طريقة فروبينيوس

في الرياضيات ، تُعد طريقة فروبينيوس ، التي سُميت نسبةً إلى فرديناند جورج فروبينيوس ، طريقةً لإيجاد حل متسلسلة لانهائية لمعادلة تفاضلية عادية خطية من الرتبة الثانية على الصورة $${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$$ مع${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$و${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$.

في جوار النقطة المفردة المنتظمة${\displaystyle z=0}$.

يمكن القسمة على${\displaystyle z^{2}}$للحصول على معادلة تفاضلية من الشكل $${\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}$$ لن يكون بالإمكان حل هذه المعادلة باستخدام طرق متسلسلات القوى التقليدية إذا لم تكن الدالة p ( z )/ z أو q ( z ⁾ / z² تحليلية عند z = 0. تُمكّن طريقة فروبينيوس من إنشاء حل على شكل متسلسلة قوى لمثل هذه المعادلة التفاضلية، بشرط أن تكون الدالتان p ( z ) و q ( z ) تحليليتين عند 0، أو إذا كانتا تحليليتين في أي مكان آخر، فإن نهايتيهما عند 0 موجودتان (ومحدودتان). 

لم تكن مساهمة فروبينيوس ^{[ 1 ]} تكمن في جميع الأشكال الممكنة لحلول المتسلسلات المعنية (انظر أدناه). فقد سبق أن حدد لازاروس فوكس [2] هذه الأشكال جميعها . [ ^{3 ] [} 4 ^{] كما حدد فوكس أيضًا متعددة} الحدود الدليلية ( انظر أدناه) ودورها. ^{[ 2 ]}

كانت إحدى المساهمات الأولى لفروبينيوس في النظرية هي إظهار أنه - فيما يتعلق بالحل الأول المستقل خطيًا، والذي يكون له شكل متسلسلة قوى تحليلية مضروبة في قوة عشوائية r للمتغير المستقل (انظر أدناه) - فإن معاملات متسلسلة القوى المعممة تخضع لعلاقة تكرارية ، بحيث يمكن دائمًا حسابها بشكل مباشر.

كان من بين المساهمات الثانية لفروبينيوس إظهار أنه في الحالات التي تختلف فيها جذور المعادلة الدليلية بعدد صحيح ، يمكن الحصول على الشكل العام للحل المستقل خطيًا الثاني (انظر أدناه) من خلال إجراء يعتمد على التفاضل ^{[ 5 ]} بالنسبة للمعامل r ، المذكور أعلاه.

لقد تم تخصيص جزء كبير من منشور فروبينيوس لعام 1873 ^{[ 1 ]} لإثبات تقارب جميع السلاسل المعنية في الحلول، بالإضافة إلى تحديد أنصاف أقطار تقارب هذه السلاسل.

تتمثل طريقة فروبينيوس في البحث عن حل متسلسلة قوى على الشكل التالي $${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$$

التمييز: $${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$$${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

بإدخال التفاضل المذكور أعلاه في معادلتنا التفاضلية الأصلية: $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}$$

التعبير $${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$ يُعرف هذا باسم كثير الحدود الدليلي ، وهو دالة تربيعية في r . التعريف العام لكثير الحدود الدليلي هو معامل أصغر قوة لـ z في المتسلسلة اللانهائية. في هذه الحالة، يكون هذا هو المعامل رقم r ، ولكن من الممكن أن يكون أصغر أس ممكن هو r - 2 أو r - 1 أو أي قيمة أخرى حسب المعادلة التفاضلية المعطاة. من المهم مراعاة هذه التفاصيل. عند محاولة توحيد جميع متسلسلات المعادلة التفاضلية لتبدأ من نفس قيمة الدليل (وهي k = 1 في التعبير أعلاه)، قد نحصل على تعبيرات معقدة. مع ذلك، عند إيجاد الجذور الدليلية، ينصب التركيز فقط على معامل أصغر قوة لـ z .         

باستخدام هذا، يكون التعبير العام لمعامل z ^{k + r} هو $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}$$

يجب أن تكون هذه المعاملات صفرًا، لأنها يجب أن تكون حلولًا للمعادلة التفاضلية، لذلك

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}$$

حل المتسلسلة مع A _k أعلاه، $${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$ يرضي $${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$$

إذا اخترنا أحد جذور متعددة الحدود الدليلية لـ r في U _r ( z ) ، فسنحصل على حل للمعادلة التفاضلية. إذا لم يكن الفرق بين الجذرين عددًا صحيحًا، فسنحصل على حل آخر مستقل خطيًا عند الجذر الآخر.

دعونا نحل الأمر $${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

اقسم على z ² للحصول على $${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$$ والتي تحتوي على التفرد المطلوب عند z = 0.   

استخدم حل المتسلسلة $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

والآن، استبدال $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

من المعادلة ⁽ r − 1) ^² = 0 نحصل على جذر مضاعف للعدد 1. باستخدام هذا الجذر، نجعل معامل zk ^{+ r − 2} يساوي صفرًا (لكي يكون حلاً)، مما يعطينا: $${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$ ومن ثم لدينا علاقة التكرار التالية : $${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$$

بفرض بعض الشروط الأولية، يمكننا إما حل التكرار بالكامل أو الحصول على حل في شكل متسلسلة قوى.

بما أن نسبة المعاملات${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$إذا كانت دالة كسرية ، فيمكن كتابة متسلسلة القوى على شكل متسلسلة هندسية فائقة معممة .

تضمن المثال السابق متعددة حدود ذات جذر متكرر، مما يعطي حلاً واحداً فقط للمعادلة التفاضلية المعطاة. وبشكل عام، تعطي طريقة فروبينيوس حلين مستقلين بشرط ألا يفصل بين جذري المعادلة عدد صحيح (بما في ذلك الصفر).

إذا تكرر الجذر أو اختلف الجذران بعدد صحيح، فيمكن إيجاد الحل الثاني باستخدام: $${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$$ أين${\displaystyle y_{1}(x)}$هو الحل الأول (بناءً على الجذر الأكبر في حالة الجذور غير المتساوية)،${\displaystyle r_{2}}$الجذر الأصغر، والثابت C والمعاملات${\displaystyle B_{k}}$سيتم تحديدها لاحقاً.${\displaystyle B_{0}}$يتم اختيارها (على سبيل المثال عن طريق ضبطها على 1) ثم C و${\displaystyle B_{k}}$يتم تحديدها حتى ولكن لا تشمل${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$والتي يمكن تحديدها بشكل تعسفي. وهذا بدوره يحدد باقي${\displaystyle B_{k}.}$في بعض الحالات، يجب أن يكون الثابت C مساوياً للصفر.

مثال : لنفترض المعادلة التفاضلية التالية ( معادلة كومر مع a = 1 و b = 2 ): $${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$$ جذور المعادلة الدليلية هي -1 و 0. يوجد حلان مستقلان هما${\displaystyle 1/z}$و${\displaystyle e^{z}/z,}$إذن نرى أن اللوغاريتم لا يظهر في أي من الحلول. الحل${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$تحتوي على متسلسلة قوى تبدأ بالأس صفر. في متسلسلة قوى تبدأ بـ${\displaystyle z^{-1}}$لا تفرض علاقة التكرار أي قيود على معامل الحد${\displaystyle z^{0},}$والتي يمكن تحديدها بشكل تعسفي. إذا تم ضبطها على الصفر، فإن جميع المعاملات الأخرى في هذه المعادلة التفاضلية ستكون صفرًا، ونحصل على الحل 1/ z .

• نظرية فوكس
• نقطة مفردة منتظمة
• سلسلة لوران

• وايسشتاين، إريك دبليو. "طريقة فروبينيوس" . عالم الرياضيات .
• تيشل، جيرالد (2012). المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية . بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-8328-0.(النسخة الأولية متاحة على الإنترنت على الرابط التالي: https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ ). يحتوي الفصل الرابع على الطريقة الكاملة بما في ذلك البراهين.