الاستدلال التكراري

الاستدلال التكراري هو نوع من الاستدلال الإحصائي القائم على الاحتمالية التكرارية ، حيث يُعامل "الاحتمال" بمصطلحات مكافئة لـ"التكرار"، ويستخلص النتائج من بيانات العينة بالتركيز على تكرار أو نسبة النتائج في البيانات. ويُعدّ الاستدلال التكراري أساسًا للإحصاء التكراري ، الذي تُبنى عليه المنهجيات الراسخة لاختبار الفرضيات الإحصائية وفترات الثقة .

يقوم المنهج التكراري على افتراض أن الإحصاءات تمثل تكرارات احتمالية. وقد طوّر هذا المنهج بشكل أساسي رونالد فيشر وفريق جيرزي نيمان وإيغون بيرسون . ساهم رونالد فيشر في الإحصاء التكراري من خلال تطوير مفهوم "اختبار الدلالة الإحصائية"، وهو دراسة دلالة مقياس إحصائي عند مقارنته بالفرضية.

قام نيمان وبيرسون بتوسيع أفكار فيشر لتشمل الفرضيات المتعددة. وقد افترضا أن نسبة احتمالات فرضيتين معطيتين، عند تعظيم الفرق بينهما، تؤدي إلى تعظيم تجاوز قيمة p معينة . وتُشكل هذه العلاقة أساسًا لخطأ النوع الأول وخطأ النوع الثاني وفترات الثقة .

في الاستدلال الإحصائي، الإحصائية التي نريد الاستدلال عليها هي${\displaystyle y\in Y}$، حيث المتجه العشوائي${\displaystyle Y}$هي دالة لمتغير مجهول،${\displaystyle \theta }$.

المعلمة${\displaystyle \theta }$، بدورها، تنقسم إلى (${\displaystyle \psi ,\lambda }$)، أين${\displaystyle \psi }$هو المعلمة محل الاهتمام ، و${\displaystyle \lambda }$هو المعامل المزعج . وللتوضيح،${\displaystyle \psi }$قد يكون هذا متوسط ​​السكان،${\displaystyle \mu }$، ومعامل الإزعاج${\displaystyle \lambda }$الانحراف المعياري لمتوسط ​​المجتمع،${\displaystyle \sigma }$[ ^{1 ]​}

وبالتالي، يهتم الاستدلال الإحصائي بتوقع المتجه العشوائي${\displaystyle Y}$،${\displaystyle E(Y)=E(Y;\theta )=\int yf_{Y}(y;\theta )dy}$.

لإنشاء مناطق عدم اليقين في الاستدلال التكراري، يتم استخدام محور يحدد المنطقة المحيطة${\displaystyle \psi }$يمكن استخدام ذلك لتوفير فترة لتقدير عدم اليقين. المحور هو احتمال بحيث يكون بالنسبة للمحور،${\displaystyle p}$، وهي دالة، التي${\displaystyle p(t,\psi )}$يتزايد بشكل ملحوظ في${\displaystyle \psi }$، أين${\displaystyle t\in T}$هو متجه عشوائي.

وهذا يسمح بذلك، بالنسبة للبعض${\displaystyle 0<c<1}$يمكننا تعريف${\displaystyle P\{p(T,\psi )\leq p_{c}^{*}\}}$، وهو احتمال أن تكون دالة المحور أقل من قيمة محددة جيدًا. وهذا يعني${\displaystyle P\{\psi \leq q(T,c)\}=1-c}$، أين${\displaystyle q(t,c)}$هو${\displaystyle 1-c}$الحد الأعلى لـ${\displaystyle \psi }$.

لاحظ أن${\displaystyle 1-c}$ هي مجموعة من النتائج التي تحدد حدًا أحادي الجانب لـ${\displaystyle \psi }$وذلك${\displaystyle 1-2c}$هو حد ذو جانبين لـ${\displaystyle \psi }$عندما نريد تقدير نطاق من النتائج حيث${\displaystyle \psi }$قد يحدث ذلك. وهذا يُحدد بدقة فترة الثقة ، وهي نطاق النتائج التي يمكننا استخلاص استنتاجات إحصائية عنها.

يُعدّ كلٌّ من اختزال فيشر ومعيار نيمان-بيرسون التشغيلي مفهومين متكاملين في الاستدلال التكراري. ويُوضّح هذان المفهومان معًا طريقةً لبناء فترات تكرارية تُحدّد حدود${\displaystyle \psi }$يُعد اختزال فيشر طريقة لتحديد الفترة التي تقع ضمنها القيمة الحقيقية لـ${\displaystyle \psi }$قد يكون كاذباً، بينما معيار نيمان-بيرسون التشغيلي هو قاعدة قرار تتعلق بوضع افتراضات احتمالية مسبقة .

يُعرَّف اختزال فيشر على النحو التالي:

• تحديد دالة الاحتمال (وهذا عادة ما يكون مجرد جمع البيانات)؛
• اختزل إلى إحصائية كافية${\displaystyle S}$من نفس الأبعاد مثل${\displaystyle \theta }$؛
• أوجد دالة${\displaystyle S}$التي لها توزيع يعتمد فقط على${\displaystyle \psi }$؛
• اعكس هذا التوزيع (وهذا ينتج عنه دالة التوزيع التراكمي أو CDF) للحصول على حدود لـ${\displaystyle \psi }$عند مجموعة عشوائية من مستويات الاحتمالية؛
• استخدم التوزيع الشرطي للبيانات المعطاة${\displaystyle S=s}$^{[ 2 ]} بشكل غير رسمي أو رسمي لتقييم مدى كفاية الصياغة.

باختصار، صُممت عملية اختزال فيشر لإيجاد المواضع التي يمكن فيها استخدام الإحصائية الكافية لتحديد نطاق النتائج حيث${\displaystyle \psi }$قد يحدث ذلك في توزيع احتمالي يحدد جميع القيم المحتملة لـ${\displaystyle \psi }$هذا ضروري لصياغة فترات الثقة، حيث يمكننا إيجاد نطاق من النتائج التي${\displaystyle \psi }$من المرجح أن يحدث ذلك على المدى الطويل.

تُعدّ معايير نيمان-بيرون التشغيلية فهمًا أكثر تحديدًا لنطاق النتائج حيث الإحصائية ذات الصلة،${\displaystyle \psi }$يمكن القول إن ذلك يحدث على المدى الطويل. تحدد معايير نيمان-بيرسون التشغيلية احتمالية أن يكون هذا النطاق كافيًا أو غير كافٍ. كما تحدد معايير نيمان-بيرسون نطاق التوزيع الاحتمالي الذي، إذا${\displaystyle \psi }$إذا وُجدت هذه القيمة ضمن هذا النطاق، فإنها لا تزال أقل من القيمة الإحصائية الحقيقية للمجتمع. على سبيل المثال، إذا تجاوز التوزيع الناتج عن اختزال فيشر عتبةً نعتبرها غير معقولة مسبقًا ، فيمكن استخدام تقييم اختزال نيمان-بيرسون لهذا التوزيع لاستنتاج الحالات التي قد يُعطينا فيها النظر إلى توزيعات اختزال فيشر وحدها نتائج غير دقيقة. وبالتالي، يُستخدم اختزال نيمان-بيرسون لإيجاد احتمالية الخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني . ^{[ 3 ]} وللمقارنة، يُعد معيار الحد الأدنى لمخاطر بايز مكملاً لهذا في الإحصاء البايزي .

بسبب اعتماد معايير نيمان-بيرسون على قدرتنا على إيجاد مجموعة من النتائج حيث${\displaystyle \psi }$إذا كان من المرجح حدوث ذلك، فإن نهج نيمان-بيرسون لا يكون ممكناً إلا عندما يمكن تحقيق اختزال فيشري. ^{[ 4 ]}

ترتبط الاستدلالات التكرارية بتطبيق الاحتمالية التكرارية على تصميم التجارب وتفسيرها، وتحديدًا بالرأي القائل بأن أي تجربة معينة يمكن اعتبارها واحدة من سلسلة لانهائية من التكرارات الممكنة لنفس التجربة، كل منها قادر على إنتاج نتائج مستقلة إحصائيًا . ^{[ 5 ]} من هذا المنظور، فإن منهج الاستدلال التكراري لاستخلاص النتائج من البيانات يتطلب فعليًا أن يتم التوصل إلى الاستنتاج الصحيح باحتمالية معينة (عالية)، ضمن هذه المجموعة الافتراضية من التكرارات.

مع ذلك، يمكن تطوير الإجراءات نفسها تمامًا بصياغة مختلفة قليلاً، حيث تُعتمد في هذه الصياغة على منظور ما قبل التجربة. يُمكن القول إن تصميم التجربة يجب أن يتضمن، قبل البدء بها، تحديد الخطوات اللازمة للوصول إلى استنتاج من البيانات التي لم تُجمع بعد. يُمكن للباحث تحديد هذه الخطوات بدقة لضمان احتمالية عالية للوصول إلى قرار صحيح، حيث ترتبط هذه الاحتمالية بمجموعة من الأحداث العشوائية التي لم تحدث بعد، وبالتالي لا تعتمد على تفسير الاحتمالية وفقًا للتكرار. وقد ناقش نيمان ^{[ 6 ]} ، من بين آخرين، هذه الصياغة. وتكتسب هذه الصياغة أهمية خاصة لأن دلالة الاختبار التكراري قد تتغير باختلاف اختيار النموذج، وهو ما يُعد انتهاكًا لمبدأ الاحتمالية.

التكرارية هي دراسة الاحتمالات بافتراض أن النتائج تحدث بتكرار معين خلال فترة زمنية محددة أو مع تكرار أخذ العينات. ولذلك، يجب صياغة التحليل التكراري مع مراعاة افتراضات المشكلة التي تحاول التكرارية تحليلها. يتطلب هذا تحديد ما إذا كانت المسألة المطروحة تتعلق بفهم تنوع إحصائية ما أو تحديد قيمتها الحقيقية. يُعدّ الفرق بين هذين الافتراضين بالغ الأهمية لتفسير اختبار الفرضيات .

يوجد اتجاهان رئيسيان للاستدلال الإحصائي: المنهج المعرفي والمنهج الوبائي . يهتم المنهج المعرفي بدراسة التباين ، أي مدى تكرار انحراف إحصائية ما عن قيمة مُلاحظة. أما المنهج الوبائي فيهتم بدراسة عدم اليقين ؛ ففي هذا المنهج، تكون قيمة الإحصائية ثابتة، لكن فهمنا لها غير مكتمل. ^{[ 7 ]} ولتوضيح ذلك، تخيل محاولة قياس سعر سهم في سوق الأسهم مقابل تقييم سعر أصل ما. يتذبذب سوق الأسهم بشكل كبير لدرجة أن محاولة تحديد السعر المتوقع للسهم بدقة غير مجدية؛ إذ يُفهم سوق الأسهم بشكل أفضل باستخدام المنهج المعرفي، حيث يمكننا محاولة تحديد تحركاته المتقلبة كميًا. في المقابل، قد لا يتغير سعر الأصل كثيرًا من يوم لآخر؛ لذا من الأفضل تحديد القيمة الحقيقية للأصل بدلًا من البحث عن نطاق سعري، وبالتالي يكون المنهج الوبائي أفضل. ويُعد الفرق بين هذين المنهجين جوهريًا لأغراض الاستدلال.

في المنهج المعرفي، نصيغ المسألة كما لو كنا نريد إسناد احتمال لفرضية ما. لا يمكن تحقيق ذلك إلا باستخدام الإحصاء البايزي، حيث يكون تفسير الاحتمال واضحًا لأن الإحصاء البايزي يعتمد على فضاء العينة بأكمله، بينما يهتم الاختبار التكراري بالتصميم التجريبي برمته. فالإحصاء التكراري لا يعتمد على البيانات فحسب، بل على التصميم التجريبي أيضًا . ^{[ 8 ]} في الإحصاء التكراري، يُستمد الحد الفاصل لفهم تكرار الحد من التوزيع العائلي المستخدم في تصميم التجربة. على سبيل المثال، يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين والتوزيع ذي الحدين السالب لتحليل البيانات نفسها تمامًا، ولكن نظرًا لاختلاف نهايات ذيليهما، فإن التحليل التكراري سيُظهر مستويات مختلفة من الدلالة الإحصائية للبيانات نفسها التي تفترض توزيعات احتمالية مختلفة. هذا الاختلاف غير موجود في الاستدلال البايزي. لمزيد من المعلومات، انظر مبدأ الاحتمال ، الذي ينتهكه الإحصاء التكراري بطبيعته. ^{[ 9 ]}

فيما يخص المنهج الوبائي، لا بد من مناقشة الفكرة الأساسية وراء الإحصاء التكراري. صُمم الإحصاء التكراري بحيث يُمكن، على المدى البعيد ، فهم تكرار الإحصائية، واستنتاج نطاق متوسطها الحقيقي. وهذا يقود إلى اختزال فيشر ومعيار نيمان-بيرسون التشغيلي، المذكورين سابقًا. عند تعريف اختزال فيشر ومعيار نيمان-بيرسون التشغيلي لأي إحصائية، فإننا نقوم، وفقًا لهذين الباحثين، بتقييم احتمالية وقوع القيمة الحقيقية للإحصائية ضمن نطاق محدد من النتائج، بافتراض عدد من تكرارات أسلوب أخذ العينات. ^{[ 8 ]} وهذا يسمح بالاستدلال، حيث يُمكننا، على المدى البعيد، تعريف أن النتائج المُجمعة لاستدلالات تكرارية متعددة تعني أن فاصل الثقة 95% يعني حرفيًا أن المتوسط ​​الحقيقي يقع ضمن فاصل الثقة بنسبة 95% من الوقت، ولكن ليس أن المتوسط ​​يقع ضمن فاصل ثقة مُحدد بيقين 95%. هذا مفهوم خاطئ شائع.

كثيراً ما يُنظر إلى المنظور المعرفي والمنظور الوبائي، بشكل خاطئ، على أنهما قابلان للتحويل المتبادل. أولاً، يتمحور المنظور المعرفي حول اختبارات دلالة فيشر المصممة لتقديم أدلة استقرائية ضد الفرضية الصفرية.${\displaystyle H_{0}}$في تجربة واحدة، ويُحدد ذلك بقيمة الاحتمالية لفيشر. في المقابل، يهدف المنظور الوبائي، الذي يُجرى باستخدام اختبار فرضية نيمان-بيرسون، إلى تقليل أخطاء القبول الخاطئ من النوع الثاني على المدى الطويل من خلال توفير حلول لتقليل الأخطاء تُجدي نفعًا على المدى الطويل. يُعدّ الفرق بين المنظورين جوهريًا، لأن المنظور المعرفي يُركز على الشروط التي قد نجد في ظلها قيمة واحدة ذات دلالة إحصائية؛ بينما يُحدد المنظور الوبائي الشروط التي تُقدم في ظلها نتائج المدى الطويل نتائج صحيحة. هذه استنتاجات مختلفة تمامًا، لأن الاستنتاجات المعرفية التي تُجرى لمرة واحدة لا تُفيد في فهم أخطاء المدى الطويل، ولا يُمكن استخدام أخطاء المدى الطويل للتحقق من منطقية التجارب التي تُجرى لمرة واحدة. إن افتراض أن التجارب التي تُجرى لمرة واحدة تُفسر الأحداث على المدى الطويل هو خطأ في الإسناد، وافتراض أن الاتجاهات على المدى الطويل تُعزى إلى تجارب فردية هو مثال على المغالطة البيئية. ^{[ 10 ]}

تختلف الاستدلالات التكرارية عن أنواع أخرى من الاستدلالات الإحصائية، مثل الاستدلالات البايزية والاستدلالات الموثوقة . وبينما يُعتبر أحيانًا أن " الاستدلال البايزي " يشمل المنهج المؤدي إلى القرارات المثلى ، إلا أننا نتبنى هنا تعريفًا أكثر تحديدًا تبسيطًا للأمر.

• إحصاءات بديهية
• مشكلة الدبابات الألمانية