متجه الوحدة

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، متجه الوحدة في فضاء متجهي معياري هو متجه (غالبًا متجه مكاني ) طوله 1. ويُرمز لمتجه الوحدة عادةً بحرف صغير متبوع بعلامة التشكيل (^)، كما فيv^{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}(تُنطق "في-هات"). يُستخدم مصطلح المتجه المعياري أحيانًا كمرادف لمتجه الوحدة .

المتجه المعياري û لمتجه غير صفري u هو متجه الوحدة في اتجاه u ، أي

u^=u‖u‖=(u1‖u‖،u2‖u‖،...،uن‖u‖){\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}=\left({\frac {u_{1}}{\|\mathbf {u} \|}},{\frac {u_{2}}{\|\mathbf {u} \|}},...,{\frac {u_{n}}{\|\mathbf {u} \|}}\right)}

حيث ‖ u ‖ هو معيار (أو طول) u وu=(u1،u2،...،uن){\textstyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})}[ 1 ] [ 2 ]​

والدليل هو التالي:‖u^‖=u1u12+...+uن22+...+uنu12+...+uن22=u12+...+uن2u12+...+uن2=1=1{\textstyle \|\mathbf {\hat {u}} \|={\sqrt {{\frac {u_{1}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}+...+{\frac {u_{n}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}}}={\sqrt {\frac {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}{u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}={\sqrt {1}}=1}

يُستخدم متجه الوحدة غالبًا لتمثيل الاتجاهات ، مثل الاتجاهات العمودية . تُختار متجهات الوحدة عادةً لتشكيل أساس فضاء متجهي، ويمكن كتابة كل متجه في هذا الفضاء على شكل تركيبة خطية من متجهات الوحدة.

الإحداثيات المتعامدة

الإحداثيات الديكارتية

يمكن استخدام متجهات الوحدة لتمثيل محاور نظام الإحداثيات الديكارتية . على سبيل المثال، متجهات الوحدة القياسية في اتجاه المحاور x و y و z لنظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد هي

x^=[100]،y^=[010]،z^=[001]{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}

تشكل هذه المتجهات مجموعة من متجهات الوحدة المتعامدة المتبادلة ، والتي يشار إليها عادةً باسم الأساس القياسي في الجبر الخطي .

غالباً ما يتم تمثيلها باستخدام ترميز المتجهات الشائع (مثل x أوx→{\displaystyle {\vec {x}}}بدلاً من استخدام ترميز متجه الوحدة القياسي (مثل x̂ ). في معظم السياقات، يمكن افتراض أن x و y و z (أوx→،{\displaystyle {\vec {x}},}y→،{\displaystyle {\vec {y}},}وz→{\displaystyle {\vec {z}}}) هي متجهات لنظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد . تُستخدم أيضًا الرموز ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ), أو ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), مع أو بدون علامة القبعة ، [ 1 ] خاصة في السياقات التي قد يؤدي فيها i , j , k إلى الخلط مع كمية أخرى (على سبيل المثال مع رموز الفهرسة مثل i , j , k ، والتي تُستخدم لتحديد عنصر من مجموعة أو مصفوفة أو سلسلة من المتغيرات).

عندما يُعبَّر عن متجه وحدة في الفضاء بالترميز الديكارتي كتركيبة خطية من x و y و z ، يُمكن الإشارة إلى مركباته العددية الثلاث باسم جيوب تمام الاتجاه . قيمة كل مركبة تساوي جيب تمام الزاوية التي يُشكّلها متجه الوحدة مع متجه الأساس المُناسب. هذه إحدى الطرق المُستخدمة لوصف اتجاه (موضع زاوي) خط مستقيم، أو قطعة مستقيمة، أو محور مُوجَّه، أو قطعة من محور مُوجَّه ( متجه ).

الإحداثيات الأسطوانية

المتجهات الوحدوية المتعامدة الثلاثة المناسبة للتناظر الأسطواني هي:

  • ρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}(يُشار إليه أيضًا باسمهـ^{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }أوs^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}), يمثل الاتجاه الذي يتم قياس المسافة بين النقطة ومحور التناظر على طوله؛
  • φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}، مما يمثل اتجاه الحركة التي يمكن ملاحظتها إذا كانت النقطة تدور عكس اتجاه عقارب الساعة حول محور التناظر ؛
  • z^{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }، مما يمثل اتجاه محور التناظر؛

وهي مرتبطة بالأساس الديكارتيx^{\displaystyle {\hat {x}}}،y^{\displaystyle {\hat {y}}}،z^{\displaystyle {\hat {z}}}بواسطة:

ρ^=كوس⁡(φ)x^+الخطيئة⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
φ^=-الخطيئة⁡(φ)x^+كوس⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
z^=z^.{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}

المتجهاتρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}وφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}هي وظائفφ،{\displaystyle \varphi ,}وهي ليست ثابتة الاتجاه. عند التفاضل أو التكامل في الإحداثيات الأسطوانية، يجب أيضًا إجراء عمليات على متجهات الوحدة هذه نفسها. المشتقات بالنسبة إلىφ{\displaystyle \varphi }نكون:

∂ρ^∂φ=-الخطيئة⁡φx^+كوس⁡φy^=φ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂φ^∂φ=-كوس⁡φx^-الخطيئة⁡φy^=-ρ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}
∂z^∂φ=0.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}

الإحداثيات الكروية

متجهات الوحدة المناسبة للتناظر الكروي هي:ر^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }، الاتجاه الذي تزداد فيه المسافة الشعاعية من نقطة الأصل؛φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}، وهو الاتجاه الذي تتزايد فيه الزاوية في المستوى س - ص عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور س الموجب ؛ وθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}، وهو الاتجاه الذي تتزايد فيه الزاوية من المحور z الموجب . ولتقليل تكرار التمثيلات، الزاوية القطبيةθ{\displaystyle \theta }تُعتبر الزاوية عادةً ما تقع بين الصفر و180 درجة. ومن المهم بشكل خاص ملاحظة سياق أي ثلاثية مرتبة مكتوبة بالإحداثيات الكروية ، حيث أن أدوارφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}وθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}غالباً ما يتم عكسها. هنا، يتم استخدام الاصطلاح "الفيزيائي" الأمريكي [ 3 ] . وهذا يترك الزاوية السمتيةφ{\displaystyle \varphi }تُعرَّف بنفس الطريقة كما في الإحداثيات الأسطوانية. العلاقات الديكارتية هي:

ر^=الخطيئة⁡θكوس⁡φx^+الخطيئة⁡θالخطيئة⁡φy^+كوس⁡θz^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
θ^=كوس⁡θكوس⁡φx^+كوس⁡θالخطيئة⁡φy^-الخطيئة⁡θz^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }
φ^=-الخطيئة⁡φx^+كوس⁡φy^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }

تعتمد متجهات الوحدة الكروية على كليهماφ{\displaystyle \varphi }وθ{\displaystyle \theta }وبالتالي، توجد خمس مشتقات غير صفرية محتملة. لمزيد من التفاصيل، انظر مصفوفة جاكوبي والمحدد . المشتقات غير الصفرية هي:

∂ر^∂φ=-الخطيئة⁡θالخطيئة⁡φx^+الخطيئة⁡θكوس⁡φy^=الخطيئة⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂ر^∂θ=كوس⁡θكوس⁡φx^+كوس⁡θالخطيئة⁡φy^-الخطيئة⁡θz^=θ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
∂θ^∂φ=-كوس⁡θالخطيئة⁡φx^+كوس⁡θكوس⁡φy^=كوس⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂θ^∂θ=-الخطيئة⁡θكوس⁡φx^-الخطيئة⁡θالخطيئة⁡φy^-كوس⁡θz^=-ر^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }
∂φ^∂φ=-كوس⁡φx^-الخطيئة⁡φy^=-الخطيئة⁡θر^-كوس⁡θθ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

متجهات الوحدة العامة

تظهر سمات مشتركة لمتجهات الوحدة في جميع أنحاء الفيزياء والهندسة : [ 4 ]

متجه الوحدةالتسميةرسم بياني
متجه مماس لمنحنى/خط تدفقت^{\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }"200 بكسل""200 بكسل"

متجه عمودين^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }إلى المستوى الذي يحتوي على متجه الموضع القطري والمحدد بهرر^{\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} }والاتجاه الزاوي المماسي للدورانθθ^{\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}من الضروري أن تكون المعادلات المتجهة للحركة الزاوية صحيحة.

العمودي على مستوى مماس للسطح/مستوى يحتوي على مركبة موضع شعاعية ومركبة مماسية زاويةن^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }

من حيث الإحداثيات القطبية ؛ ن^=ر^×θ^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

متجه ثنائي العمودي إلى المماس والعموديب^=ت^×ن^{\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} }[ 5 ]
موازٍ لمحور/خط ماهـ^∥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}"200 بكسل"

متجه وحدة واحدهـ^∥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }}محاذٍ لاتجاه رئيسي (الخط الأحمر)، ومتجه وحدة عمودي عليههـ^⊥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}يكون في أي اتجاه شعاعي بالنسبة للخط الرئيسي.

عمودي على محور/خط ما في اتجاه شعاعي ماهـ^⊥{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}
انحراف زاوي محتمل بالنسبة لمحور/خط ماهـ^∠{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }}"200 بكسل"

متجه الوحدة عند زاوية الانحراف الحادة φ (بما في ذلك 0 أو π /2 راديان) بالنسبة إلى الاتجاه الرئيسي.

الإحداثيات المنحنية

بشكل عام، يمكن تحديد نظام الإحداثيات بشكل فريد باستخدام عدد من متجهات الوحدة المستقلة خطيًاهـ^ن{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}[ 1 ] (حيث يساوي العدد الفعلي درجات حرية الفضاء). بالنسبة للفضاء الثلاثي الأبعاد العادي، يمكن الإشارة إلى هذه المتجهات بـهـ^1،هـ^2،هـ^3{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}من الملائم دائمًا تقريبًا تعريف النظام بأنه متعامد ويميني :

هـ^أنا⋅هـ^ج=دلتاأناج{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}
هـ^أنا⋅(هـ^ج×هـ^ك)=εأناجك{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}

أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}هي دالة كرونكر دلتا (التي تساوي 1 عندما i = j ، و0 فيما عدا ذلك) و εأناجك{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}هو رمز ليفي-سيفيتا (وهو 1 للتباديل المرتبة كـ ijk ، و -1 للتباديل المرتبة كـ kji ).

الوجه الأيمن

متجه وحدة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}أطلق عليه دبليو آر هاميلتون لقب " الموجه الأيمن" عندما طور الرباعيات الخاصة بهح⊂R4{\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}في الواقع، كان هو مبتكر مصطلح المتجه ، كما هو الحال مع كل رباعيq=s+v{\displaystyle q=s+v}يتكون من جزء قياسي s وجزء متجه v . إذا كان v متجه وحدة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}إذن، مربع v في الأعداد الرباعية يساوي -1. وبالتالي، وفقًا لصيغة أويلر ،خبرة⁡(θv)=كوس⁡θ+vالخطيئة⁡θ{\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }هو متجه متجهي في الكرة ثلاثية الأبعاد . عندما تكون θ زاوية قائمة ، يكون المتجه متجهًا متجهيًا يمينيًا: الجزء القياسي منه يساوي صفرًا، وجزءه المتجهي v هو متجه وحدة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

وهكذا، فإن المتجهات اليمنى توسع مفهوم الوحدات التخيلية الموجودة في المستوى المركب ، حيث تمتد المتجهات اليمنى الآن على الكرة ثنائية الأبعاد.S2⊂R3⊂ح{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} }بدلاً من الزوج { i , − i } في المستوى المركب.

وبالتالي، فإن الكواترنيون الأيمن هو مضاعف حقيقي للمتجه الأيمن.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "متجه الوحدة" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 19 أغسطس 2020 .
  2. ↑ "متجهات الوحدة" . موسوعة الرياضيات والعلوم الرائعة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2020 .
  3. ↑ تيفيان دراي وكورين أ. مانوغ، الإحداثيات الكروية، مجلة الرياضيات الجامعية 34، 168-169 (2003).
  4. ↑ ف. آيرز؛ إ. مندلسون (2009). حساب التفاضل والتكامل (سلسلة شوم) ( الطبعة الخامسة). ماكجرو هيل. ISBN  978-0-07-150861-2.
  5. ↑ إم آر شبيغل؛ إس. ليبشوتز؛ دي. سبلمان (2009). تحليل المتجهات (سلسلة شوم) (الطبعة الثانية ). ماكجرو هيل. ISBN  978-0-07-161545-7.

مراجع

  • جي بي أرفكن وإتش جيه ويبر (2000). الأساليب الرياضية للفيزيائيين (  الطبعة الخامسة). دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-059825-6.
  • شبيغل، موراي ر. (1998). ملخصات شوم: دليل رياضي للصيغ والجداول (  الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-038203-4.
  • غريفيث، ديفيد ج. (1998). مقدمة في الديناميكا الكهربائية (  الطبعة الثالثة). برنتيس هول. ISBN 0-13-805326-X.