مجموعة القسمة

يترك${\displaystyle N}$أن تكون مجموعة فرعية طبيعية من مجموعة${\displaystyle G}$. مجموعة القسمة${\displaystyle G\,/\,N}$يُعرَّف بأنه مجموعة جميع المشاركات اليسرى لـ${\displaystyle N}$في​${\displaystyle G}$، أي​${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$[ ^{3 ]} مع تعريف عمليةالمجموعة على ^النحو التالي${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N\ \forall \ a,b\in G}$. يمكن إثبات أن هذه العملية تحقق جميع بديهيات المجموعة .

مثل${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$، المجموعات المشاركة اليسرى واليمنى لـ${\displaystyle N}$في${\displaystyle G}$هما متماثلان، وهكذا${\displaystyle G\,/\,N}$ويمكن تعريفها بشكل مكافئ على أنها مجموعة جميع المشاركات اليمنى لـ${\displaystyle N}$في​${\displaystyle G}$بما أن عنصر الهوية${\displaystyle e\in N}$،​​${\displaystyle a\in aN}$⁠ .

ولتجنب التناقض، يتطلب هذا التعريف أن${\displaystyle (ab)N}$هو نفسه عندما ${\displaystyle aN}$أو${\displaystyle bN}$يتم بناؤها باستخدام عناصر مختلفة من${\displaystyle G}$أي إذا${\displaystyle aN=xN}$و​​${\displaystyle bN=yN}$ثم​​${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$. يمكن إثبات صحة ذلك دائمًا عندما${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية كما يلي:${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.}$أين​${\displaystyle a,b,x,y\in G}$هذا البرهان صالح فقط للمجموعات الجزئية العادية، لأنه يستخدم الخاصية ⁠${\displaystyle yN=Ny}$⁠ .

هذا يدل على أن العملية محددة جيدًا عندما${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية. ومع ذلك، يتطلب التعريف أن${\displaystyle N}$أن تكون زمرة جزئية طبيعية. وذلك لأن عملية الزمرة تكون محددة جيدًا فقط للزمر الجزئية الطبيعية.

ولإثبات ذلك، افترض أولاً أن عملية المجموعة معرفة جيداً، أي أنه إذا${\displaystyle xN=aN}$و${\displaystyle yN=bN}$لأي​${\displaystyle x,y,a,b\in G}$ثم​​${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$⁠ .

والآن خذ أي${\displaystyle n\in N}$و​${\displaystyle g\in G}$باستخدام خاصية المجموعات المشاركة التي${\displaystyle nN=N=eN}$لدينا :​${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$⁠ .

استخدام${\displaystyle gN=(ng)N}$لدينا​${\displaystyle N=(g^{-1}ng)N}$وهكذا​​${\displaystyle g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N,g\in G}$، بمعنى أن${\displaystyle N}$يجب أن تكون مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$وبالتالي، فإن عملية المجموعة لا تكون محددة جيدًا إلا إذا${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية.

على سبيل المثال، لننظر إلى المجموعة التي يكون فيها الجمع بتردد 6 :${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$. لنعتبر المجموعة الجزئية${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$وهذا أمر طبيعي لأن${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة تبديلية ، فإن مجموعة المشاركات (اليسرى) تتكون من ثلاثة عناصر:

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}.}$

إن العملية الثنائية المحددة أعلاه تجعل هذه المجموعة مجموعة، تُعرف باسم مجموعة القسمة، والتي في هذه الحالة تكون متماثلة مع المجموعة الدورية من الرتبة 3.

لنفترض مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$(تحت الجمع) والمجموعة الفرعية${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$تتكون من جميع الأعداد الزوجية. هذه زمرة جزئية طبيعية، لأن${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة تبديلية . لا يوجد سوى مجموعتين مشاركتين: مجموعة الأعداد الزوجية ومجموعة الأعداد الفردية، وبالتالي فهي مجموعة القسمة.${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$هي المجموعة الدورية ذات العنصرين. هذه المجموعة الخارجة متماثلة مع المجموعة${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$مع الجمع بتردد  2؛ ويُقال أحيانًا بشكل غير رسمي أن${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$يساوي المجموعة${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$مع الجمع بتردد 2.

مثال موضح بشكل أكبر...

يترك${\displaystyle \gamma (m)}$تكون بقايا${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$عند القسمة على${\displaystyle 2}$ثم ،${\displaystyle \gamma (m)=0}$متى${\displaystyle m}$زوجي و${\displaystyle \gamma (m)=1}$متى${\displaystyle m}$هذا غريب.

بحسب تعريف ⁠${\displaystyle \gamma }$، نواة​${\displaystyle \gamma }$،​​${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z}$ :\gamma (m)=0\}} ⁠ , هي مجموعة جميع الأعداد الزوجية.

دع​${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ثم ،${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية، لأن الهوية في${\displaystyle \mathbb {Z} }$، وهو​${\displaystyle 0}$، موجود في${\displaystyle H}$مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي، وبالتالي إذا${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$هم في${\displaystyle H}$،​${\displaystyle m+n}$هو في${\displaystyle H}$(الإغلاق) وإذا${\displaystyle m}$زوجي،${\displaystyle -m}$وهو أيضاً زوجي، وهكذا${\displaystyle H}$يحتوي على معكوساته.

يُعرِّف${\displaystyle \mu$ :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}} as${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ل${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$هي زمرة القسمة للمشاركات اليسارية ؛${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$⁠ .

لاحظ أننا قد حددنا${\displaystyle \mu }$،​${\displaystyle \mu (aH)}$يكون${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle a}$غريب و${\displaystyle 0}$لو${\displaystyle a}$متساوٍ.

هكذا،${\displaystyle \mu }$هو تماثل من${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$إلى​${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$⁠ .

تعميم طفيف للمثال الأخير. لننظر مرة أخرى إلى مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$في عملية الجمع. ليكن${\displaystyle n}$ليكن أي عدد صحيح موجب. سنعتبر المجموعة الجزئية${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ل${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتكون من جميع مضاعفات ⁠${\displaystyle n}$مرة أخرى${\displaystyle n\mathbb {Z} }$أمر طبيعي في${\displaystyle \mathbb {Z} }$لأن${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة أبيلية. المجموعات المشاركة هي المجموعة ⁠${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$عدد صحيح${\displaystyle k}$ينتمي إلى المجموعة المشاركة${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$، حيث${\displaystyle r}$الباقي عند القسمة${\displaystyle k}$بواسطة​${\displaystyle n}$. ناتج القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$يمكن اعتبارها مجموعة "البواقي" modulo${\displaystyle n}$هذه مجموعة دورية من الرتبة${\displaystyle n}$⁠ .

تشكل الجذور الثانية عشرة للوحدة ، وهي نقاط على دائرة الوحدة المركبة ، زمرة أبيلية ضربية .${\displaystyle G}$، موضحة في الصورة على اليمين على شكل كرات ملونة، حيث يمثل الرقم الموجود عند كل نقطة وسيطها المركب. لننظر إلى مجموعتها الفرعية${\displaystyle N}$تتكون من الجذور الرابعة للوحدة، والممثلة بالكرات الحمراء. تقسم هذه المجموعة الجزئية الطبيعية المجموعة إلى ثلاث مجموعات مشاركة، ممثلة بالأحمر والأخضر والأزرق. يمكن التحقق من أن المجموعات المشاركة تُشكل مجموعة من ثلاثة عناصر (حاصل ضرب عنصر أحمر في عنصر أزرق هو عنصر أزرق، ومعكوس عنصر أزرق هو عنصر أخضر، وهكذا). وبالتالي، فإن مجموعة القسمة${\displaystyle G\,/\,N}$هي مجموعة الألوان الثلاثة، والتي تبين أنها المجموعة الدورية المكونة من ثلاثة عناصر.

لننظر إلى مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$في إطار الجمع، والمجموعة الفرعية${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة. كل مجموعة مشاركة من${\displaystyle \mathbb {Z} }$في${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة من الشكل ⁠${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$، حيث${\displaystyle a}$هو عدد حقيقي.${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$و${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$تكون المجموعات متطابقة عندما تكون الأجزاء غير الصحيحة من${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$إذا كانت متساوية، فيمكن فرض القيد.${\displaystyle 0\leq a<1}$دون تغيير في المعنى. يتم جمع هذه المجموعات المشاركة بجمع الأعداد الحقيقية المناظرة، وطرح 1 إذا كانت النتيجة أكبر من أو تساوي 1. زمرة القسمة${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$هي متماثلة مع مجموعة الدائرة ، أو مجموعة الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1 تحت الضرب، أو بالمقابل، مجموعة الدورانات في بعدين حول نقطة الأصل، أي المجموعة المتعامدة الخاصة .${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$. يُعطى التشاكل بواسطة${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$(انظر متطابقة أويلر ).

لو${\displaystyle G}$هي مجموعة العناصر القابلة للعكس${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفات الحقيقية ، و${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفات الحقيقية ذات المحدد 1، إذن${\displaystyle N}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$(لأنها نواة تشاكل المحدد ). المشاركات لـ${\displaystyle N}$هي مجموعات المصفوفات ذات المحدد المحدد، وبالتالي${\displaystyle G\,/\,N}$هي متماثلة مع المجموعة الضربية للأعداد الحقيقية غير الصفرية.${\displaystyle N}$تُعرف باسم المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$⁠ .

لنأخذ المجموعة الأبيلية كمثال${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$(أي المجموعة)${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$(مع الجمع modulo 4)، ومجموعتها الفرعية${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$. مجموعة القسمة${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$هو​${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$هذه مجموعة ذات عنصر محايد .${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$وعمليات جماعية مثل${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$. كلتا المجموعتين الفرعيتين${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ومجموعة القسمة${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$متماثلة مع${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$⁠ .

لننظر إلى المجموعة الضربية ⁠${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$المجموعة​${\displaystyle N}$من​${\displaystyle n}$البقايا th هي مجموعة فرعية ضربية متماثلة مع ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$ثم​${\displaystyle N}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$ومجموعة العوامل${\displaystyle G\,/\,N}$يحتوي على المشاركات${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$يعتمد نظام التشفير Paillier علىفرضية أنه من الصعب تحديد المجموعة المشاركة لعنصر عشوائي من${\displaystyle G}$دون معرفة تحليل ⁠${\displaystyle n}$⁠ .