الوحدة الأساسية (نظرية الأعداد)

في نظرية الأعداد الجبرية ، تُعرَّف الوحدة الأساسية بأنها مولد (بمقياس جذور الوحدة ) لزمرة الوحدة لحلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي ، عندما تكون رتبة هذه الزمرة 1 (أي عندما تكون زمرة الوحدة، بمقياس زمرة الالتواء ، دورية لانهائية ). تُبين نظرية ديريشليه للوحدات أن رتبة زمرة الوحدة هي 1 تحديدًا عندما يكون الحقل العددي حقلًا تربيعيًا حقيقيًا ، أو حقلًا مكعبًا مركبًا ، أو حقلًا رباعيًا تخيليًا كليًا . عندما تكون رتبة زمرة الوحدة ≥ 1، يُطلق على أساسها، بمقياس زمرة الالتواء، اسم نظام الوحدات الأساسي . ^{[ 1 ]} يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " الوحدة الأساسية" للدلالة على أي عنصر من عناصر نظام الوحدات الأساسي، دون حصره بحالة الرتبة 1 (مثلًا، نوكيرش 1999 ، ص 42 ). 

للحقل التربيعي الحقيقي${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$(مع كون d خاليًا من المربعات)، تُعَيَّر الوحدة الأساسية ε عادةً بحيث تكون ε > 1 (كعدد حقيقي). عندئذٍ، تُوصَف بشكلٍ فريد بأنها الوحدة الدنيا بين الوحدات الأكبر من 1. إذا كان Δ يُمثِّل مُمَيِّز K ، فإن الوحدة الأساسية هي

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

حيث ( أ ، ب ) هو أصغر حل لـ ^{[ 2 ]} 

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$

في الأعداد الصحيحة الموجبة. هذه المعادلة هي في الأساس معادلة بيل أو معادلة بيل السالبة، ويمكن الحصول على حلولها بطريقة مماثلة باستخدام مفكوك الكسور المستمرة .${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$.

إن وجود حل للمعادلة x² − Δy² ⁼ −4 من عدمه يحدد ما إذا كانت ^زمرة الفئات للمجموعة K هي نفسها زمرتها الضيقة ، أو بعبارة أخرى، ما إذا كانت هناك وحدة ذات معيار -1 في K. من المعروف أن هذه المعادلة لها حل إذا، وفقط إذا، كانت دورة مفكوك الكسر المستمر لـ    ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$هذا فردي. يمكن الحصول على علاقة أبسط باستخدام التطابقات: إذا كان Δ يقبل القسمة على عدد أولي يطابق 3 بتردد 4، فإن K لا يمتلك وحدة معيارها -1. ومع ذلك، فإن العكس لا يصح كما هو موضح في المثال d  =  34. ^{[ 3 ]} في أوائل التسعينيات، اقترح بيتر ستيفنهاجن نموذجًا احتماليًا قاده إلى تخمين حول مدى تكرار فشل العكس. تحديدًا، إذا كان D ( X ) هو عدد الحقول التربيعية الحقيقية التي يكون مميزها Δ < X غير قابل للقسمة على عدد أولي يطابق 3 بتردد 4، و D−( X ⁾ هو عدد الحقول التي تمتلك وحدة معيارها -1، فإن ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(X)}{D(X)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$

بمعنى آخر، يفشل العكس في حوالي 42% من الحالات. وفي مارس 2012، قدم إتيان فوفري ويورغن كلونرز ^{[ 5 ]} نتيجة حديثة تدعم هذه الفرضية ، حيث أظهرا أن العكس يفشل بنسبة تتراوح بين 33% و59% من الحالات. وفي عام 2022، ادعى بيتر كويمنز وكارلو باجانو ^{[ 6 ]} تقديم برهان كامل لفرضية ستيفنهاغن.

إذا كان K حقلًا مكعبًا معقدًا، فإنه يمتلك تمثيلًا حقيقيًا فريدًا، ويمكن اختيار الوحدة الأساسية ε بشكل فريد بحيث يكون |ε|  >  1 في هذا التمثيل. إذا كان المميز Δ لـ K يحقق الشرط |Δ|  ≥  33، فإن ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$

على سبيل المثال، الوحدة الأساسية لـ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$يكون${\displaystyle \epsilon =1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}},}$و${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9}$بينما المميز لهذا الحقل هو -108، وبالتالي

${\displaystyle {\frac {|\دلتا |-27}{4}}=20.25}$

لذا${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9>20.25}$.

• ألاكا، شعبان؛ ويليامز، كينيث س. (2004)، مقدمة في نظرية الأعداد الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-54011-7
• دانكن بويل (1989)، الأشكال التربيعية الثنائية: النظرية الكلاسيكية والحسابات الحديثة ، سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات 92-93 ، ISBN  978-0-387-97037-0
• فوفري، إتيان؛ كلونرز، يورغن (2010)، "حول معادلة بيل السالبة"، حوليات الرياضيات ، 2 (3): 2035-2104 ، doi : 10.4007/annals.2010.172.2035 ، MR 2726105 
• Neukirch، Jürgen (1999)، نظرية الأعداد الجبرية ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ، المجلد.  322، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-65399-8، MR 1697859 ، Zbl 0956.11021  
• ستيفنهاجن، بيتر (1993)، "عدد الحقول التربيعية الحقيقية التي لها وحدات ذات معيار سالب"، الرياضيات التجريبية ، 2 (2): 121-136 ، CiteSeerX 10.1.1.27.3512 ، doi : 10.1080/10586458.1993.10504272 ، MR 1259426  

• وايسستين، إريك دبليو. “الوحدة الأساسية” . عالم الرياضيات .