مجموعات فرعية من المجموعات الدورية

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، كل زمرة جزئية من زمرة دورية هي زمرة دورية. علاوة على ذلك، بالنسبة لزمرة دورية منتهية من الرتبة n ، فإن رتبة كل زمرة جزئية هي قاسم للعدد n ، وتوجد زمرة جزئية واحدة فقط لكل قاسم. [ 1 ] [ 2 ] تُعرف هذه النتيجة باسم النظرية الأساسية للزمر الدورية . [ 3 ] [ 4 ]

المجموعات الدورية المنتهية

لكل مجموعة منتهية G من الرتبة n ، تكون العبارات التالية متكافئة:

  • G حلقي.
  • لكل قاسم d للعدد n ، فإن G تحتوي على مجموعة فرعية واحدة على الأكثر من الرتبة d .

إذا كان أيٌّ من الشرطين (وبالتالي كلاهما) صحيحًا، فإنه يترتب على ذلك وجود زمرة جزئية واحدة فقط من الرتبة d ، لأي قاسم للعدد n . تُعرف هذه العبارة بأسماء مختلفة مثل التوصيف بواسطة الزمر الجزئية . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] (انظر أيضًا الزمرة الدورية للاطلاع على بعض خصائص التوصيف).

توجد زمر منتهية أخرى غير الزمر الدورية تتميز بأن جميع زمرها الجزئية الفعلية دورية؛ وزمرة كلاين مثال على ذلك. مع ذلك، تحتوي زمرة كلاين على أكثر من زمرة جزئية واحدة من الرتبة 2، لذا فهي لا تستوفي شروط التوصيف.

المجموعة الدورية اللانهائية

الزمرة الدورية اللانهائية متماثلة مع الزمرة الجزئية الجمعية Z للأعداد الصحيحة. توجد زمرة جزئية واحدة d Z لكل عدد صحيح d (تتكون من مضاعفات d )، وباستثناء الزمرة التافهة (المولدة عندما d  =  0)، فإن كل زمرة جزئية من هذا النوع هي زمرة دورية لانهائية. ولأن الزمرة الدورية اللانهائية زمرة حرة على مولد واحد (بينما الزمرة التافهة زمرة حرة على لا مولدات)، يمكن اعتبار هذه النتيجة حالة خاصة من نظرية نيلسن-شراير التي تنص على أن كل زمرة جزئية من زمرة حرة هي زمرة حرة بحد ذاتها. [ 8 ]

يمكن إثبات النظرية الأساسية للمجموعات الدورية المنتهية من نفس النظرية للمجموعات الدورية غير المنتهية، وذلك بالنظر إلى كل مجموعة دورية منتهية على أنها مجموعة خارج قسمة للمجموعة الدورية غير المنتهية. [ 8 ]

شبكة من المجموعات الفرعية

في كلتا الحالتين، المحدودة وغير المحدودة، تكون شبكة الزمر الجزئية لزمرة دورية متماثلة مع ثنائية شبكة قابلية القسمة . في الحالة المحدودة، تكون شبكة الزمر الجزئية لزمرة دورية من الرتبة n متماثلة مع ثنائية شبكة قواسم n ، حيث توجد زمرة جزئية من الرتبة n / d لكل قاسم d . وتكون الزمرة الجزئية من الرتبة n / d زمرة جزئية من الزمرة الجزئية من الرتبة n / e إذا وفقط إذا كان e قاسمًا لـ d . ويمكن وصف شبكة الزمر الجزئية لزمرة دورية غير محدودة بنفس الطريقة، أي كثنائية لشبكة قابلية القسمة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة. إذا مُثّلت الزمرة الدورية غير المحدودة بالزمرة الجمعية على الأعداد الصحيحة، فإن الزمرة الجزئية المولدة بواسطة d تكون زمرة جزئية من الزمرة الجزئية المولدة بواسطة e إذا وفقط إذا كان e قاسمًا لـ d . [ 8 ]

شبكات قابلية القسمة هي شبكات توزيعية ، وبالتالي فإن شبكات الزمر الجزئية للزمر الدورية هي كذلك. وهذا يوفر توصيفًا بديلًا آخر للزمر الدورية المنتهية: فهي تحديدًا الزمر المنتهية التي تكون شبكات زمرها الجزئية توزيعية. وبشكل أعم، تكون الزمرة المولدة نهائيًا دورية إذا وفقط إذا كانت شبكة زمرها الجزئية توزيعية، وتكون أي زمرة دورية محليًا إذا وفقط إذا كانت شبكة زمرها الجزئية توزيعية. [ 9 ] تُقدم الزمرة الجمعية للأعداد النسبية مثالًا على زمرة دورية محليًا، ولها شبكة زمر جزئية توزيعية، ولكنها ليست دورية في حد ذاتها.

مراجع

  1. ↑ هول، مارشال (1976)، نظرية المجموعات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، النظرية 3.1.1، الصفحات 35-36، ISBN 9780821819678
  2. ↑ فينبرغ، إرنست بوريسوفيتش (2003)، دورة في الجبر ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 56، الجمعية الرياضية الأمريكية، النظرية 4.50، الصفحات 152-153، ISBN  9780821834138.
  3. ↑ جوزيف أ. غاليان (2010)، "النظرية الأساسية للمجموعات الدورية"، الجبر المجرد المعاصر ، سينجايج ليرنينج، ص 77، ISBN  9780547165097
  4. ↑ دبليو. كيث نيكلسون (1999)، "المجموعات الدورية ورتبة العنصر"، مقدمة في الجبر المجرد ، وايلي، النظرية 9. النظرية الأساسية للمجموعات الدورية المنتهية، ISBN 0471331090
  5. ↑ ستيفن رومان (2011). أساسيات نظرية الزمر: مدخل متقدم . سبرينغر. ص 44. ISBN  978-0-8176-8300-9.
  6. ↑ في كي بالاكريشنان (1994). موجز شوم في التوافقية . ماكجرو هيل بروف ميد/تك. ص 155. ISBN  978-0-07-003575-1.
  7. ↑ ماركوس ستروبل (2006). الزمر المدمجة محليًا . الجمعية الرياضية الأوروبية. ص 64. ISBN  978-3-03719-016-6.
  8. 1 2 3 ألوفي، باولو (2009)، "6.4 مثال: الزمر الجزئية للزمر الدورية"، الجبر، الفصل 0 ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد 104، الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 82-84 ، ISBN   9780821847817.
  9. ↑ أور، أويستين (1938)، "البنى ونظرية الزمر. الجزء الثاني"، مجلة ديوك الرياضية ، 4 (2): 247-269 ، doi : 10.1215/S0012-7094-38-00419-3 ، hdl : 10338.dmlcz/100155 ، MR 1546048 .