الاضطراب (علم الفلك)

ربما تكون صيغة كويل (التي سُميت نسبةً إلى فيليب هـ. كويل ، الذي استخدم مع إيه سي دي كروميلين طريقةً مماثلةً للتنبؤ بعودة مذنب هالي) أبسط طرق الاضطراب الخاصة. ^{[ 9 ]} في نظام من${\displaystyle \ n\ }$بالنسبة للأجسام المتفاعلة فيما بينها، تحل هذه الطريقة رياضياً القوى النيوتونية المؤثرة على الجسم${\displaystyle \ i\ }$عن طريق جمع التفاعلات الفردية من الآخر${\displaystyle j}$الأجسام:

$// _{ط}\|^{3}}}}$

أين${\displaystyle \ \mathbf {\ddot {r}} _{i}\ }$هو متجه تسارع الجسم${\displaystyle i}$،${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ،${\displaystyle \ m_{j}\ }$كتلة الجسم​${\displaystyle j}$،${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$و${\displaystyle \ \mathbf {r} _{j}\ }$هي متجهات موضع الكائنات${\displaystyle \ i\ }$و${\displaystyle \ j\ }$على التوالي، و${\displaystyle \ r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\ }$هي المسافة من الجسم${\displaystyle i}$للاعتراض${\displaystyle \ j\ }$تُنسب جميع المتجهات إلى مركز ثقل النظام. تُحلل هذه المعادلة إلى مركباتها في${\displaystyle \ x\ ,}$${\displaystyle \ y\ ,}$و${\displaystyle \ z\ ,}$وتُدمج هذه القيم عدديًا لتكوين متجهات السرعة والموقع الجديدة. وتُكرر هذه العملية حسب الحاجة. تتميز طريقة كويل بسهولة تطبيقها وبرمجتها. أما عيبها، فهو أنه عندما تصبح الاضطرابات كبيرة (كما هو الحال عند اقتراب جسم من آخر)، تزداد أخطاء الطريقة أيضًا. ^{[ 10 ]} مع ذلك، لا يحدث هذا في كثير من مسائل الميكانيكا السماوية . ومن عيوبها الأخرى أنه في الأنظمة التي تحتوي على جسم مركزي مهيمن، كالشمس ، يلزم استخدام أرقام معنوية كثيرة في العمليات الحسابية نظرًا للاختلاف الكبير في قوى الجسم المركزي والأجسام المؤثرة، مع أن الأرقام عالية الدقة المدمجة في الحواسيب الحديثة لم تعد تشكل عائقًا كبيرًا كما كانت في السابق. ^{[ 11 ]}

تبدأ طريقة إنكي بالمدار المماس كمرجع، ثم تُجري تكاملاً عددياً لحساب التغير عن هذا المرجع كدالة للزمن. ^{[ 12 ]} من مزاياها أن الاضطرابات تكون صغيرة عموماً، مما يسمح بإجراء التكامل بخطوات أكبر (مما يقلل الأخطاء)، كما أنها أقل تأثراً بالاضطرابات الشديدة. أما عيبها فهو التعقيد؛ إذ لا يمكن استخدامها بشكل دائم دون تحديث المدار المماس من حين لآخر، ثم المتابعة من هناك، وهي عملية تُعرف بالتصحيح . ^{[ 10 ]} تشبه طريقة إنكي طريقة الاضطراب العامة لتغير العناصر، إلا أن التصحيح يُجرى على فترات منفصلة بدلاً من أن يكون مستمراً. ^{[ 13 ]}

تأجير${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ليكن متجه نصف قطر المدار المماس ،${\displaystyle \mathbf {r} }$متجه نصف قطر المدار المضطرب، و${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$الاختلاف عن المدار الملامس،

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}}$ومعادلة حركة​${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$هو ببساطة

1

${\displaystyle \delta {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {\ddot {r}} -{\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$.

2

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$هي مجرد معادلات حركة${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {a} _{\text{per}}-{\mu \over r^{3}}\mathbf {r} }$بالنسبة للمدار المضطرب و

3

${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}=-{\mu \over \rho ^{3}}{\boldsymbol {\rho }}}$بالنسبة للمدار غير المضطرب،

4

أين${\displaystyle \mu =G(M+m)}$هو معامل الجاذبية مع${\displaystyle M}$و${\displaystyle m}$كتل الجسم المركزي والجسم المضطرب ،${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$هو التسارع المُؤثِّر ، و${\displaystyle r}$و${\displaystyle \rho }$هي مقادير${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$.

بالتعويض من المعادلتين ( 3 ) و( 4 ) في المعادلة ( 2 )،

${\displaystyle \delta {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} _{\text{per}}+\mu \left({{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}\right),}$

5

والذي، نظرياً، يمكن دمجه مرتين لإيجاد${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$بما أن حساب المدار الملامس يتم بسهولة باستخدام طرق الجسمين،${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$و${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$يتم احتسابها و${\displaystyle \mathbf {r} }$يمكن حلها. عمليًا، الكمية بين القوسين،${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$، هو الفرق بين متجهين متساويين تقريبًا، ويلزم إجراء مزيد من المعالجة لتجنب الحاجة إلى أرقام معنوية إضافية . ^{[ 14 ] [ 15 ]} كانت طريقة إنكي أكثر استخدامًا قبل ظهور الحواسيب الحديثة ، عندما كان يتم إجراء الكثير من حسابات المدار على آلات حاسبة ميكانيكية .