فرديناند جورج فروبينيوس

فرديناند جورج فروبينيوس (26 أكتوبر 1849 - 3 أغسطس 1917) عالم رياضيات ألماني ، اشتهر بإسهاماته في نظرية الدوال الإهليلجية ، والمعادلات التفاضلية ، ونظرية الأعداد ، ونظرية الزمر . يُعرف فروبينيوس بمتطابقات المحددات الشهيرة، المعروفة بصيغ فروبينيوس-ستيكلبرغر، التي تحكم الدوال الإهليلجية، وبتطويره لنظرية الأشكال التربيعية الثنائية. كما كان أول من قدم مفهوم التقريبات النسبية للدوال (المعروفة اليوم بتقريبات باديه )، وقدم أول برهان كامل لنظرية كايلي-هاميلتون . وقد أُطلق اسمه أيضًا على بعض الكائنات الهندسية التفاضلية في الفيزياء الرياضية الحديثة ، والمعروفة باسم مشعبات فروبينيوس .

وُلد فرديناند جورج فروبينيوس في 26 أكتوبر 1849 في شارلوتنبورغ ، إحدى ضواحي برلين ، ^{[ 1 ]} من والديه كريستيان فرديناند فروبينيوس، وهو قس بروتستانتي ، وكريستين إليزابيث فريدريش. التحق بمدرسة يواخيمستال الثانوية عام 1860 عندما كان في الحادية عشرة من عمره تقريبًا. ^{[ 2 ]}

في عام 1867، بعد تخرجه، التحق بجامعة غوتنغن ، حيث بدأ دراسته الجامعية. إلا أنه لم يدرس هناك سوى فصل دراسي واحد قبل أن يعود إلى برلين، حيث حضر محاضراتٍ ألقاها ليوبولد كرونكر ، وإرنست كومر، وكارل فايرشتراس . حصل على درجة الدكتوراه (بامتياز) عام 1870 تحت إشراف فايرشتراس. وكانت أطروحته حول حل المعادلات التفاضلية. في عام 1874، وبعد أن درّس في المرحلة الثانوية - أولاً في مدرسة يواخيمستال الثانوية، ثم في مدرسة سوفينريال - عُيّن أستاذاً استثنائياً للرياضيات في جامعة برلين. ^{[ 2 ]}

لم يمكث فروبينيوس في برلين سوى عام واحد قبل أن ينتقل إلى زيورخ لتولي منصب أستاذ في معهد البوليتكنيك، الذي يُعرف اليوم باسم المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ . عمل فروبينيوس في زيورخ لمدة سبعة عشر عامًا، بين عامي 1875 و1892. وهناك تزوج، وأسس عائلته، وأنجز أعمالًا مهمة في مجالات رياضية متنوعة.

في أواخر ديسمبر عام ١٨٩١، توفي كرونكر، فأصبح منصبه في برلين شاغرًا. كان فايرشتراس يؤمن إيمانًا راسخًا بأن فروبينيوس هو الشخص المناسب للحفاظ على ريادة برلين في مجال الرياضيات، فاستغل نفوذه الكبير لتعيين فروبينيوس. وفي عام ١٨٩٣، عاد إلى برلين، حيث انتُخب عضوًا في الأكاديمية البروسية للعلوم .

كانت نظرية الزمر من أبرز اهتمامات فروبينيوس في النصف الثاني من حياته المهنية. ومن أوائل إسهاماته إثبات نظريات سيلو للزمر المجردة، بعد أن كانت البراهين السابقة خاصة بزمر التبديل . ويُعد برهانه على نظرية سيلو الأولى (حول وجود زمر سيلو) من البراهين الشائعة الاستخدام حتى اليوم.

• أثبت فروبينيوس أيضًا النظرية الأساسية التالية: إذا قسم عدد صحيح موجب n رتبة | G | لمجموعة منتهية G ، فإن عدد حلول المعادلة x ⁿ = 1 في G يساوي kn لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة k .

• كما طرح التخمين التالي: إذا كان k = 1 في النظرية أعلاه ، فإن حلول المعادلة x ⁿ = 1 في G تشكل مجموعة فرعية.

قبل سنوات عديدة، تم إثبات صحة هذه الفرضية بالنسبة للمجموعات القابلة للحل . ^{[ 3 ]} فقط في عام 1991، بعد تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، تم حل هذه المشكلة بشكل عام.

الأهم من ذلك، كان ابتكاره لنظرية خصائص الزمر وتمثيلاتها ، وهي أدوات أساسية لدراسة بنية الزمر. أدى هذا العمل إلى مفهوم التبادلية لفروبينيوس وتعريف ما يُعرف الآن بزمر فروبينيوس . يُقال إن الزمرة G هي زمرة فروبينيوس إذا وُجدت زمرة جزئية H < G بحيث

${\displaystyle \ H\ \cap \ H^{x}=\{\ 1\ \}\quad }$للجميع${\displaystyle \quad x\in G\ \backslash \ H~.}$

في هذه الحالة، المجموعة

${\displaystyle \ N=G\ \backslash \!\!\!\bigcup _{x\in \ G\ \backslash \ H}\!\!\!H^{x}\ }$

يشكل مع العنصر المحايد للمجموعة G زمرة جزئية عديمة القوة ، كما أثبت جون ج. طومسون في عام 1959. ^{[ 4 ]} تستخدم جميع البراهين المعروفة لهذه النظرية الخصائص. في ورقته البحثية الأولى حول الخصائص (1896)، أنشأ فروبينيوس جدول خصائص المجموعة.${\displaystyle \ \mathrm {PSL} (2,p)\ }$من النظام${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(\ p^{3}-p\ \right)\ }$لجميع الأعداد الأولية الفردية p (هذه زمرة بسيطة بشرط أن يكون p > 3 ). كما قدم مساهمات أساسية في نظرية تمثيل الزمر المتناظرة والمتناوبة .

قدّم فروبينيوس طريقةً قياسيةً لتحويل الأعداد الأولية إلى فئات اقتران في زمر غالوا على Q. تحديدًا، إذا كان K / Q امتدادًا محدودًا لغالوا، فإنه لكل عدد أولي (موجب) p لا يتفرع في K، ولكل مثالي أولي P يقع فوق p في K، يوجد عنصر وحيد g من Gal( K / Q ) يحقق الشرط g ( x )  = x ^p (mod P ) لجميع الأعداد الصحيحة x في K. بتغيير P فوق p، يتحول g إلى عنصر اقتران (ويظهر كل عنصر اقتران لـ g بهذه الطريقة)، لذا فإن فئة اقتران g في زمرة غالوا مرتبطة بشكل قياسي بـ p . تُسمى هذه الفئة فئة اقتران فروبينيوس لـ p ، ويُسمى أي عنصر من فئة الاقتران عنصر فروبينيوس لـ p . إذا اعتبرنا K الحقل الدائري m ، الذي زمرته الغالواية على Q هي الوحدات بتردد m (وبالتالي فهي تبديلية، لذا تصبح فئات الترافق عناصر)، فإن فئة فروبينيوس في زمرة غالوا، عندما لا يقسم p العدد m، هي p بتردد m . من هذا المنظور، فإن توزيع فئات ترافق فروبينيوس في زمر غالوا على Q (أو، بشكل أعم، زمر غالوا على أي حقل عددي) يعمم نتيجة ديريشليه الكلاسيكية حول الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية. تعتمد دراسة زمر غالوا لامتدادات Q ذات الدرجة اللانهائية بشكل حاسم على هذا البناء لعناصر فروبينيوس، الذي يوفر، بمعنى ما، مجموعة فرعية كثيفة من العناصر التي يمكن دراستها بتفصيل.     

قدّم فروبينيوس إسهاماتٍ مهمة في حلّ المعادلات التفاضلية العادية ذات المعاملات المتغيرة الخطية، وذلك بتطويره لحلّ طرق متسلسلات القوى المطبقة عند النقاط الشاذة التي تفشل فيها طرق متسلسلات تايلور القياسية. تُعرف خوارزميته الآن باسم طريقة فروبينيوس .

• قائمة الأشياء التي سُميت على اسم فرديناند جورج فروبينيوس

• فروبينيوس، فرديناند جورج (1968)، سيري، J.-P. (محرر)، جيسامليت أبهاندلونجن. Bände I، II، III ، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-04120-7، MR 0235974 
• De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (باللاتينية)، أطروحة، 1870
• Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coeffenen Rationale Functionen einer Variablen sind (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der Linear Differentialgleichungen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
• Über die Integration der Linear Differentialgleichungen durch Reihen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der Linear Differentialgleichungen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare Linere Differentialgleichungen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)
• مشكلة Über das Pfaffsche (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der Linear Differentialgleichungen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
• ملاحظة حول نظرية الأشكال التربيعية في عدد من المتغيرات (بالفرنسية)، Comptes rendus de l'Académie des Sciences Paris 85, 131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)
• Über adjungirte Linere Differentialausdrücke (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
• Über Linere Substitutionen und bilineare Formen (بالألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
• Über Homogene Totale Differentialgleichungen (في الألمانية)، Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)
• فروبينيوس ج. (1881). "Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen" . مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 90 : 1 – 17.
• Ueber Matrizen aus nicht Negativen Elementen (في المانيا)، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26، 456–477 (1912)
• فروبينيوس، ج. (1913). "Ueber die Markoffschen Zahlen" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 458– 487.

• كورتيس، تشارلز و. (2003)، رواد نظرية التمثيل: فروبينيوس، بيرنسايد، شور، وبراور ، تاريخ الرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2677-5MR 1715145​ مراجعة

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "فرديناند جورج فروبينيوس" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• جي. فروبينيوس، "نظرية الكميات فائقة التعقيد" (الترجمة الإنجليزية)