حل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى

في الرياضيات ، تُستخدم طريقة متسلسلة القوى لإيجاد حل متسلسلة القوى لبعض المعادلات التفاضلية . وبشكل عام، يفترض هذا الحل وجود متسلسلة قوى بمعاملات مجهولة، ثم يُعوَّض هذا الحل في المعادلة التفاضلية لإيجاد علاقة تكرارية للمعاملات.

لنفترض المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية$${\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.}$$ لنفترض أن a ₂ لا يساوي الصفر لجميع قيم z . عندئذٍ يمكننا القسمة على كل شيء للحصول على $${\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.}$$ لنفترض كذلك أن a ₁ / a ₂ و a ₀ / a ₂ دالتان تحليليتان .

تتطلب طريقة متسلسلة القوى بناء حل متسلسلة القوى $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k}.}$$

إذا كانت _{قيمة a²} تساوي صفرًا لبعض قيم z ، فإن طريقة فروبينيوس ، وهي شكل معدل من هذه الطريقة، مناسبة للتعامل مع ما يُسمى " النقاط الشاذة ". وتعمل هذه الطريقة بشكل مماثل للمعادلات ذات الرتب العليا وكذلك للأنظمة.

لنلقِ نظرة على معادلة هيرميت التفاضلية ، $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$

يمكننا محاولة بناء حل متسلسل $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty}A_{k}z^{k}\\f'&=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}\\f''&=\sum _{k=2}^{\infty }ك(ك-1)A_{ك}ض^{ك-2}\نهاية {محاذاة}}}$$

بتعويض هذه القيم في المعادلة التفاضلية $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=2}^{\infty}k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_ {k}z^{k}=0\\=&\sum _{k=2}^{\infty}k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty}2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }أ_ {ك} ض ^ {ك} \ نهاية {المحاذاة}}}$$

إجراء تغيير على المجموع الأول $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty}2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_ {ك}ض^{ك}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty}(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty}2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{ك}ض^{ك}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}}$$

إذا كانت هذه المتسلسلة حلاً، فيجب أن تكون جميع هذه المعاملات صفرًا، لذلك بالنسبة لكل من k = 0 و k > 0: $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0}$$

يمكننا إعادة ترتيب هذا للحصول على علاقة تكرارية لـ A _{k +2} . $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}}$$$${\displaystyle A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}}$$

الآن، لدينا $${\displaystyle A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}}$$

يمكننا تحديد A ₀ و A ₁ إذا كانت هناك شروط ابتدائية، أي إذا كانت لدينا مشكلة قيمة ابتدائية .

لذلك لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}}$$ والحل المتسلسل هو $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}}$$ والتي يمكننا تقسيمها إلى مجموع حلين متسلسلين مستقلين خطيًا: $${\displaystyle f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}$$ والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر باستخدام المتسلسلات الهندسية الفائقة .

يمكن تطبيق طريقة متسلسلة القوى على بعض المعادلات التفاضلية غير الخطية ، وإن كان ذلك بمرونة أقل. ويمكن حل فئة واسعة جدًا من المعادلات غير الخطية تحليليًا باستخدام طريقة باركر-سوتشاكي . ولأن هذه الطريقة تتضمن توسيع النظام الأصلي للمعادلات التفاضلية العادية باستخدام معادلات مساعدة، فلا يُشار إليها ببساطة باسم طريقة متسلسلة القوى. تُطبق طريقة باركر-سوتشاكي قبل طريقة متسلسلة القوى لتسهيل تطبيقها على العديد من المسائل غير الخطية. ويمكن توسيع مسألة المعادلات التفاضلية العادية باستخدام المتغيرات المساعدة، مما يجعل طريقة متسلسلة القوى بديهية لنظام مكافئ أكبر. وينتج عن توسيع مسألة المعادلات التفاضلية العادية باستخدام المتغيرات المساعدة نفس المعاملات (لأن متسلسلة القوى للدالة فريدة) ولكن على حساب حساب معاملات المعادلات المساعدة أيضًا. في كثير من الأحيان، وبدون استخدام متغيرات مساعدة، لا توجد طريقة معروفة للحصول على متسلسلة القوى لحل النظام، وبالتالي فإن طريقة متسلسلة القوى وحدها يصعب تطبيقها على معظم المعادلات غير الخطية.

تُقدّم طريقة متسلسلة القوى حلولاً لمسائل القيمة الابتدائية فقط (على عكس مسائل القيمة الحدية )؛ ولا يُشكّل هذا مشكلة عند التعامل مع المعادلات الخطية، إذ قد يُنتج الحل حلولاً متعددة مستقلة خطياً، يُمكن دمجها (بالتراكب ) لحل مسائل القيمة الحدية أيضاً. ومن القيود الأخرى أن معاملات المتسلسلة تُحدّد بعلاقة تكرارية غير خطية (تُورَث اللاخطية من المعادلة التفاضلية).

لكي تنجح طريقة الحل، كما هو الحال في المعادلات الخطية، من الضروري التعبير عن كل حد في المعادلة غير الخطية كمتسلسلة قوى بحيث يمكن دمج جميع الحدود في متسلسلة قوى واحدة.

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك مسألة القيمة الأولية $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+\eta F'=0\quad$$ F(1) = 0، F'(1) = -1/2، وهو ما يصف حلاً لتدفق مدفوع بالخاصية الشعرية في أخدود. يوجد حدان غير خطيين: الأول والثاني يتضمنان حاصل ضرب. القيم الابتدائية معطاة عند${\displaystyle \eta =1}$وهذا يشير إلى أنه يجب إعداد سلسلة القوى على النحو التالي: $${\displaystyle F(\eta )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}(\eta -1)^{i}}$$ لأن بهذه الطريقة $${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}}\right|_{\eta =1}=n!\ c_{n}}$$ مما يجعل حساب القيم الأولية سهلاً للغاية. من الضروري إعادة كتابة المعادلة قليلاً في ضوء تعريف متسلسلة القوى. $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad$$ ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}} بحيث يحتوي الحد الثالث على نفس الشكل${\displaystyle \eta -1}$ويتضح ذلك في سلسلة القوى.

أما الاعتبار الأخير فهو كيفية التعامل مع نواتج الضرب؛ فاستبدال متسلسلة القوى سيؤدي إلى نواتج ضرب متسلسلة قوى، بينما من الضروري أن يكون كل حد متسلسلة قوى خاصة به. وهنا يأتي دور ضرب كوشي.$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}}$$ يُعدّ هذا مفيدًا؛ إذ يؤدي استبدال متسلسلة القوى في المعادلة التفاضلية وتطبيق هذه المتطابقة إلى معادلة يكون فيها كل حد عبارة عن متسلسلة قوى. بعد إعادة ترتيب كثيرة، تصبح العلاقة التكرارية $${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}\left((j+1)(j+2)c_{i-j}c_{j+2}+2(i-j+1)(j+1)c_{i-j+1}c_{j+1}\right)+ic_{i}+(i+1)c_{i+1}=0}$$ يتم الحصول على القيم الدقيقة لمعاملات المتسلسلة. من القيم الأولية،${\displaystyle c_{0}=0}$و${\displaystyle c_{1}=-1/2}$ثم يُستخدم التكرار المذكور أعلاه. على سبيل المثال، المعاملات القليلة التالية: $${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}}\quad$$ ;\quad c_{3}=-{\frac {1}{108}}\quad  ;\quad c_{4}={\frac {7}{3240}}\quad  ;\quad c_{5}=-{\frac {19}{48600}}\ \dots }

يظهر قصور حل متسلسلة القوى في هذا المثال. يُظهر الحل العددي للمسألة أن الدالة سلسة ومتناقصة دائمًا إلى يسار${\displaystyle \eta =1}$وصفر إلى اليمين. عند${\displaystyle \eta =1}$يوجد انقطاع في الميل، وهي سمة لا تستطيع متسلسلة القوى تمثيلها، ولهذا السبب يستمر حل المتسلسلة في التناقص إلى يمين${\displaystyle \eta =1}$بدلاً من أن تصبح فجأةً صفرًا. مع ذلك، من الممكن إعادة بناء حل متسلسلة القوى إما كإعادة تجميع (مثل إعادة تجميع أويلر ) أو كتقريب (مثل تقريب باديه ) لتجنب المشكلات الناجمة عن التفردات، بالإضافة إلى مشكلات أخرى مثل بطء معدل التقارب. ^{[ 1 ]}

• كودينغتون، إيرل أ.؛ ليفينسون، نورمان (1955). نظرية المعادلات التفاضلية العادية . نيويورك: ماكجرو هيل .
• هيل، إينار (1976). المعادلات التفاضلية العادية في المجال المركب . مينولا : منشورات دوفر .
• تيشل، جيرالد (2012). المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية . بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• لوزي، ر.؛ بوغونين، ف.أ.؛ بشيلينتسيف، أ.ن. (2016). "طريقة عددية دقيقة جديدة لتقريب الحلول الفوضوية لمعادلات النموذج الديناميكي ذات اللاخطية التربيعية" (ملف PDF) . الفوضى، السوليتونات والكسور . 91 : 108-114 . Bibcode : 2016CSF....91..108L . doi : 10.1016/j.chaos.2016.05.010 .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "طريقة فروبينيوس" . عالم الرياضيات .