التبادر

التبادر هو تغير في اتجاه  محور دوران جسم دوار . في إطار مرجعي  مناسب، يُمكن تعريفه بأنه تغير في زاوية أويلر الأولى، بينما تُحدد زاوية أويلر الثالثة الدوران نفسه . بعبارة أخرى، إذا كان محور دوران جسم ما يدور حول محور ثانٍ، يُقال إن هذا الجسم يتبادر حول المحور الثاني . تُسمى الحركة التي تتغير فيها زاوية أويلر الثانية بالترنح . في الفيزياء ، يوجد نوعان من التبادر: التبادر الحر والتبادر الناتج عن عزم الدوران .     

في علم الفلك، يشير مصطلح التبادر إلى أي من التغيرات البطيئة العديدة في  معايير دوران أو مدار جرم سماوي. ومن الأمثلة المهمة على ذلك التغير المستمر في اتجاه محور دوران  الأرض ، والمعروف بتبادر  الاعتدالين .

تعني الحركة التلقائية الخالية من العزم عدم وجود عزم خارجي ( عزم دوران ) يؤثر على الجسم. في هذه الحركة ، يكون الزخم الزاوي ثابتًا، بينما يتغير اتجاه متجه السرعة الزاوية مع الزمن. ويعود ذلك إلى عزم القصور الذاتي المتغير مع الزمن ، أو بتعبير أدق، مصفوفة القصور الذاتي المتغيرة مع الزمن . تتكون مصفوفة القصور الذاتي من عزوم القصور الذاتي للجسم، محسوبة بالنسبة لمحاور الإحداثيات المختلفة (مثل x و y و z ). إذا كان الجسم غير متناظر حول محور دورانه الرئيسي، فإن عزم القصور الذاتي بالنسبة لكل اتجاه من اتجاهات الإحداثيات سيتغير مع الزمن، مع الحفاظ على الزخم الزاوي. ونتيجة لذلك، فإن مركبة السرعة الزاوية للجسم حول كل محور تتناسب عكسيًا مع عزم القصور الذاتي لهذا المحور.       

يمكن حساب معدل التبادر الخالي من العزم لجسم له محور تناظر، مثل القرص، يدور حول محور غير متوافق مع محور  التناظر هذا على النحو التالي: ^{[ 1 ]}$$$$ {\alpha }})}}}$$ حيث ωp هو معدل التبادر، _{و ωs} هو معدل الدوران حول محور التناظر، و _Is هو عزم القصور الذاتي حول محور التناظر، و _IP هو عزم القصور الذاتي حول أي من المحورين الرئيسيين المتعامدين الآخرين المتساويين، و α هي الزاوية بين اتجاه عزم القصور الذاتي ومحور التناظر. ^{[ 2 ]}

عندما لا يكون الجسم صلبًا تمامًا ، فإن التبديد غير المرن سيميل إلى تخميد التبادر الخالي من عزم الدوران ، ^{[ 3 ]} وسيقوم محور الدوران بمحاذاة نفسه مع أحد محاور القصور الذاتي للجسم.

بالنسبة لجسم صلب عام بدون أي محور تناظر، يمكن محاكاة تطور اتجاه الجسم، المُمثَّل (على سبيل المثال) بمصفوفة دوران R التي تُحوِّل الإحداثيات الداخلية إلى _{الخارجية} ، عدديًا. وبافتراض ثبات موتر عزم القصور الذاتي الداخلي للجسم I₀ وثبات الزخم الزاوي الخارجي L ، فإن السرعة الزاوية اللحظية هي $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}}$$ يحدث التبادر عن طريق إعادة حساب ω بشكل متكرر وتطبيق متجه دوران صغير ω dt لفترة زمنية قصيرة dt ؛ على سبيل المثال: $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}}$$ بالنسبة للمصفوفة المتناظرة المائلة [ ω ] _× . تميل الأخطاء الناتجة عن خطوات زمنية محدودة إلى زيادة الطاقة الحركية الدورانية: $${\displaystyle E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}}$$ يمكن مواجهة هذا الميل غير الفيزيائي من خلال تطبيق متجه دوران صغير v بشكل متكرر ، عمودي على كل من ω و L ، مع ملاحظة أن $${\displaystyle E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}}$$

التبادر الناتج عن عزم الدوران ( التبادر الجيروسكوبي ) هو ظاهرة يتحرك فيها محور جسم دوار (مثل الجيروسكوب ) على شكل مخروط في الفضاء عند تطبيق عزم دوران خارجي عليه. تُشاهد هذه الظاهرة عادةً في لعبة البلبل الدوارة ، ولكن جميع الأجسام الدوارة قابلة للتبادر. إذا كانت سرعة الدوران ومقدار عزم الدوران الخارجي ثابتين، فإن محور الدوران سيتحرك بزاوية قائمة على الاتجاه المتوقع من عزم الدوران الخارجي. في حالة لعبة البلبل، يؤثر وزنها لأسفل من مركز  كتلتها ، بينما تدفعها قوة رد  فعل الأرض لأعلى عند نقطة التلامس مع الدعامة. تُنتج هاتان القوتان المتعاكستان عزم دوران يتسبب في تبادر البلبل.

الجهاز الموضح على اليمين مثبت على محور دوار . من الداخل إلى الخارج، توجد ثلاثة محاور دوران: محور العجلة، ومحور الدوران، والمحور الرأسي.

لتمييز المحورين الأفقيين، يُطلق على الدوران حول محور العجلة اسم الدوران ، وعلى الدوران حول محور الجيمبال اسم الميلان . أما الدوران حول محور الارتكاز الرأسي فيُطلق عليه اسم الدوران .

أولًا، تخيل أن الجهاز بأكمله يدور حول محور الارتكاز (الرأسي). ثم، أضف دوران العجلة (حول محور العجلة). تخيل أن محور الدوران مُقفل، بحيث لا يمكن للعجلة أن تميل. يحتوي محور الدوران على مستشعرات تقيس ما إذا كان هناك عزم دوران حوله.

في الصورة، سُمّي جزء من العجلة dm _1. في اللحظة الموضحة، يقع الجزء dm ₁ على محيط الحركة الدورانية حول محور الارتكاز (الرأسي). ولذلك، يتمتع الجزء dm ₁ بسرعة دوران زاوية عالية بالنسبة للدوران حول محور الارتكاز، وبما أن dm ₁ يُجبر على الاقتراب من محور الارتكاز (بسبب دوران العجلة بشكل أكبر)، نتيجة لتأثير كوريوليس ، فإنه يميل، بالنسبة لمحور الارتكاز الرأسي، _إلى التحرك في اتجاه السهم العلوي الأيسر في الرسم التخطيطي (الموضح بزاوية 45 درجة) في اتجاه الدوران حول محور الارتكاز. ^{[ 4 ]} يتحرك الجزء dm _{2 من العجلة بعيدًا عن محور الارتكاز، وبالتالي تؤثر} عليه قوة (قوة كوريوليس أيضًا) في نفس اتجاه dm _1. لاحظ أن كلا السهمين يشيران إلى نفس الاتجاه.

ينطبق المنطق نفسه على النصف السفلي من العجلة، ولكن هناك تشير الأسهم في الاتجاه المعاكس لاتجاه الأسهم العلوية. وبالنظر إلى العجلة بأكملها، يتولد عزم دوران حول محور الدوران عند إضافة بعض الدوران إلى الدوران حول محور رأسي.

ينشأ عزم الدوران حول محور الجيمبال دون أي تأخير؛ والاستجابة فورية.

في المناقشة السابقة، تم الحفاظ على الإعداد ثابتًا بمنع الدوران حول محور الدوران. في حالة لعبة البلبل الدوارة، عندما يبدأ البلبل بالميلان، تُؤثر الجاذبية بعزم دوران. ولكن بدلًا من أن يتدحرج، يميل البلبل قليلًا. تُعيد حركة الميلان هذه توجيه البلبل بالنسبة لعزم الدوران المُؤثر. والنتيجة هي أن عزم الدوران الناتج عن الجاذبية - عبر حركة الميلان - يُحدث ترنحًا جيروسكوبيًا (والذي بدوره يُنتج عزم دوران معاكس لعزم الجاذبية) بدلًا من أن يتسبب في سقوط البلبل على جانبه.  

تؤثر اعتبارات التبادر أو الدوران على أداء الدراجة عند السرعات العالية. كما أن التبادر هو الآلية التي تعمل بها البوصلات الدورانية .

الكلاسيكية (النيوتونية)

التبادر هو تغير السرعة الزاوية والزخم الزاوي الناتج عن عزم الدوران. المعادلة العامة التي تربط عزم الدوران بمعدل تغير الزخم الزاوي هي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$و${\displaystyle \mathbf {L} }$يمثلان متجهي عزم الدوران والزخم الزاوي على التوالي.

بسبب طريقة تعريف متجهات العزم، فإنها متجه عمودي على مستوى القوى المؤثرة عليها. وبالتالي، يمكن ملاحظة أن متجه الزخم الزاوي يتغير عموديًا على تلك القوى. وبحسب كيفية نشوء هذه القوى، فإنها غالبًا ما تدور مع متجه الزخم الزاوي، مما يؤدي إلى حدوث حركة ترنح دائرية.

في ظل هذه الظروف، تُعطى السرعة الزاوية للترنح بالصيغة التالية: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}$

حيث I _{_s} هو عزم القصور الذاتي ، وω_{_s} هي السرعة الزاوية للدوران حول محور الدوران، و m هي الكتلة، وg هي تسارع الجاذبية الأرضية، وθ هي الزاوية بين محور الدوران ومحور التبادر، و r هي المسافة بين مركز الكتلة ونقطة الارتكاز. ينشأ متجه العزم من مركز الكتلة. باستخدام ω = 2π / T ، نجد أن دورة التبادر تُعطى بالعلاقة التالية : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}$$

حيث يمثل I _s عزم القصور الذاتي ، وT _s دورة الدوران حول محور الدوران، و τ عزم الدوران . ومع ذلك، فإن المسألة أكثر تعقيدًا من ذلك بشكل عام.

في علم الفلك، يشير مصطلح "الترنح" إلى أي من التغيرات البطيئة والمستمرة التي تحدث بفعل الجاذبية في محور دوران جرم سماوي أو مساره المداري. ويُعدّ ترنح  الاعتدالين، وترنح الحضيض، وتغير ميل  محور الأرض بالنسبة لمدارها، وانحراف مدارها على مدى عشرات  آلاف السنين، جميعها عناصر مهمة في النظرية الفلكية للعصور الجليدية  .

التبادر المحوري (تبادر الاعتدالين)

التبادر المحوري هو حركة محور دوران جرم سماوي، حيث يرسم المحور ببطء شكل مخروط. في حالة الأرض، يُعرف هذا النوع من التبادر أيضًا بتبادر الاعتدالين  ، أو التبادر القمري الشمسي ، أو تبادر  خط الاستواء . تمر الأرض بدورة تبادر كاملة واحدة خلال فترة تقارب 26000  سنة، أو درجة واحدة كل 72  سنة، تتغير خلالها مواقع النجوم ببطء في كل من الإحداثيات الاستوائية وخط الطول الظاهري . خلال هذه الدورة، يتحرك القطب المحوري الشمالي للأرض من موقعه الحالي، ضمن درجة واحدة من نجم القطب الشمالي ، في دائرة حول القطب الظاهري  ، بنصف قطر زاوي يبلغ حوالي  23.5 درجة.

يُعتبر الفلكي اليوناني القديم هيبارخوس (حوالي 190-120 قبل الميلاد) عمومًا أول فلكي معروف لاحظ وقدر ترنح الاعتدالين بنحو درجة واحدة في القرن (وهي قيمة قريبة من القيمة الفعلية في العصور القديمة، 1.38 درجة)، [7] على الرغم من وجود بعض الجدل البسيط حول صحة ذلك. [8] في الصين القديمة، توصل العالم والمسؤول يو شي ( 307-345 ميلادي ) من ^{أسرة جين إلى} اكتشاف ^{مماثل بعد قرون} ، حيث لاحظ أن موقع الشمس خلال الانقلاب الشتوي قد انحرف بمقدار درجة واحدة تقريبًا على مدار خمسين عامًا بالنسبة لموقع النجوم. ^{[ 9 ]} وقد فُسِّر ترنح محور الأرض لاحقًا بواسطة الفيزياء النيوتونية . ولأن الأرض كروية مفلطحة ، فهي ذات شكل غير كروي ، إذ تبرز للخارج عند خط الاستواء. تُطبّق قوى المد والجزر الناتجة عن جاذبية القمر والشمس عزم دوران على خط الاستواء، محاولةً سحب انتفاخ خط الاستواء إلى مستوى مسار الشمس الظاهري ، لكنها تتسبب بدلاً من ذلك في ترنّحه. كما يلعب عزم الدوران الذي تُمارسه الكواكب، وخاصة كوكب المشتري ، دورًا في ذلك . ^{[ 10 ]}      

حركة ترنح المحور (يسارًا)، وترنح الاعتدالين بالنسبة للنجوم البعيدة (وسطًا)، ومسار القطب السماوي الشمالي بين النجوم نتيجةً للترنح. النجم فيغا هو النجم الساطع القريب من الأسفل (يمينًا).

التقدم الأذيني

لا تتبع مدارات الكواكب حول الشمس شكلاً بيضاوياً متطابقاً في كل مرة، بل ترسم في الواقع شكل بتلة زهرة، وذلك لأن المحور الرئيسي لمدار كل كوكب البيضاوي يتقدم أيضاً ضمن مستوى مداره، جزئياً استجابةً للاضطرابات الناتجة عن تغير قوى الجاذبية التي تمارسها الكواكب الأخرى. يُطلق على هذه الظاهرة اسم تقدم الحضيض أو تقدم الأوج .

في الصورة المرفقة، يظهر ترنح مدار الأرض حول الشمس. فبينما تدور الأرض حول الشمس، يدور مدارها الإهليلجي تدريجيًا مع مرور الوقت. وقد تم تضخيم انحراف مدارها ومعدل ترنحه لتسهيل التصور. تتميز معظم مدارات الكواكب في النظام الشمسي بانحراف أقل بكثير وترنح أبطأ بكثير، مما يجعلها شبه دائرية وشبه ثابتة.

كانت التباينات بين معدل ترنح الحضيض المرصود لكوكب عطارد والمعدل المتوقع وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية من أبرز الأدلة التجريبية التي أدت إلى قبول نظرية النسبية لأينشتاين (وخاصةً نظريته النسبية العامة )، والتي تنبأت بدقة بهذه الظواهر الشاذة. ^{[ 11 ] [ 12 ]} وبخلاف قانون نيوتن، تتنبأ نظرية أينشتاين للجاذبية بحد إضافي مقداره A / r⁴ ، ^والذي يعطي بدقة معدل الدوران الزائد المرصود .43 ثانية قوسية  لكل  قرن.

• ترنح لارمور – حركة محور العزم المغناطيسي لجسم ما حول مجال مغناطيسي 
• التذبذب – اهتزاز محور الدوران 
• الحركة القطبية – حركة محور دوران الأرض بالنسبة لقشرتها 
• التبادر (الميكانيكي) - الإزاحة الميكانيكية لمحور 
• التبادر كشكل من أشكال النقل المتوازي - مرحلة من مراحل الدورة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 

• الوسائط المتعلقة بالترنح على ويكيميديا ​​كومنز
• شرح واشتقاق صيغة ترنح القمة
• التبادر ونظرية ميلانكوفيتش: من مراقبي النجوم إلى سفن الفضاء