن الشكل المركب X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# يحتوي على سهم ثنائي الاتجاه على ذلك الضلع، ومجموعة تناظره هي H = {1, τ }. هذه المجموعة الفرعية ليست طبيعية، لأن gX ⁺ قد يحتوي على السهم الثنائي على ضلع مختلف، مما يعطي مجموعة تناظر انعكاس مختلفة.

مع ذلك، إذا اعتبرنا H = {1, ρ , ρ ² } ⊂ D ₃ المجموعة الجزئية الدورية الناتجة عن دوران، فإن الشكل المزخرف X ⁺ يتكون من دورة ثلاثية من الأسهم ذات اتجاه ثابت. عندئذٍ تكون H مجموعة تناظر طبيعية، لأن رسم مثل هذه الدورة بأي اتجاه ينتج عنه نفس مجموعة التناظر H.

• بيرنز، جي؛ جليزر، إيه إم (1990). المجموعات الفضائية للعلماء والمهندسين (  الطبعة الثانية). بوسطن: أكاديميك برس، إنك. ISBN 0-12-145761-3.
• كليج، دبليو (1998). تحديد بنية البلورات (مقدمة في الكيمياء من أكسفورد) . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-855901-1.
• أوكيف، م.؛ هايد، ب. ج. (1996). هياكل البلورات؛ الجزء الأول: الأنماط والتناظر . واشنطن العاصمة: الجمعية المعدنية الأمريكية، سلسلة الدراسات. ISBN 0-939950-40-5.
• ميلر، ويلارد الابن (1972). مجموعات التناظر وتطبيقاتها . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. OCLC 589081. مؤرشف من الأصل بتاريخ 17 فبراير 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 سبتمبر 2009 . 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة التناظر" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة رباعية الأوجه" . عالم الرياضيات .
• "نظرة عامة على المجموعات النقطية البلورية الـ 32" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 5 أكتوبر 2025. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 فبراير 2026 .- تشكيل الأجزاء الأولى (باستثناء تخطي n = 5) من المتسلسلات اللانهائية السبع و5 من مجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد المنفصلة السبع