مدار متجمد

في ميكانيكا المدارات ، يُعرف المدار المُجمّد بأنه مدار قمر صناعي تم فيه تقليل الاضطرابات إلى أدنى حد ممكن من خلال اختيار دقيق لمعلمات المدار . قد تنجم هذه الاضطرابات عن الانجراف الطبيعي الناتج عن شكل الجسم المركزي ، أو عن عوامل أخرى. عادةً، يظل ارتفاع القمر الصناعي في المدار المُجمّد ثابتًا عند النقطة نفسها في كل دورة على مدى فترة زمنية طويلة. ^{[ 1 ]} يتم تقليل التغيرات في ميل المدار ، وموقع نقطة الأوج ، والانحراف المركزي إلى أدنى حد ممكن عن طريق اختيار قيم ابتدائية بحيث تلغي اضطراباتها بعضها بعضًا. ^{[ 2 ]} ينتج عن ذلك مدار مستقر طويل الأمد يقلل من استخدام وقود الحفاظ على الموقع .

بالنسبة للمركبات الفضائية التي تدور حول الأرض، تحدث تغيرات في معايير المدار نتيجةً لتفلطح الأرض ، وجاذبية الشمس والقمر، وضغط الإشعاع الشمسي ، ومقاومة الهواء . ^{[ 3 ]} تُعرف هذه القوى بالقوى المُؤثرة. ويجب مُوازنتها بمناورات للحفاظ على المركبة الفضائية في المدار المطلوب. بالنسبة للمركبات الفضائية الثابتة بالنسبة للأرض ، يلزم إجراء مناورات تصحيحية بمعدل 40-50 مترًا في الثانية (89-112 ميلًا في الساعة) سنويًا لمُوازنة هذه القوى.  

بالنسبة للمركبات الفضائية المتزامنة مع الشمس ، يُمكن استخدام تغيير مُتعمّد لمستوى المدار (يُسمى " الترنّح  ") لصالح المهمة. في هذه المهمات، يُستخدم مدار شبه دائري على ارتفاع يتراوح بين 600 و900 كيلومتر. ويتم اختيار ميل مناسب (97.8-99.0 درجة) ^{[ 4 ]} بحيث يكون ترنّح مستوى المدار مساويًا لمعدل حركة الأرض حول الشمس، أي حوالي درجة واحدة يوميًا.

نتيجةً لذلك، ستمر المركبة الفضائية فوق نقاط على سطح الأرض تتطابق فيها أوقات النهار خلال كل دورة مدارية. على سبيل المثال، إذا كان المدار "مربعًا للشمس"، فستمر المركبة دائمًا فوق نقاط تكون فيها الساعة السادسة صباحًا في الجزء المتجه شمالًا، والسادسة مساءً في الجزء المتجه جنوبًا. يُسمى هذا مدار "الفجر والغسق". أما إذا كانت الشمس تقع في مستوى المدار، فستمر المركبة دائمًا فوق أماكن تكون فيها الساعة منتصف النهار في الجزء المتجه شمالًا، وأماكن تكون فيها الساعة منتصف الليل في الجزء المتجه جنوبًا. تُسمى هذه المدارات مدارات "الظهيرة ومنتصف الليل". تُعد هذه المدارات مثالية للعديد من مهام رصد الأرض، مثل رصد الأحوال الجوية، والتصوير، ورسم الخرائط.

تؤثر القوى المؤثرة الناتجة عن تفلطح الأرض عمومًا ليس فقط على مستوى المدار، بل أيضًا على انحرافه . ومع ذلك، توجد مدارات شبه دائرية لا تشهد اضطرابات دورية طويلة الأمد في متجه الانحراف، بل اضطرابات دورية فقط بفترة تساوي الفترة المدارية . يكون هذا المدار دوريًا تمامًا (باستثناء ترنح مستوى المدار)، ولذلك يُطلق عليه "المدار المتجمد". غالبًا ما تُفضّل هذه المدارات في مهمات رصد الأرض التي تتطلب عمليات رصد متكررة في ظل ظروف ثابتة.

غالباً ما يتم تشغيل أقمار مراقبة الأرض في مدارات ثابتة متزامنة مع الشمس نظراً للمزايا الرصدية التي توفرها.

تعتمد النظرية الكلاسيكية للمدارات المجمدة بشكل أساسي على تحليل الاضطراب التحليلي للأقمار الصناعية الاصطناعية الذي أجراه ديرك بروير بموجب عقد مع وكالة ناسا ونُشر في عام 1959. ^{[ 8 ]}

يمكن إجراء هذا التحليل على النحو التالي:

في مقال تحليل اضطراب المدار ، الاضطراب العلماني للقطب المداري${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$من${\displaystyle J_{2}\,}$يُظهر مصطلح نموذج الجهد الجيوديسي أنه

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}}$

1

والتي يمكن التعبير عنها بدلالة العناصر المدارية على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta i\ =\ 0}$

2

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i}$

3

إجراء تحليل مماثل لـ${\displaystyle J_{3}\,}$المصطلح (الذي يتوافق مع حقيقة أن الأرض على شكل كمثرى قليلاً )، نحصل على

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)}$

4

والتي يمكن التعبير عنها بدلالة العناصر المدارية كما يلي

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

5

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

6

في نفس المقالة، تم التطرق إلى الاضطراب العلماني لمكونات متجه الانحراف المركزي الناتج عن${\displaystyle J_{2}\,}$يتبين أنه:

$\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}}$

7

أين:

• يمثل الحد الأول الاضطراب المستوي لمتجه اللامركزية الناتج عن المركبة المستوية لقوة الاضطراب
• أما الحد الثاني فهو تأثير الموضع الجديد للعقدة الصاعدة في المستوى المداري الجديد، حيث يتأثر المستوى المداري بمكون القوة خارج المستوى.

إجراء التحليل من أجل${\displaystyle J_{3}\,}$الحد الذي نحصل عليه للحد الأول، أي لاضطراب متجه اللامركزية من مركبة القوة في المستوى

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)}$

8

بالنسبة للميول التي تتراوح بين 97.8 و99.0 درجة،${\displaystyle \Delta \Omega \,}$القيمة المعطاة في ( 6 ) أصغر بكثير من القيمة المعطاة في ( 3 ) ويمكن إهمالها. وبالمثل، يمكن إهمال الحدود التربيعية لمكونات متجه الانحراف المركزي في ( 8 ) للمدارات شبه الدائرية، أي يمكن تقريب ( 8 ) بـ

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}}$

9

إضافة${\displaystyle J_{3}\,}$مساهمة ${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

إلى ( 7 ) يحصل المرء

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)}$

10

تُظهر معادلة الفرق الآن أن متجه اللامركزية سيصف دائرة مركزها النقطة${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$يزداد الوسيط القطبي لمتجه الانحراف المركزي مع${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$الراديان بين المدارات المتتالية.

مثل

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

يحصل المرء على مدار قطبي (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) مع${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$أن مركز الدائرة يقع عند${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$ويكون تغير الحجة القطبية 0.00400 راديان لكل مدار.

يشير الرقم الأخير إلى أن متجه الانحراف المركزي سيكمل دورة كاملة في 1569 مدارًا. باختيار متجه الانحراف المركزي المتوسط ​​الأولي كـ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$سيظل متجه الانحراف المركزي المتوسط ​​ثابتًا للمدارات المتتالية، أي أن المدار يتجمد بسبب الاضطرابات العلمانية لـ${\displaystyle J_{2}\,}$المصطلح المعطى بالمعادلة ( 7 ) و${\displaystyle J_{3}\,}$يتم حذف الحد المعطى في ( 9 ).

من حيث العناصر المدارية الكلاسيكية، هذا يعني أن المدار المجمد يجب أن يحتوي على العناصر المتوسطة التالية:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

تستند النظرية الحديثة للمدارات المجمدة إلى الخوارزمية الواردة في مقال كتبه ماتس روزنغرين عام 1989. ^{[ 9 ]}

لهذا الغرض، تُستخدم الصيغة التحليلية ( 7 ) لتحديث متجه الانحراف المركزي الأولي (المتوسط) بشكل تكراري، وذلك لضمان أن متجه الانحراف المركزي (المتوسط) المحسوب بعد عدة مدارات باستخدام الانتشار العددي الدقيق يأخذ القيمة نفسها تمامًا. وبهذه الطريقة، يتم التخلص من الاضطراب العلماني لمتجه الانحراف المركزي الناتج عن${\displaystyle J_{2}\,}$يُستخدم هذا المصطلح لمواجهة جميع الاضطرابات العلمانية، وليس فقط تلك (المهيمنة) الناجمة عن${\displaystyle J_{3}\,}$مصطلح. أحد الاضطرابات العلمانية الإضافية التي يمكن تعويضها بهذه الطريقة هو الاضطراب الناجم عن ضغط الإشعاع الشمسي ، وقد تمت مناقشة هذا الاضطراب في مقال " تحليل اضطراب المدار (المركبات الفضائية) ".

بتطبيق هذه الخوارزمية على الحالة المذكورة أعلاه، أي المدار القطبي (${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$) مع${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$مع تجاهل جميع القوى المؤثرة الأخرى غير${\displaystyle J_{2}\,}$و${\displaystyle J_{3}\,}$باستخدام القوى اللازمة للانتشار العددي، نحصل على نفس متجه الانحراف المركزي المتوسط ​​الأمثل تمامًا كما هو الحال مع "النظرية الكلاسيكية"، أي${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$.

عندما نضيف أيضًا القوى الناتجة عن الحدود المناطقية الأعلى، تتغير القيمة المثلى إلى${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$.

وبافتراض ضغط شمسي معقول (مساحة مقطع عرضي تبلغ 0.05 م² ^/ كجم ، والاتجاه نحو الشمس في اتجاه العقدة الصاعدة)، تصبح القيمة المثلى لمتجه الانحراف المركزي المتوسط ​​كما يلي:${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$وهو ما يتوافق مع  :${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$أي أن القيمة المثلى ليست${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$لم يعد هناك.

تم تطبيق هذه الخوارزمية في برنامج التحكم في المدار المستخدم لأقمار مراقبة الأرض ERS-1 و ERS-2 و Envisat .

إن القوة المزعجة الرئيسية التي يجب مواجهتها من أجل الحصول على مدار ثابت هي "${\displaystyle J_{3}\,}$القوة"، أي قوة الجاذبية الناتجة عن عدم التناظر الكامل شمالًا وجنوبًا للأرض، وتستند "النظرية الكلاسيكية" إلى الصيغة المغلقة لهذه القوة.${\displaystyle J_{3}\,}$"الاضطراب". في "النظرية الحديثة"، لا يُستخدم هذا التعبير الصريح المغلق بشكل مباشر، لكن من المفيد بالتأكيد اشتقاقه. ويمكن اشتقاق هذا التعبير على النحو التالي:

يكون الجهد الناتج عن الحدّ المداري متناظرًا دورانيًا حول المحور القطبي للأرض، وتكون القوة المقابلة له بالكامل في مستوى طولي بمركبة واحدة.${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$في الاتجاه القطري ومكون واحد${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$ باستخدام متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$متعامدة مع الاتجاه الشعاعي نحو الشمال. هذه الاتجاهات${\displaystyle {\hat {r}}\,}$و${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$يوضح الشكل 1 ذلك.

يُبين المقال " نموذج الجهد الجيوديسي" أن مكونات القوة هذه ناتجة عن${\displaystyle J_{3}\,}$المصطلحات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}}$

11

لكي تتمكن من تطبيق العلاقات المشتقة في مقالة تحليل اضطراب المدار (المركبات الفضائية) مكون القوة${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$يجب تقسيمها إلى مكونين متعامدين${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$و${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$كما هو موضح في الشكل 2

يترك${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$قم بإنشاء نظام إحداثيات مستطيلة يكون أصله في مركز الأرض (في مركز القطع الناقص المرجعي ) بحيث${\displaystyle {\hat {n}}\,}$تشير إلى اتجاه الشمال، بحيث${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$تقع في المستوى الاستوائي للأرض مع${\displaystyle {\hat {a}}\,}$يشير إلى العقدة الصاعدة ، أي نحو النقطة الزرقاء في الشكل 2.

مكونات متجهات الوحدة

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

تشكيل نظام الإحداثيات المحلي (الذي${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$موضحة في الشكل 2)، وتعبر عن علاقتها بـ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$، وهي كالتالي:

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

أين${\displaystyle u\,}$هو الجدل القطبي لـ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$بالنسبة لمتجهات الوحدة المتعامدة${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$و${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$في المستوى المداري

أولاً

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

أين ${\displaystyle \lambda \,}$هي الزاوية بين مستوى خط الاستواء و${\displaystyle {\hat {r}}\,}$(بين النقاط الخضراء في الشكل 2) ومن المعادلة (12) من مقالة نموذج الجهد الجيوديسي ، نحصل بالتالي على

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)}$

12

ثانياً، إسقاط اتجاه الشمال،${\displaystyle {\hat {n}}\,}$، على المستوى الذي يمتد بواسطة${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$يكون

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

وهذا الإسقاط هو

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

أين${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$هو متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$متعامد مع الاتجاه الشعاعي نحو الشمال الموضح في الشكل 1.

من المعادلة ( 11 ) نرى أن

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

وبالتالي:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u}$

13

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i}$

14

يُبين المقال " تحليل اضطراب المدار (المركبات الفضائية)" كذلك أن الاضطراب العلماني للقطب المداري${\displaystyle {\hat {z}}\,}$يكون

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

15

تقديم التعبير عن${\displaystyle F_{z}\,}$من ( 14 ) في ( 15 ) نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

16

الكسر${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$يكون

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

أين

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

هي مكونات متجه الانحراف المركزي في${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$نظام الإحداثيات.

كما هو الحال مع جميع التكاملات من النوع

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

تساوي صفرًا إن لم يكن كلاهما${\displaystyle n\,}$و${\displaystyle m\,}$إذا كانت متساوية، نرى أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

17

و

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

18

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}$

19

أين

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$و${\displaystyle {\hat {h}}\,}$هي متجهات الأساس لنظام الإحداثيات المستطيلة في مستوى مدار كبلر المرجعي مع${\displaystyle {\hat {g}}\,}$في المستوى الاستوائي باتجاه العقدة الصاعدة و${\displaystyle u\,}$هل الحجة القطبية نسبية لنظام الإحداثيات الاستوائي هذا؟

${\displaystyle f_{z}\,}$هي مركبة القوة (لكل وحدة كتلة) في اتجاه قطب المدار${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

في مقال تحليل اضطراب المدار (المركبات الفضائية)، يُبين أن الاضطراب العلماني لمتجه الانحراف المركزي هو

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du}$

20

أين

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$هو نظام الإحداثيات المحلي المعتاد ذو متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {r}}\,}$موجهة بعيدًا عن الأرض
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$- مركبة السرعة في الاتجاه${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$- مركبة السرعة في الاتجاه${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

تقديم التعبير عن${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$بدمج ( 12 ) و( 13 ) في ( 20 ) نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}}$

21

باستخدام ذلك

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

يمكن تقسيم التكامل أعلاه إلى 8 حدود:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}}$

22

بشرط

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

نحصل على

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

وأن جميع التكاملات من النوع

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

تساوي صفرًا إن لم يكن كلاهما${\displaystyle n\,}$و${\displaystyle m\,}$متساوون:

الفصل الدراسي الأول

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

23

الفصل الدراسي الثاني

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

24

الفصل الدراسي الثالث

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

25

الفصل الدراسي الرابع

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

26

الفصل الدراسي الخامس

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

27

الفصل الدراسي السادس

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

28

الفصل الدراسي السابع

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

29

الفصل الدراسي الثامن

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

30

مثل