مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد

مجموعات النقاط المختارة في ثلاثة أبعاد
المجموعة المتعددة السطوح ، [n,3]، (*n32)
التماثل الالتفافي C _s , (*) [ ] =	التناظر الدوري C _nv , (*nn) [n] =	تماثل ثنائي السطوح D _nh , (*n22) [n,2] =
تماثل رباعي السطوح T _d ، (*332) [3,3] =	تماثل ثماني السطوح O _h , (*432) [4,3] =	تماثل عشريني الوجوه I _h , (*532) [5,3] =

في الهندسة ، مجموعة النقاط في ثلاثة أبعاد هي مجموعة تساوي القياس في ثلاثة أبعاد تترك الأصل ثابتًا، أو وفقًا لذلك، مجموعة تساوي القياس للكرة . إنها مجموعة فرعية من المجموعة المتعامدة O(3)، وهي مجموعة جميع التساويات التي تترك الأصل ثابتًا، أو وفقًا لذلك، مجموعة المصفوفات المتعامدة . O(3) نفسها هي مجموعة فرعية من المجموعة الإقليدية E(3) لجميع التساويات.

المجموعات المتماثلة للأجسام الهندسية هي مجموعات تماثلية. وعليه، فإن تحليل المجموعات المتماثلة هو تحليل للتناظرات المحتملة . تحتوي جميع التماثلات لجسم ثلاثي الأبعاد محدود (محدود) على نقطة ثابتة واحدة أو أكثر. نتبع الاتفاقية المعتادة باختيار الأصل كواحدة منها.

تُسمى مجموعة التماثل لجسم ما أحيانًا أيضًا بمجموعة التماثل الكاملة ، على عكس مجموعة التماثل الخاصة به ، وهي تقاطع مجموعة التماثل الكاملة الخاصة به مع E ⁺ (3) ، والتي تتكون من جميع التماثلات المباشرة ، أي التماثلات التي تحافظ على الاتجاه . بالنسبة لجسم محدود، تُسمى مجموعة التماثل الخاصة به بمجموعة الدوران الخاصة به . وهي تقاطع مجموعة التماثل الكاملة الخاصة به مع SO(3) ، وهي مجموعة الدوران الكاملة للفضاء ثلاثي الأبعاد. تكون مجموعة الدوران لجسم محدود مساوية لمجموعة التماثل الكاملة الخاصة به إذا وفقط إذا كان الجسم كيراليًا .

المجموعات النقطية التي يتم إنشاؤها بحتة بواسطة مجموعة محدودة من مستويات المرآة الانعكاسية التي تمر عبر نفس النقطة هي مجموعات كوكستر المحدودة ، والتي يتم تمثيلها بواسطة تدوين كوكستر .

تُستخدم المجموعات النقطية في ثلاثة أبعاد على نطاق واسع في الكيمياء ، وخاصة لوصف تماثلات الجزيء والمدارات الجزيئية التي تشكل روابط تساهمية ، وفي هذا السياق تسمى أيضًا بالمجموعات النقطية الجزيئية .

متوازيات الأبعاد الثلاثية التي تترك الأصل ثابتًا

عمليات مجموعة التناظر ( عمليات التناظر ) هي متماثلات الفضاء ثلاثي الأبعاد R ³ التي تترك الأصل ثابتًا، وتشكل المجموعة O(3). يمكن تصنيف هذه العمليات على النحو التالي:

عمليات التناظر المباشر (المحافظة على الاتجاه)، والتي تشكل المجموعة SO(3):
- عملية الهوية، والتي يشار إليها بـ E أو مصفوفة الهوية I.
- الدوران حول محور يمر بالأصل بزاوية θ. الدوران بمقدار θ = 360°/ n لأي عدد صحيح موجب n يُشار إليه بالرمز C _n (من تدوين شونفليز للمجموعة C _n التي يولدها ). عملية الهوية، والتي تُكتب أيضًا C ₁ ، هي حالة خاصة من عامل الدوران.
العمليات غير المباشرة (عكس الاتجاه):
- الانعكاس، ويرمز له بالرمز i أو C _i ، أي الدوران بمقدار 180 درجة حول محور إحداثي يتبعه انعكاس في المستوى الإحداثي المتعامد. تدوين المصفوفة هو −I .
- الانعكاس في المستوى المار بالأصل، ويرمز له بـ σ.
- الدوران غير السليم ، ويسمى أيضًا الدوران-الانعكاس: الدوران حول محور بزاوية θ، مقترنًا بالانعكاس في المستوى عبر الأصل العمودي على المحور. يُشار إلى الدوران-الانعكاس بمقدار θ = 360°/ n لأي عدد صحيح موجب n بالرمز S _n (من تدوين شونفليز للمجموعة S _n التي يولدها إذا كان n زوجيًا).

الانعكاس هو حالة خاصة من الدوران-الانعكاس (i = S ₂ )، كما هو الحال مع الانعكاس (σ = S ₁ )، لذلك غالبًا ما تعتبر هذه العمليات دورانات غير سليمة.

يتم أحيانًا إضافة علامة محيطية إلى الرمز للإشارة إلى عامل، كما في Ĉ _n و Ŝ _n .

الاقتران

عند مقارنة نوع التماثل لجسمين، يتم اختيار الأصل لكل منهما على حدة، أي أنه لا يلزم أن يكون لهما نفس المركز. علاوة على ذلك، يُعتبر جسمان من نفس نوع التماثل إذا كانت مجموعات التماثل الخاصة بهما عبارة عن مجموعات فرعية مترافقة لـ O(3) (مجموعتان فرعيتان H 1 _و H 2 _من المجموعة G مترافقتان ، إذا كان هناك g ∈ G بحيث يكون H ₁ = g ⁻¹H ₂g ).

على سبيل المثال، يوجد لكائنين ثلاثيي الأبعاد نفس نوع التماثل:

إذا كان كلاهما لهما تماثل مرآوي، ولكن بالنسبة إلى مستوى مرآوي مختلف
إذا كان كلاهما لهما تماثل دوراني ثلاثي، ولكن بالنسبة إلى محور مختلف.

في حالة وجود مستويات مرايا متعددة و/أو محاور دوران، تكون مجموعتا التناظر من نفس نوع التناظر إذا وفقط إذا كان هناك دوران يربط البنية الكاملة لمجموعة التناظر الأولى بمجموعة التناظر الثانية. (في الواقع، سيكون هناك أكثر من دوران واحد، ولكن ليس عددًا لا نهائيًا كما هو الحال عندما يكون هناك مرآة أو محور واحد فقط.) سيسمح تعريف الاقتران أيضًا بصورة معكوسة للبنية، ولكن هذا ليس ضروريًا، فالبنية نفسها غير متناظرة. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة التناظر تحتوي على محور دوران ثلاثي الأضلاع، فإنها تحتوي على دوران في اتجاهين متعاكسين. (البنية متناظرة لـ 11 زوجًا من المجموعات الفضائية ذات المحور اللولبي.)

مجموعات القياس المتساوي اللانهائية

هناك العديد من مجموعات القياس المتساوي اللانهائية ؛ على سبيل المثال، " المجموعة الدورية " (بمعنى أنها تتولد بواسطة عنصر واحد - لا ينبغي الخلط بينها وبين مجموعة الالتواء ) التي تتولد عن دوران بعدد غير نسبي من الدورات حول محور. يمكننا إنشاء مجموعات أبيلية غير دورية عن طريق إضافة المزيد من الدورات حول نفس المحور. توضح مجموعة النقاط على الدائرة عند أعداد نسبية من الدرجات حول الدائرة مجموعة نقاط تتطلب عددًا لا نهائيًا من المولدات . هناك أيضًا مجموعات غير أبيلية تتولد عن دورات حول محاور مختلفة. هذه عادة ما تكون مجموعات حرة (بشكل عام) . ستكون لا نهائية ما لم يتم اختيار الدورات بشكل خاص.

كل المجموعات اللانهائية المذكورة حتى الآن ليست مغلقة كمجموعات فرعية طوبولوجية لـ O(3). سنناقش الآن المجموعات الفرعية المغلقة طوبولوجياً لـ O(3).

المجموعة O(3) الكاملة هي مجموعة تماثل التماثل الكروي ؛ SO(3) هي مجموعة الدوران المقابلة. تتكون مجموعات التماثل اللانهائية الأخرى من جميع الدورات حول محور عبر الأصل، وتلك التي لها انعكاس إضافي في المستويات عبر المحور، و/أو انعكاس في المستوى عبر الأصل، عموديًا على المحور. تلك التي لها انعكاس في المستويات عبر المحور، مع أو بدون انعكاس في المستوى عبر الأصل عموديًا على المحور، هي مجموعات التماثل لنوعي التماثل الأسطواني . يجب أن يكون لأي شكل ثلاثي الأبعاد (مجموعة فرعية من R ³ ) له تماثل دوراني لانهائي أيضًا تماثل مرآوي لكل مستوى عبر المحور. سيكون للأشياء المادية التي لها تماثل دوراني لانهائي أيضًا تماثل المستويات المرآوية عبر المحور، ولكن قد لا يكون للحقول المتجهة، على سبيل المثال متجهات السرعة لمخروط يدور حول محوره، أو المجال المغناطيسي المحيط بسلك. ^[1]

هناك سبع مجموعات متصلة وهي جميعها بمعنى ما حدود لمجموعات التساوي المحدود. سميت ما يسمى بمجموعات النقاط المحددة أو مجموعات كوري المحددة على اسم بيير كوري الذي كان أول من بحث عنها. ^[1]^[2] تؤدي السلسلة السبع اللانهائية من المجموعات المحورية إلى خمس مجموعات محددة (اثنتان منها مكررتان)، وتنتج مجموعات النقاط السبع المتبقية مجموعتين متصلتين أخريين. في التدوين الدولي، تكون القائمة هي ∞ و ∞2 و ∞/m و ∞mm و ∞/mm و ∞∞ و ∞∞m. ^[3] ليست كل هذه ممكنة للأجسام المادية، على سبيل المثال الأجسام ذات التماثل ∞∞ لها أيضًا تماثل ∞∞m. انظر أدناه لتسميات أخرى وتفاصيل أكثر.

مجموعات القياس المتساوي المحدودة

تتميز التناظرات في الأبعاد الثلاثية التي تترك الأصل ثابتًا بشكل كامل بالتناظرات على كرة مركزها الأصل. بالنسبة لمجموعات النقاط المحدودة في الأبعاد الثلاثية، انظر أيضًا مجموعات التناظر الكروي .

حتى الاقتران، تتكون مجموعة مجموعات النقاط الثلاثية الأبعاد المحدودة من:

§ السلاسل السبع اللانهائية من المجموعات المحورية، والتي يكون محور دورانها أكبر من ضعف المحور الواحد؛ وهي مجموعات التماثل المحدودة على أسطوانة لا نهائية ، أو على نحو مكافئ، تلك الموجودة على أسطوانة محدودة. وتُسمى أحيانًا المجموعات المحورية أو النقطية المنشورية.
§ المجموعات النقطية السبع المتبقية، والتي تحتوي على محاور دوران متعددة ثلاثية أو أكثر؛ يمكن أيضًا وصف هذه المجموعات بأنها مجموعات نقطية تحتوي على محاور دوران متعددة ثلاثية. التركيبات الممكنة هي:
- أربعة محاور ثلاثية ( التناظرات الثلاثية رباعية السطوح T و T _th و T _d )
- أربعة محاور ثلاثية وثلاثة محاور رباعية ( تناظرات ثماني السطوح O و O _h )
- عشرة محاور ثلاثية الأضلاع وستة محاور خماسية الأضلاع ( تناظرات عشرينية السطوح I و I _h )

وفقًا لنظرية التقييد البلوري ، فإن عددًا محدودًا فقط من المجموعات النقطية متوافق مع التناظر الانتقالي المنفصل : 27 من السلاسل اللانهائية السبع، و5 من السلاسل السبع الأخرى. معًا، تشكل هذه المجموعات النقطية البلورية 32 .

السلاسل السبع اللانهائية للمجموعات المحورية

تحتوي السلسلة اللانهائية من المجموعات المحورية أو المنشورية على مؤشر n ، والذي يمكن أن يكون أي عدد صحيح؛ في كل سلسلة، تحتوي مجموعة التماثل n على تماثل دوراني n أضعاف حول محور، أي التماثل فيما يتعلق بالدوران بزاوية 360 درجة / n . n = 1 يغطي حالات عدم وجود تماثل دوراني على الإطلاق. هناك أربع سلاسل بدون أي محاور أخرى من التماثل الدوراني (انظر التماثلات الدورية ) وثلاث مع محاور إضافية من التماثل ثنائي الأضلاع (انظر التماثل ثنائي السطوح ). يمكن فهمها كمجموعات نقطية في بعدين ممتدة بإحداثيات محورية وانعكاسات فيها. وهي مرتبطة بمجموعات الإفريز ؛ ^[4] ويمكن تفسيرها على أنها أنماط مجموعات إفريز تتكرر n مرة حول أسطوانة.

الجدول التالي يسرد عدة تدوينات للمجموعات النقطية: تدوين هيرمان-ماوجين (يستخدم في علم البلورات )، وتدوين شونفليز (يستخدم لوصف التناظر الجزيئي )، وتدوين أوربفولد ، وترميز كوكستر . لا ترتبط الثلاثة الأخيرة بخصائصها فحسب، بل ترتبط أيضًا بترتيب المجموعة. تدوين أوربفولد هو تدوين موحد، ينطبق أيضًا على مجموعات ورق الحائط ومجموعات الفريز . المجموعات البلورية لها n مقيدة بـ 1 و2 و3 و4 و6؛ إزالة القيد البلوري يسمح بأي عدد صحيح موجب. السلسلة هي:

دولي		ذباب الشونفلاي	أوربفولد	كوكستر	إفريز	هيكل.	طلب	مثال	تعليقات
حتى ن	ن غريب	ذباب الشونفلاي	أوربفولد	كوكستر	(اسطوانة)	هيكل.	طلب	مثال	تعليقات
ن		ج _ن	ن ن	[ن] ⁺	ص1	ز _ن	ن		تماثل دوراني مكون من n أضعاف
2 ن	ن	س _{2 ن}	ن ×	[2 ن ⁺ ،2 ⁺ ]	ص11ج	ز _{2 ن}	2 ن		تماثل الدوران الانعكاسي ثنائي الأبعاد
ن /م	2 ن	ج _{ن ح}	ن *	[ن ⁺ ،2]	ص11م	ز _ن ×ز ₂	2 ن
ن مم	ن م	ج _{ن ف}	* ن ن	[ ن ]	ص1م1	ديه _ن	2 ن		التناظر الهرمي ؛ في علم الأحياء، التناظر ثنائي الشعاع
ن 22	ن 2	د _ن	22 ن	[ ن , 2] ⁺	ص211	ديه _ن	2 ن		تماثل ثنائي السطوح
2 ن 2م	ن م	د _{ن د}	2* ن	[2 ن ،2 ⁺ ]	ب2ملغ	ديه _{2 ن}	4 ن		التماثل المضاد للمنشور
ن /ممم	2 ن 2م	د _{ن ح}	*22 ن	[ ن ,2]	ص2مم	ديه _ن ×ز ₂	4 ن		التماثل المنشوري

بالنسبة للعدد الفردي n لدينا Z _{2 n} = Z _n × Z ₂ و Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂ .

المجموعات C _n (بما في ذلك المجموعة التافهة C ₁ ) و D _n هي مجموعات غير كيميائية، بينما المجموعات الأخرى غير كيميائية.

تشير المصطلحات الأفقي (h) والرأسي (v)، والحروف السفلية المقابلة، إلى المستوى المرآة الإضافي، الذي يمكن أن يكون موازيًا لمحور الدوران (رأسي) أو عموديًا على محور الدوران (أفقي).

أبسط المجموعات المحورية غير التافهة تعادل المجموعة المجردة Z ₂ :

C _i (مكافئ لـ S ₂ ) – تماثل الانعكاس
ج ₂ – تماثل دوراني ثنائي الأضلاع
C _s (مكافئ لـ C _1h و C _1v ) - تماثل الانعكاس ، ويسمى أيضًا التماثل الثنائي .

أنماط على شريط أسطواني توضح الحالة n = 6 لكل من العائلات السبع اللانهائية من مجموعات النقاط. مجموعة التماثل لكل نمط هي المجموعة المشار إليها.

المجموعة الثانية هي الأولى من المجموعات أحادية المحور ( المجموعات الدورية ) C _n من الرتبة n (تطبق أيضًا في البعدين 2)، والتي يتم إنشاؤها بواسطة دوران واحد بزاوية 360 درجة / n . بالإضافة إلى ذلك، يمكن للمرء أن يضيف مستوى مرآة عموديًا على المحور، مما يعطي المجموعة C _{n h} من الرتبة 2 n ، أو مجموعة من مستويات المرآة n التي تحتوي على المحور، مما يعطي المجموعة C _{n v} ، أيضًا من الرتبة 2 n . والأخيرة هي مجموعة التماثل لهرم منتظم ذي n ضلع . الجسم النموذجي ذو مجموعة التماثل C _n أو D _n هو المروحة .

إذا تم إضافة كل من مستويات الانعكاس الأفقية والرأسية، فإن تقاطعاتها تعطي n محور دوران عبر 180 درجة، وبالتالي لم تعد المجموعة أحادية المحور. تسمى هذه المجموعة الجديدة من الرتبة 4 n D _{n h} . مجموعتها الفرعية من الدورات هي المجموعة ثنائية السطوح D _n من الرتبة 2 n ، والتي لا تزال تحتوي على محاور دوران ثنائية الطي عمودية على محور الدوران الأساسي، ولكن لا توجد مستويات مرايا.

ملاحظة: في الأبعاد الثنائية، يتضمن D _n انعكاسات، والتي يمكن أيضًا اعتبارها انعكاسًا للأشياء المسطحة دون التمييز بين الجانب الأمامي والجانب الخلفي؛ ولكن في الأبعاد الثلاثية، يتم التمييز بين العمليتين: يتضمن D _n "الانعكاس"، وليس الانعكاسات.

هناك مجموعة أخرى في هذه العائلة، تسمى D _{n d} (أو D _{n v} )، والتي تحتوي على مستويات مرآة رأسية تحتوي على محور الدوران الرئيسي، ولكن بدلاً من وجود مستوى مرآة أفقي، يكون لها تماثل قياس يجمع بين الانعكاس في المستوى الأفقي والدوران بزاوية 180 درجة / n . D _{n h} هي مجموعة التماثل لمنشور "منتظم" ذو n- ضلع وأيضًا لهرم ثنائي "منتظم" ذو n- ضلع . D _n_d هي مجموعة التماثل لمنشور مضاد "منتظم" ذو n- ضلع وأيضًا لشبه منحرف "منتظم" ذو n- ضلع . D _n هي مجموعة التماثل لمنشور مُدور جزئيًا ("ملتوي").

تتميز المجموعتان D ₂ و D _2h بعدم وجود محور دوران خاص. بل توجد ثلاثة محاور ثنائية الطي متعامدة. D ₂ هي مجموعة فرعية من جميع التناظرات المتعددة السطوح (انظر أدناه)، و D _2h هي مجموعة فرعية من المجموعات المتعددة السطوح T _th و O _h . توجد D ₂ في جزيئات مثل التويستان وفي رباعيات التماثل مثل كونكانافالين A. تتوافق عناصر D ₂ 1 إلى 2 مع الدورات المعطاة بواسطة رباعيات ليبشيتز الوحدوية .

تتولد المجموعة S _n من خلال الجمع بين الانعكاس في المستوى الأفقي والدوران بزاوية 360 درجة/ن. بالنسبة لـ n فردي، فإن هذا يساوي المجموعة الناتجة عن الاثنين بشكل منفصل، C _{n h} من الدرجة 2 n ، وبالتالي فإن الترميز S _n غير ضروري؛ ومع ذلك، بالنسبة لـ n زوجي، فهي مميزة، ومن الدرجة n . مثل D _{n d،} فهي تحتوي على عدد من الدورات غير الصحيحة دون احتواء الدورات المقابلة.

تختلف جميع مجموعات التماثل في السلاسل السبع اللانهائية، باستثناء الأزواج الأربعة التالية من المجموعات المتساوية فيما بينها:

C _1h و C _1v : مجموعة من الدرجة 2 ذات انعكاس واحد ( C _s )
D ₁ و C ₂ : مجموعة من الدرجة 2 ذات دوران واحد 180 درجة
D _1h و C _2v : مجموعة من الدرجة 4 ذات انعكاس في مستوى ودوران 180 درجة عبر خط في ذلك المستوى
D _1d و C _2h : مجموعة من الرتبة 4 لها انعكاس في مستوى ودوران 180 درجة عبر خط عمودي على هذا المستوى.

S ₂ هي مجموعة من الدرجة 2 ذات انعكاس واحد ( C _i ).

المقصود هنا من "المساوي" هو نفس الشيء حتى الاقتران في الفضاء. وهذا أقوى من "حتى التماثل الجبري". على سبيل المثال، هناك ثلاث مجموعات مختلفة من الدرجة الثانية بالمعنى الأول، ولكن هناك مجموعة واحدة فقط بالمعنى الثاني. وبالمثل، على سبيل المثال، S _{2 n} متماثل جبريًا مع Z _{2 n} .

يمكن إنشاء المجموعات على النحو التالي:

C _n . يتم توليده بواسطة عنصر يسمى أيضًا C _n ، والذي يتوافق مع الدوران بزاوية 2π/ n حول المحور. عناصره هي E (الهوية)، C _n ، C _n² ، ...، C _n^{n −1} ، والتي تتوافق مع زوايا الدوران 0، 2π/ n ، 4π/ n ، ...، 2( n − 1)π/ n .
S _{2 n} . يتم توليده بواسطة العنصر C _{2 n} σ _h ، حيث σ _h هو انعكاس في اتجاه المحور. عناصره هي عناصر C _n مع إضافة C _{2 n} σ _h ، C _{2 n}³ σ _h ، ... ، C _{2 n}^{2 n −1} σ _h .
C _{n h} . يتم توليده من خلال العنصر C _n والانعكاس σ _h . عناصره هي عناصر المجموعة C _n ، مع إضافة العناصر σ _h ، C _n σ _h ، C _n² σ _h ، ... ، C _n^{n −1} σ _{h .}
C _{n v} . يتم توليده من خلال العنصر C _n والانعكاس σ _v في اتجاه في المستوى العمودي على المحور. عناصره هي عناصر المجموعة C _n ، مع إضافة العناصر σ _v و C _n σ _v و C _n² σ _v و ... و C _n^{n −1} σ _v .
D _n . يتم توليده من خلال العنصر C _n ودوران 180° U = σ _h σ _v حول اتجاه في المستوى العمودي على المحور. عناصره هي عناصر المجموعة C _n ، مع إضافة العناصر U و C _n U و C _n² U و ... و C _n^{n − 1} U.
D _{n d} . يتكون من العناصر C _{2 n} σ _h و σ _v . عناصره هي عناصر المجموعة C _n والعناصر الإضافية S _{2 n} و C _{n v} ، مع إضافة العناصر C _{2 n} σ _h σ _v و C _{2 n}₃^σ h _σ v _و ... و C _{2 n}^{2 n − 1} σ _h σ _v .
D _{n h} . يتكون من العناصر C _n و σ _h و σ _v . عناصره هي عناصر المجموعة C _n والعناصر الإضافية C _{n h} و C _{n v} و D _n .

يتم تحديد المجموعات ذات الدورات المحورية المستمرة بوضع ∞ بدلاً من n . لاحظ مع ذلك أن C _∞ هنا ليست هي نفسها المجموعة الدورية اللانهائية (والتي تسمى أحيانًا C _∞ )، والتي تكون متماثلة مع الأعداد الصحيحة. يوضح الجدول التالي المجموعات الخمس للدوران المحوري المستمر. إنها حدود المجموعات المحدودة فقط بمعنى أنها تنشأ عندما يتم استبدال الدوران الرئيسي بالدوران بزاوية عشوائية، وبالتالي ليس بالضرورة عددًا منطقيًا من الدرجات كما هو الحال مع المجموعات المحدودة. لا يمكن للأشياء المادية أن يكون لها تماثل C _∞v أو D _∞h إلا ، ولكن يمكن أن يكون للحقول المتجهة التماثلات الأخرى.

ح-م	شونفليز	أوربفولد	كوكستر	حد من	المجموعة المجردة
∞	ج _∞	∞∞	[∞] ⁺	ج _ن	SO(2)
∞ ، ∞/م	ج _∞ح	∞*	[2,∞ ⁺ ]	ج _{ن ح} ، س _{2 ن}	SO(2)× _Z2
∞م	ج _∞ف	*∞∞	[∞]	ج _{ن ف}	أو(2)
∞2	د _∞	22∞	[2,∞] ⁺	د _ن	أو(2)
∞ م، ∞/مم	د _∞ح	*22∞	[2,∞]	د _{ن ح} ، د _{ن د}	O(2)× _Z2

المجموعات النقطية السبع المتبقية

يُقال إن مجموعات النقاط المتبقية ذات تماثل عالٍ جدًا أو متعدد السطوح لأنها تحتوي على أكثر من محور دوران من رتبة أكبر من 2. هنا، يشير C _n إلى محور دوران عبر 360 درجة/n ويشير S _n إلى محور دوران غير سليم عبر نفس المحور. على الخطوط المتعاقبة توجد تدوينة أوربفولد وتدوين كوكستر ورسم كوكستر وتدوين هيرمان - ماوجين (كامل ومختصر إذا كان مختلفًا) وترتيب (عدد العناصر) لمجموعة التماثل. المجموعات هي:

ت ، (332) [3،3]⁺ () 23 ترتيب 12	تماثل رباعي السطوح كيرالي	هناك أربعة محاور C ₃ ، كل منها يمر عبر رأسين من مكعب محيط (مكعب أحمر في الصور)، أو عبر رأس واحد من رباعي السطوح المنتظم ، وثلاثة محاور C ₂ ، عبر مراكز وجوه المكعب، أو نقاط المنتصف لحواف رباعي السطوح. هذه المجموعة متماثلة مع A 4 _، المجموعة المتناوبة على 4 عناصر، وهي مجموعة الدوران لرباعي السطوح المنتظم. إنها مجموعة فرعية طبيعية من T _d و T _th والتناظرات الثمانية السطوح. تتوافق عناصر المجموعة 1 إلى 2 مع الدورات المعطاة بواسطة رباعيات هورويتز المكونة من 24 وحدة (" مجموعة رباعي السطوح الثنائية ").
ت _د ، (*332) [3،3] () 4 3م طلب 24	تماثل رباعي السطوح الكامل	هذه المجموعة هي مجموعة التماثل لرباعي السطوح المنتظم . تحتوي هذه المجموعة على نفس محاور الدوران مثل T ، ومحاور C ₂ هي الآن محاور D _2d ، في حين أن المحاور الأربعة ثلاثية الأضلاع تؤدي الآن إلى أربع مجموعات فرعية C _3v . تحتوي هذه المجموعة على ستة مستويات مرآوية، تحتوي كل منها على حافتين للمكعب أو حافة واحدة من رباعي السطوح، ومحور S 4 واحد ، ومحورين _C 3. T _dمتماثل _مع S 4 _، المجموعة المتماثلة على 4 أحرف، لأن هناك تطابقًا 1 إلى 1 بين عناصر T _d والتبديلات الـ 24 للمحاور الأربعة ثلاثية الأضلاع. ينشأ جسم ذو تماثل C _3v تحت أحد المحاور ثلاثية الأضلاع تحت تأثير T _d إلى مدار يتكون من أربعة أجسام من هذا القبيل، ويتوافق T _d مع مجموعة تبديلات هذه الأجسام الأربعة. T _d هي مجموعة فرعية طبيعية من O _h . انظر أيضًا تماثلات رباعي السطوح المنتظم .
ث _، (3*2) [3⁺ ،4] () 2/م 3 ، م 3 من الدرجة 24	تماثل البيريتوهدرا	تتمتع طبقات الكرة الطائرة _بتناظرT. تحتوي هذه المجموعة على نفس محاور الدوران مثل T ، مع مستويات مرآة موازية لأوجه المكعب. تصبح محاور C _{3 محاور}S ₆ ، وهناك تماثل عكسي. تؤدي المحاور ذات الطي إلى ظهور ثلاث مجموعات فرعية D _2h . T _th متماثلة مع A ₄ × Z ₂ (نظرًا لأن T و C _i كلاهما مجموعات فرعية طبيعية)، وليست للمجموعة المتماثلة S _4. إنه تماثل المكعب مع وجود قطعة مستقيمة على كل وجه تقسم الوجه إلى مستطيلين متساويين، بحيث لا تلتقي قطع الخطوط المستقيمة للوجوه المجاورة عند الحافة. تتوافق التماثلات مع التباديل الزوجية لأقطار الجسم ونفس الشيء مع الانعكاس. إنه أيضًا تماثل البيريتوهدرون ، وهو مشابه للمكعب الموصوف، حيث يتم استبدال كل مستطيل بخماسي بمحور تماثل واحد و4 أضلاع متساوية وضلع مختلف (الجانب المقابل للقطعة المستقيمة التي تقسم وجه المكعب)؛ أي أن وجوه المكعب تنتفخ عند خط التقسيم وتصبح أضيق هناك. إنها مجموعة فرعية (ولكنها ليست مجموعة فرعية طبيعية) من مجموعة التماثل الإيكوساهدرا الكاملة (كمجموعة تماثل، وليس فقط كمجموعة مجردة)، مع 4 من المحاور الثلاثة العشرة. إنها مجموعة فرعية طبيعية من O _h . وعلى الرغم من تسميتها T _th ، إلا أنها لا تنطبق على رباعي السطوح.
أ ، (432) [4،3]⁺ () 432 ترتيب 24	تماثل ثماني السطوح كيرالي	هذه المجموعة تشبه T ، لكن محاور C ₂ هي الآن محاور C ₄ ، بالإضافة إلى ذلك، توجد محاور دوران ثنائية الطي عبر نقاط المنتصف لحواف المكعب، مما يؤدي إلى ظهور ثلاث مجموعات فرعية D _2. وتؤدي المحاور الثلاثية الطي الآن إلى ظهور أربع مجموعات فرعية D _3. هذه المجموعة متشابهة أيضًا مع S ₄ لأن عناصرها تتوافق 1 إلى 1 مع 24 تبديلًا للمحاور ثلاثية الطي، كما هو الحال مع T. يؤدي جسم ذو تماثل D 3 تحت أحد المحاور ثلاثية الطي إلى ظهور مدار يتكون من أربعة _أجسام من هذا القبيل تحت تأثير O ، ويتوافق O مع مجموعة تبديلات هذه الأجسام الأربعة. إنها مجموعة دوران المكعب وثماني السطوح . عند تمثيل الدورات باستخدام رباعيات ، يتكون O من 24 رباعية هورويتز وحدوية و24 رباعية ليبشيتز ذات القاعدة التربيعية 2 والموحدة عن طريق القسمة على . وكما كان الحال من قبل، فإن هذا تطابق 1 إلى 2. ${\sqrt {2}}$
*أوه* , (*432)_[ 4,3] () 4/م 3 2/م، م 3 م ترتيب 48	تماثل ثماني السطوح الكامل	تحتوي هذه المجموعة على نفس محاور الدوران مثل O ، ولكن مع مستويات مرآوية، تضم كلًا من مستويات المرآوية لـ T _d و T _th . تؤدي المحاور ثلاثية الأضلاع إلى ظهور أربع مجموعات فرعية D _3d . تعطي المحاور الثلاثة العمودية رباعية الأضلاع لـ O الآن مجموعات فرعية D _4h ، بينما تعطي المحاور الستة ثنائية الأضلاع ست مجموعات فرعية D _2h . هذه المجموعة متماثلة مع S ₄ × Z ₂ (لأن كلًا من O و C _i مجموعات فرعية طبيعية)، وهي مجموعة التماثل للمكعب وثماني السطوح . انظر أيضًا تماثلات المكعب .
أنا ، (532) [5،3]⁺ () 532 ترتيب 60	تماثل كيرالي عشريني الوجوه	هذه هي مجموعة دوران المجسم العشريني الوجوه والمجسم الاثني عشري الوجوه . وهي مجموعة فرعية طبيعية ذات مؤشر 2 في المجموعة الكاملة للتناظرات I _h . تحتوي المجموعة على 10 إصدارات من D ₃ و6 إصدارات من D 5 (تناظرات دورانية مثل المنشورات ومضادات المنشورات). كما تحتوي أيضًا على خمس إصدارات من T (انظر مركب من خمسة رباعيات السطوح). المجموعة I متماثلة مع _A 5 ، المجموعة المتبادلة على 5 أحرف ، حيث _تتوافق عناصرها 1 إلى 1 مع التباديل الزوجية لتناظرات T الخمسة (أو رباعيات السطوح الخمسة المذكورة للتو). تمثل I الدورات باستخدام رباعيات السطوح ، وتتكون من 120 إيكوسيًا وحدويًا . وكما كان من قبل، فهذه مطابقة 1 إلى 2.
أنا _ح ، (*532) [5،3] () 5 3 2/م، 5 3 م ترتيب 120	تماثل عشريني الوجوه الكامل	هذه هي مجموعة تماثل المجسم العشريني الوجوه والمجسم الاثني عشري الوجوه. المجموعة I _h متماثلة مع A ₅ × Z ₂ لأن I و C _i كلاهما مجموعات فرعية طبيعية. تحتوي المجموعة على 10 إصدارات من D _3d و6 إصدارات من D _5d (تماثلات مثل المنشورات المضادة) و5 إصدارات من T _h .

المجموعات المستمرة المرتبطة بهذه المجموعات هي:

∞∞، K ، أو SO(3) ، كل الدورات الممكنة.
∞∞m، Kh ، أو O(3) ، _كل الدورانات والانعكاسات الممكنة.

كما هو مذكور أعلاه بالنسبة لمجموعات التساوي القياس اللانهائية، فإن أي جسم مادي له تماثل K سيكون له أيضًا تماثل K _h .

مجموعات كوكستر العاكسة

المجالات الأساسية لمجموعات Coxeter ثلاثية الأبعاد
أ ₃ ، [3،3]،	ب ₃ ، [4،3]،	ح ₃ ، [5،3]،
6 مرايا	3+6 مرايا	15 مرآة
2أ ₁ ، [1،2]،	3أ ₁ ، [2،2]،	أ ₁ أ ₂ ، [2،3]،
2 مرآه	3 مرايا	4 مرايا
أ ₁ ، [1]،	2أ ₁ ، [2]،	أ ₂ ، [3]،
1 مرآة	2 مرآه	3 مرايا

تُسمى أيضًا مجموعات النقاط العاكسة في الأبعاد الثلاثة بمجموعات كوكستر ويمكن إعطاؤها من خلال مخطط كوكستر-دينكين وتمثل مجموعة من المرايا التي تتقاطع عند نقطة مركزية واحدة. يوفر تدوين كوكستر تدوينًا بين قوسين مكافئًا لمخطط كوكستر، مع رموز ترميز لمجموعات النقاط الدورانية ومجموعات النقاط الفرعية الأخرى. في تدوين شونفليز ، مجموعات النقاط العاكسة في الأبعاد الثلاثة هي C _{n v} و D _{n h} والمجموعات المتعددة السطوح الكاملة T و O و I.

تحدد المستويات المرآة مجموعة من مجالات المثلث الكروي على سطح الكرة. تحتوي مجموعة كوكستر ذات الرتبة n على مستويات مرآة n . تحتوي مجموعات كوكستر التي تحتوي على أقل من 3 مولدات على مجالات مثلث كروي متدهورة، مثل القمر أو نصف الكرة . في تدوين كوكستر، تكون هذه المجموعات عبارة عن تماثل رباعي السطوح [3،3] وتماثل ثماني السطوح [4،3] وتماثل عشريني السطوح [5،3] وتماثل ثنائي السطوح [p،2]. عدد المرايا لمجموعة غير قابلة للاختزال هو nh/2 ، حيث h هو رقم كوكستر لمجموعة كوكستر ، n هو البعد (3). ^[5]

مجموعة ويل		طلب	رقم كوكستر (ح)	المرايا (م)
المجموعات المتعددة السطوح
أ ₃	[3,3]	24	4	6
ب ₃	[4,3]	48	6	3+6
ح ₃	[5،3]	120	10	15
المجموعات ثنائية السطوح
2 أ ₁	[1,2]	4		1+1
3 أ ₁	[2,2]	8		2+1
1 ₂ (ص) أ ₁	[ص،2]	4ص		ص+1
المجموعات الدورية
2 أ ₁	[2]	4		2
أنا ₂ (ص)	[ص]	2ب		ص
مرآة واحدة
أ ₁	[ ]	2		1

مجموعات الدوران

المجموعات الدورانية، أي المجموعات الفرعية المحدودة لـ SO(3)، هي: المجموعات الدورية C _n (مجموعة الدوران للهرم القياسي ) ، والمجموعات ثنائية السطوح D _n (مجموعة الدوران للمنشور المنتظم ، أو الهرم القياسي )، ومجموعات الدوران T و O و I للرباعي السطوح المنتظم ، وثماني السطوح / المكعب ، والعشريني السطوح / الاثني عشري السطوح .

على وجه الخصوص، المجموعات ثنائية السطوح D ₃ و D ₄ وما إلى ذلك هي مجموعات دوران مضلعات منتظمة مستوية مدمجة في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويمكن اعتبار مثل هذا الشكل بمثابة منشور منتظم متحلل. لذلك، يُطلق عليه أيضًا اسم ثنائي السطوح (باليونانية: جسم صلب ذو وجهين)، وهو ما يفسر اسم المجموعة ثنائية السطوح .

الجسم الذي له مجموعة تماثل C _n أو C _{n h} أو C _{n v} أو S _{2 n} له مجموعة دوران C _n .
الجسم الذي له مجموعة تماثل D _n أو D _{n h} أو D _{n d} له مجموعة دوران D _n .
الجسم الذي له تماثل متعدد السطوح ( T ، T _d ، Th _،O ، O _h ، I أو I h ) له مجموعة دوران مقابلة بدون مؤشر سفلي : T ، O أو _I.

مجموعة الدوران لجسم ما تساوي مجموعة تماثله الكاملة إذا وفقط إذا كان الجسم كيراليًا . بعبارة أخرى، الأجسام الكيرالية هي تلك التي لها مجموعة تماثل في قائمة مجموعات الدوران.

كما هو موضح في تدوين شونفليز ، تدوين كوكستر ، ( تدوين أوربفولد )، المجموعات الفرعية للدوران هي:

انعكاس	الانعكاس/الدوران	الدوران غير السليم	تناوب
ج _{ن ف} ، [ن]، (*نن)	ج _{ن ح} ، [ن ⁺ ، 2]، (ن*)	س _{2 ن} ، [2ن ⁺ ، 2 ⁺ ]، (ن×)	ج _ن ، [ن] ⁺ ، (نن)
د _{ن ح} ، [2،ن]، (*ن22)	د _{ن د} ، [2 ⁺ ، 2ن]، (2*ن)		د _ن ، [2،ن] ⁺ ، (ن22)
ت _د ، [3،3]، (*332)			ت ، [3،3] ⁺ ، (332)
أوه ، [4،3]، (*432 ₎	ث _، [3 ⁺ ، 4]، (3*2)		أ ، [4،3] ⁺ ، (432)
أنا _ح ، [5،3]، (*532)			أنا ، [5،3] ⁺ ، (532)

المراسلات بين مجموعات الدوران والمجموعات الأخرى

المجموعات التي تحتوي على الانعكاس

مجموعة الدوران SO(3) هي مجموعة فرعية من O(3)، وهي مجموعة الدوران النقطية الكاملة للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. وعلى نحو مماثل، فإن O(3) هو حاصل الضرب المباشر لـ SO(3) ومجموعة الانعكاس C i ₍ حيث يُشار إلى الانعكاس بمصفوفتها − I ) :

O(3) = SO(3) × { I , − I }

وبالتالي، هناك تطابق 1 إلى 1 بين جميع التماثلات المباشرة وجميع التماثلات غير المباشرة، من خلال الانعكاس. كما يوجد تطابق 1 إلى 1 بين جميع المجموعات H من التماثلات المباشرة في SO(3) وجميع المجموعات K من التماثلات في O(3) التي تحتوي على الانعكاس:

ك = ح × { ط , − ط }

ح = ك ∩ SO(3)

حيث يتم تحديد التماثل ( A , I ) بـ A.

بالنسبة للمجموعات المحدودة، المراسلات هي:

مجموعة الدوران ح	تكافؤ n	المجموعة التي تحتوي على الانعكاس K
ج _ن	حتى	ج _{ن ح}
ج _ن	غريب	س _{2 ن}
د _ن	حتى	د _{ن ح}
د _ن	غريب	د _{ن د}
ت		ذ
ا		أوه
أنا		انا _ه

المجموعات التي تحتوي على تماثلات غير مباشرة ولكن لا تحتوي على انعكاس

إذا كانت مجموعة من التماثلات المباشرة H تحتوي على مجموعة فرعية L ذات مؤشر 2، فستكون هناك مجموعة مقابلة تحتوي على تماثلات غير مباشرة ولكن بدون انعكاس:

M=L\cup ((H\setminus L)\times \{-I\})

على سبيل المثال، H = C ₄ يتوافق مع M = S ₄ .

وبالتالي، يتم الحصول على M من H عن طريق عكس التماثلات في . هذه المجموعة M ، عندما تعتبر مجموعة مجردة ، متماثلة لـ H . وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لجميع مجموعات النقاط M التي تحتوي على تماثلات غير مباشرة ولكن بدون عكس، يمكننا الحصول على مجموعة دوران H عن طريق عكس التماثلات غير المباشرة. $H\setminus L$

بالنسبة للمجموعات المحدودة، المراسلات هي:

مجموعة الدوران ح	الفهرس-2 المجموعة الفرعية L	تكافؤ n	المجموعة التي تحتوي على تماثلات غير مباشرة م
ج _{2 ن}	ج _ن	حتى	س _{2 ن}
ج _{2 ن}	ج _ن	غريب	ج _{ن ح}
د _{2 ن}	د _ن	حتى	د _{ن ح}
د _{2 ن}	د _ن	غريب	د _{ن د}
د _ن	ج _ن	أي	ج _{ن ف}
ا	ت		ت _د

المجموعات الفرعية الطبيعية

في الأبعاد الثنائية، تكون المجموعة الدورية لدورات k - fold C _k لكل عدد صحيح موجب k مجموعة فرعية طبيعية لـ O(2) وSO(2). وعليه، ففي الأبعاد الثلاثية، تكون المجموعة الدورية لدورات k -fold حول هذا المحور لكل محور مجموعة فرعية طبيعية لمجموعة جميع الدورات حول هذا المحور. ونظرًا لأن أي مجموعة فرعية ذات مؤشر اثنين طبيعية، فإن مجموعة الدورات ( C _n ) طبيعية في كل من المجموعة ( C _{n v} ) التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة ( C _n ) مستويات انعكاس عبر محورها وفي المجموعة ( C _{n h} ) التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة ( C _n ) مستوى انعكاس عمودي على محورها.

التماثلات القصوى

هناك مجموعتان نقطيتان منفصلتان لهما الخاصية التي لا تمتلكها أي مجموعة نقطية منفصلة كمجموعة فرعية مناسبة: O _h و I _h . وأكبر مجموعة فرعية مشتركة بينهما هي T _th . ويمكن الحصول على المجموعتين منها عن طريق تغيير التناظر الدوراني ثنائي الأضلاع إلى رباعي الأضلاع، وإضافة التناظر خماسي الأضلاع، على التوالي.

هناك مجموعتان نقطيتان بلوريتين لهما الخاصية التي لا تمتلكها أي مجموعة نقطية بلورية كمجموعة فرعية مناسبة: O _h و D _6h . ومجموعاتهما الفرعية المشتركة القصوى، اعتمادًا على الاتجاه، هي D _3d و D _2h .

المجموعات مرتبة حسب نوع المجموعة المجردة

فيما يلي المجموعات الموضحة أعلاه مرتبة حسب نوع المجموعة المجردة.

أصغر المجموعات المجردة التي ليست أي مجموعة تماثل في الأبعاد الثلاثية هي مجموعة الرباعية (من الدرجة 8)، Z ₃ × Z ₃ (من الدرجة 9)، المجموعة ثنائية الحلقة Dic ₃ (من الدرجة 12)، و10 من 14 مجموعة من الدرجة 16.

يوضح العمود "# من عناصر الدرجة 2" في الجداول التالية العدد الإجمالي للمجموعات الفرعية المتساوية القياس من الأنواع C ₂ و C _i و C _s . هذا العدد الإجمالي هو أحد الخصائص التي تساعد في التمييز بين أنواع المجموعات المجردة المختلفة، في حين يساعد نوع المتساوي القياس الخاص بها في التمييز بين مجموعات المتساوي القياس المختلفة لنفس المجموعة المجردة.

في إطار إمكانيات مجموعات القياس المتساوي الأبعاد في الأبعاد الثلاثية، يوجد عدد لا نهائي من أنواع المجموعات المجردة ذات 0 و1 و3 عناصر من الدرجة 2، ويوجد مجموعتان ذات 4 عناصر n + 1 من الدرجة 2، ويوجد ثلاث مجموعات ذات 4 عناصر n + 3 من الدرجة 2 (لكل n ≥ 8). لا يوجد أبدًا عدد زوجي موجب من العناصر من الدرجة 2.

مجموعات التماثل في الأبعاد الثلاثية التي تكون دورية كمجموعة مجردة

مجموعة التناظر للتناظر الدوراني n -fold هي C _n ؛ نوع مجموعتها المجردة هو المجموعة الدورية Z _n ، والتي يشار إليها أيضًا بالرمز C _n . ومع ذلك ، هناك سلسلتان لا نهائيتان أخريان من مجموعات التناظر بهذا النوع من المجموعات المجردة:

بالنسبة للرتبة الزوجية 2 n، توجد المجموعة S _{2 n} (ترميز شونفليز) التي يتم إنشاؤها بواسطة الدوران بزاوية 180°/n حول محور، مقترنة بانعكاس في المستوى العمودي على المحور. بالنسبة لـ S _2، يتم استخدام الترميز C _i ؛ ويتم إنشاؤه بواسطة الانعكاس.
بالنسبة لأي ترتيب 2 n حيث n فردي، لدينا C _{n h} ؛ له محور دوران n أضعاف، ومستوى انعكاس عمودي. يتم إنشاؤه من خلال الدوران بزاوية 360 درجة / n حول المحور، مقترنًا بالانعكاس. بالنسبة لـ C _1h، يتم استخدام الترميز C _s ؛ يتم إنشاؤه من خلال الانعكاس في المستوى.

وبالتالي، لدينا، مع التغليظ لمجموعات النقاط البلورية الدورية العشر، التي ينطبق عليها القيد البلوري :

طلب	مجموعات القياس المتساوي	المجموعة المجردة	عدد عناصر الترتيب 2
1	ج ₁	ز ₁	0
2	ج ₂ ، ج ₁ ، ج ₂	ز ₂	1
3	ج ₃	ز ₃	0
4	ج ₄ ، س ₄	ز ₄	1
5	ج ₅	ز ₅	0
6	ج ₆ ، س ₆ ، ج _3ح	ز ₆ = ز ₃ × ز ₂	1
7	ج ₇	ز ₇	0
8	ج ₈ ، س ₈	ز ₈	1
9	ج ₉	ز ₉	0
10	ج ₁₀ ، س ₁₀ ، ج _5ح	ز ₁₀ = ز ₅ × ز ₂	1

إلخ.

مجموعات التناظر في الأبعاد الثلاثية التي تكون ثنائية السطوح كمجموعة مجردة

في المجموعة ثنائية السطوح ثنائية الأبعاد، تتضمن المجموعة D _n انعكاسات، والتي يمكن أيضًا اعتبارها انعكاسًا على الأشياء المسطحة دون التمييز بين الجانب الأمامي والخلفي.

ومع ذلك، في 3D يتم التمييز بين العمليتين: مجموعة التناظر التي يرمز لها بـ D _n تحتوي على n محورين ثنائيي الطي عموديين على المحور ذي الطي n ، وليس انعكاسات. D _n هي مجموعة دوران المنشور ذي الأضلاع n بقاعدة منتظمة ، والهرم ثنائي الأضلاع n بقاعدة منتظمة، وأيضًا لمنشور مضاد منتظم ذي أضلاع n وشبه منحرف منتظم ذي أضلاع n . المجموعة هي أيضًا مجموعة التناظر الكاملة لمثل هذه الأشياء بعد جعلها كيرالية من خلال مثلًا علامة كيرالية متطابقة على كل وجه، أو بعض التعديلات في الشكل.

نوع المجموعة المجردة هو المجموعة ثنائية السطوح Dih _n ، والتي يشار إليها أيضًا بـ D _n . ومع ذلك، هناك ثلاث سلاسل لا نهائية أخرى من مجموعات التماثل مع هذا النوع من المجموعة المجردة:

C _{n v} من الدرجة 2 n ، مجموعة التماثل للهرم المنتظم ذي n ضلع
D _{n d} من الدرجة 4 n ، مجموعة التماثل لمنشور مضاد منتظم ذو n ضلع
D _{n h} من الدرجة 4 n لـ n فردي . بالنسبة لـ n = 1 نحصل على D ₂ ، والتي سبق تناولها أعلاه، لذا n ≥ 3.

لاحظ الخاصية التالية:

ديه _{4 ن +2} ديه ₂_ن₊₁ × ز ₂

\cong

وبالتالي، لدينا، مع التغليظ لمجموعات النقاط البلورية الاثنتي عشرة، وكتابة D _1d على أنها المكافئة C _2h :

طلب	مجموعات القياس المتساوي	المجموعة المجردة	عدد عناصر الترتيب 2
4	د ₂ ، ج _2ف ، ج _2ح	ديه ₂ = ز ₂ × ز ₂	3
6	د ₃ ، ج _3ف	ديه ₃	3
8	د ₄ ، ج _4ف ، د _2د	ديه ₄	5
10	د ₅ ، ج _5ف	ديه ₅	5
12	د ₆ ، ج _6ف ، د _3د ، د _3ح	ديه ₆ = ديه ₃ × ز ₂	7
14	د ₇ ، ج _7ف	ديه ₇	7
16	د ₈ ، ج _8ف ، د _4د	ديه ₈	9
18	د ₉ ، ج _9ف	ديه ₉	9
20	د ₁₀ ، ج _{10 ف} ، د _5ح ، د _5د	ديه ₁₀ = د ₅ × ز ₂	11

إلخ.

آخر

C _{2 n ،h} من الدرجة 4 n هي من نوع المجموعة المجردة Z _{2 n} × Z ₂ . بالنسبة إلى n = 1 نحصل على Dih ₂ ، والتي سبق تناولها أعلاه، لذا فإن n ≥ 2.

وبالتالي، لدينا، مع التغليظ لمجموعتي النقاط البلورية الدوريتين:

طلب	مجموعة القياس المتساوي	المجموعة المجردة	عدد عناصر الترتيب 2
8	ج _4ح	ز ₄ × ز ₂	3
12	ج _6ح	ض ₆ × ض ₂ = ض ₃ × ض ₂² = ض ₃ × ديه ₂	3
16	ج _8ح	ز ₈ × ز ₂	3
20	ج _10ح	ض ₁₀ × ض ₂ = ض ₅ × ض ₂² = ض ₅ × ديه ₂	3

إلخ.

D _{n h} من الدرجة 4 n هي من نوع المجموعة المجردة Dih _n × Z ₂ . بالنسبة للعدد الفردي n، فقد تمت تغطية هذا بالفعل أعلاه، لذلك لدينا هنا D _{2 n h} من الدرجة 8 n ، وهي من نوع المجموعة المجردة Dih _{2 n} × Z ₂ ( n ≥1).

وبالتالي، لدينا، مع التغليظ لمجموعات النقاط البلورية ثنائية السطوح الثلاث:

طلب	مجموعة القياس المتساوي	المجموعة المجردة	عدد عناصر الترتيب 2
8	د _2س	ز ₂³	7
16	د _{4 ساعات}	ديه ₄ × زد ₂	11
24	د _{6 ساعات}	ديه ₆ × ز ₂ = ديه ₃ × ز ₂²	15
32	د _8س	ديه ₈ × ز ₂	19

إلخ.

أما السبعة المتبقية فهي، مع التغليظ لمجموعات النقاط البلورية الخمس (انظر أيضًا أعلاه):

طلب	مجموعة القياس المتساوي	المجموعة المجردة	عدد عناصر الترتيب 2
12	ت	أ ₄	3
24	ت _د ، و	س ₄	9
24	ذ	أ ₄ × ز ₂	7
48	*أوه*	س ₄ × ز ₂	19
60	أنا	أ ₅	15
120	انا _ه	أ ₅ × ز ₂	31

المجال الأساسي

ثلاثي السطوح ديسدياكيس

تتقاطع مستويات الانعكاس للتناظر الإيكوساهيدرالي مع الكرة في الدوائر العظمى ، مع المجالات الأساسية للمثلث الكروي القائم

المجال الأساسي لمجموعة النقاط هو جسم مخروطي الشكل . يتميز الجسم ذو التماثل المعطى في اتجاه معين بالمجال الأساسي. إذا كان الجسم سطحًا، فإنه يتميز بسطح في المجال الأساسي يستمر حتى أسطحه الحدودية الشعاعية أو أسطحه. إذا لم تتناسب نسخ السطح، فيمكن إضافة أسطح أو وجوه شعاعية. وهي تتلاءم على أي حال إذا كان المجال الأساسي محاطًا بمستويات انعكاس.

بالنسبة لمتعدد السطوح، يمكن أن يكون هذا السطح في المجال الأساسي جزءًا من مستوى عشوائي. على سبيل المثال، في ثلاثي السطوح ديسدياكيس، يكون أحد الوجوه الكاملة مجالًا أساسيًا للتناظر العشريني السطوح . يتيح تعديل اتجاه المستوى إمكانيات مختلفة لدمج وجهين متجاورين أو أكثر في وجه واحد، مما يعطي متعددات سطوح أخرى مختلفة بنفس التناظر. يكون متعدد السطوح محدبًا إذا كان السطح يناسب نسخه وكان الخط الشعاعي العمودي على المستوى في المجال الأساسي.

كما أن السطح في المجال الأساسي قد يتكون من وجوه متعددة.

المجموعات المتعددة السطوح الثنائية

الخريطة Spin(3) → SO(3) هي الغطاء المزدوج لمجموعة الدوران بواسطة مجموعة الدوران في 3 أبعاد. (هذا هو الغطاء المتصل الوحيد لـ SO(3)، حيث أن Spin(3) متصل ببساطة.) وفقًا لنظرية الشبكة ، يوجد اتصال جالوا بين المجموعات الفرعية لـ Spin(3) والمجموعات الفرعية لـ SO(3) (مجموعات النقاط الدورانية): صورة المجموعة الفرعية لـ Spin(3) هي مجموعة نقاط دورانية، والصورة الأولية لمجموعة النقاط هي مجموعة فرعية لـ Spin(3). (لاحظ أن Spin(3) لها أوصاف بديلة كمجموعة وحدوية خاصة SU(2) ومجموعة رباعيات الوحدة . من الناحية الطوبولوجية، مجموعة لاي هذه هي الكرة ثلاثية الأبعاد S ³ .)

تسمى الصورة الأولية لمجموعة نقاط محدودة بمجموعة متعددة السطوح ثنائية ، ممثلة بـ ⟨l,n,m⟩، وتُسمى بنفس اسم مجموعة النقاط الخاصة بها، مع البادئة binary ، مع ضعف ترتيب المجموعة المتعددة السطوح ذات الصلة (l,m,n). على سبيل المثال، الصورة الأولية للمجموعة العشرينية السطوح (2,3,5) هي المجموعة العشرينية السطوح الثنائية ، ⟨2,3,5⟩.

المجموعات المتعددة السطوح الثنائية هي:

$A_{n}$ : مجموعة دورية ثنائية لضلع ( n + 1)، من الدرجة 2 n
$D_{n}$ : مجموعة ثنائية السطوح ذات n ضلع، ⟨2,2, n ⟩، من الدرجة 4 n
$E_{6}$ : مجموعة رباعية السطوح الثنائية ، ⟨2,3,3⟩، من الدرجة 24
$E_{7}$ : مجموعة ثماني السطوح الثنائية ، ⟨2،3،4⟩، من الدرجة 48
$E_{8}$ : مجموعة إيكوساهدرا ثنائية ، ⟨2،3،5⟩، مرتبة 120

يتم تصنيفها حسب تصنيف ADE ، وقسمة C ² بواسطة عمل مجموعة متعددة السطوح الثنائية هي مفردة Du Val . ^[6]

بالنسبة للمجموعات النقطية التي تعكس الاتجاه، يكون الوضع أكثر تعقيدًا، حيث يوجد مجموعتان دبابيس ، وبالتالي توجد مجموعتان ثنائيتان محتملتان تتوافقان مع مجموعة نقاط معينة.

لاحظ أن هذا غطاء للمجموعات ، وليس غطاء للمساحات - الكرة متصلة ببساطة ، وبالتالي ليس لها مساحات تغطية . وبالتالي لا يوجد مفهوم "متعدد السطوح الثنائي" الذي يغطي متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد. المجموعات المتعددة السطوح الثنائية هي مجموعات فرعية منفصلة لمجموعة دوران، وتحت تمثيل المجموعة الدورانية تعمل على فضاء متجه، ويمكنها تثبيت متعدد السطوح في هذا التمثيل - تحت الخريطة Spin(3) → SO(3) تعمل على نفس متعدد السطوح الذي تعمل عليه المجموعة الأساسية (غير الثنائية)، بينما تحت تمثيلات الدوران أو التمثيلات الأخرى يمكنها تثبيت متعددات السطوح الأخرى.

يتناقض هذا مع متعددات السطوح الإسقاطية - حيث تغطي الكرة الفضاء الإسقاطي ( ومساحات العدسات أيضًا )، وبالتالي فإن تقسيم الفضاء الإسقاطي أو فضاء العدسة يعطي فكرة مميزة عن متعدد السطوح.

انظر أيضا

الحواشي

^ أب كوري ، بيير (1894). "Sur lasymétrie dans les phénomènes physiques,symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" [في التماثل في الظواهر الفيزيائية، وتماثل المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي] (PDF) . جورنال دي فيزيك (باللغة الفرنسية). 3 (1): 393-415. دوى :10.1051/jphystap:018940030039300.
^ Shubnikov, AV (1988). "حول أعمال بيير كوري في التناظر". Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers . Pergamon Press. ص. 357–364. doi :10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.
^ Vainshtein., BK (1994). Modern Crystallography, Vol. 1. Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography (الطبعة الموسعة الثانية). Springer-Verlag Berlin. ص. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
^ فيشر، جي إل؛ ميلور، بي. (2007)، "مجموعات النقاط المحدودة ثلاثية الأبعاد وتناظر الخرز المرصّع" (PDF) ، مجلة الرياضيات والفنون ، 1 (2): 85-96، doi :10.1080/17513470701416264، S2CID 40755219
^ Coxeter ، متعددات السطوح المنتظمة ، §12.6 عدد الانعكاسات، المعادلة 12.61
^ بوربان، إيغور. "تفردات دو فال" (PDF) .

مراجع

Coxeter, HSM (1974)، "7 المجموعات الثنائية المتعددة السطوح"، متعددات السطوح المعقدة المنتظمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 73-82.
Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 المجموعات المتعددة السطوح الثنائية، ص 68
كونواي، جون هورتون ؛ هوسون، دانيال هـ. (2002)، "ترميز أوربفولد للمجموعات ثنائية الأبعاد"، الكيمياء البنيوية ، 13 (3)، سبرينغر هولندا: 247-257، doi :10.1023/A:1015851621002، S2CID 33947139

روابط خارجية

نظرة عامة بيانية على المجموعات النقطية البلورية البالغ عددها 32 مجموعة - تشكل الأجزاء الأولى (بصرف النظر عن تخطي n = 5) من السلاسل اللانهائية السبع و5 من المجموعات النقطية الثلاثية الأبعاد المنفصلة السبع
نظرة عامة على خصائص المجموعات النقطية
أبسط متعددات السطوح القياسية لكل نوع من أنواع التناظر (تستخدم Java)
المجموعات النقطية وأنظمة البلورات، بقلم يي-شو وي، ص 4-6
مركز الهندسة: 10.1 صيغ التناظر في الإحداثيات الديكارتية (ثلاثة أبعاد)

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[Curie_1894-1] أب كوري ، بيير (1894). "Sur lasymétrie dans les phénomènes physiques,symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" [في التماثل في الظواهر الفيزيائية، وتماثل المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي] (PDF) . جورنال دي فيزيك (باللغة الفرنسية). 3 (1): 393-415. دوى :10.1051/jphystap:018940030039300.

[2] Shubnikov, AV (1988). "حول أعمال بيير كوري في التناظر". Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers . Pergamon Press. ص. 357–364. doi :10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.

[3] Vainshtein., BK (1994). Modern Crystallography, Vol. 1. Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography (الطبعة الموسعة الثانية). Springer-Verlag Berlin. ص. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.

[4] فيشر، جي إل؛ ميلور، بي. (2007)، "مجموعات النقاط المحدودة ثلاثية الأبعاد وتناظر الخرز المرصّع" (PDF) ، مجلة الرياضيات والفنون ، 1 (2): 85-96، doi :10.1080/17513470701416264، S2CID 40755219

[5] Coxeter ، متعددات السطوح المنتظمة ، §12.6 عدد الانعكاسات، المعادلة 12.61

[6] بوربان، إيغور. "تفردات دو فال" (PDF) .

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗