المجموعة التافهة

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة التافهة أو المجموعة الصفرية بأنها مجموعة تتكون من عنصر واحد فقط. جميع هذه المجموعات متماثلة ، ولذلك يُشار إليها غالبًا بالمجموعة التافهة. العنصر الوحيد في المجموعة التافهة هو العنصر المحايد ، ولذلك يُرمز إليه عادةً بهذا الاسم :${\displaystyle 0}$،​​${\displaystyle 1}$أو​​${\displaystyle \mathrm {e} }$وذلك حسب السياق. إذا تم ترميز عملية المجموعة بـ${\displaystyle \,\cdot \,}$ثم يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \mathrm {e} \cdot \mathrm {e} =\mathrm {e} }$⁠ .

التعريفات المماثلةالمونويد التافه هو أيضًا مجموعة لأن عنصره الوحيد هو معكوسه، وبالتالي فهو نفس المجموعة التافهة.

المجموعة التافهة تختلف عن المجموعة الفارغة ، التي لا تحتوي على عناصر، وبالتالي تفتقر إلى عنصر محايد، وبالتالي لا يمكن أن تكون مجموعة.

بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle G}$، المجموعة التي تتكون من عنصر المحايد فقط هي مجموعة جزئية من${\displaystyle G}$ونظرًا لكونها المجموعة التافهة، تُسمىمجموعة فرعية تافهة من${\displaystyle G}$⁠ .

يشير المصطلح إلى "${\displaystyle G}$يشير مصطلح " لا يحتوي على مجموعات فرعية فعلية غير تافهة" إلى المجموعات الفرعية الوحيدة لـ${\displaystyle G}$كونها المجموعة التافهة${\displaystyle \{\mathrm {e} \}}$والمجموعة​​${\displaystyle G}$نفسها .

المجموعة التافهة دورية من الرتبة ⁠${\displaystyle 1}$; وعلى هذا النحو يمكن الإشارة إليه ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$أو​​${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$إذا كانت عملية المجموعة تسمى الجمع، فإن المجموعة التافهة يُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle 0}$إذا كانت عملية المجموعة تسمى الضرب ، فإن${\displaystyle 1}$يمكن أن يكون رمزًا للمجموعة التافهة. يؤدي دمج هذه الرموز إلى الحلقة التافهة التي تكون فيها عمليتا الجمع والضرب متطابقتين و${\displaystyle 0=1}$⁠ .

المجموعة التافهة هي المجموعة الوحيدة التي لها مجموعة فرعية واحدة فقط. جميع المجموعات الأخرى لها مجموعتان فرعيتان على الأقل، المجموعة التافهة ونفسها. المجموعة التافهة ليس لها مجموعات فرعية فعلية .

تُعتبر المجموعة التافهة بمثابة الكائن الصفري في فئة المجموعات ، مما يعني أنها كائن أولي وكائن نهائي في آن واحد .

يمكن تحويل المجموعة التافهة إلى مجموعة مرتبة (ثنائية) عن طريق تزويدها بالترتيب التافه غير الصارم .${\displaystyle \,\leq }$⁠ .

• الكائن الصفري (في الجبر) - بنية جبرية تحتوي على عنصر واحد فقط 
• قائمة المجموعات الصغيرة

• رولاند، تود ووايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة التافهة" . عالم الرياضيات .
• رولاند، تود ووايزستين، إريك دبليو. “المجموعة الفرعية” . عالم الرياضيات .
• رولاند، تود ووايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الجزئية الصحيحة" . عالم الرياضيات .