نظرية الأعداد الجبرية

يمكن تتبع بدايات نظرية الأعداد الجبرية إلى المعادلات الديوفانتية، ^{[ 1 ]} التي سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الإسكندري ديوفانتوس ، الذي عاش في القرن الثالث الميلادي ، والذي درسها وطوّر طرقًا لحل بعض أنواعها. تتمثل إحدى مسائل المعادلات الديوفانتية النموذجية في إيجاد عددين صحيحين x و y بحيث يكون مجموعهما، ومجموع مربعيهما، مساويًا لعددين معطيين A و B على التوالي.

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

دُرست المعادلات الديوفانتية لآلاف السنين. فعلى سبيل المثال، تُعطى حلول المعادلة الديوفانتية التربيعية x² ⁺ y² = ^{z² بواسطة} ثلاثيات فيثاغورس ، التي حلّها البابليون لأول مرة ( حوالي 1800 قبل الميلاد ). ^{[ 2 ]} ويمكن إيجاد حلول المعادلات الديوفانتية الخطية، مثل 26x + 65y = 13 ^{، باستخدام} خوارزمية إقليدس (حوالي القرن الخامس قبل الميلاد). ^{[ 3 ]}

كان العمل الرئيسي لديوفانتوس هو كتاب الحساب ، الذي لم يبقَ منه سوى جزء.

طُرحت نظرية فيرما الأخيرة لأول مرة على يد بيير دي فيرما عام 1637، في هامش نسخة من كتابه "الحساب" ، حيث ادعى امتلاكه برهانًا كبيرًا جدًا لا يتسع في الهامش. ولم يُنشر أي برهان ناجح حتى عام 1995، على الرغم من جهود عدد لا يُحصى من علماء الرياضيات على مدار 358 عامًا. وقد حفّزت هذه المسألة التي لم تُحل بعد، تطوير نظرية الأعداد الجبرية في القرن التاسع عشر، وبرهان نظرية النمطية في القرن العشرين.

يُعدّ كتاب "Disquisitiones Arithmeticae " ( باللاتينية : Arithmetical Investigations ) ، أحد الأعمال التأسيسية لنظرية الأعداد الجبرية، وهو كتابٌ في نظرية الأعداد كتبه كارل فريدريش غاوس باللاتينية ^عام 1798 عندما ^{كان في الحادية والعشرين} من عمره، ونُشر لأول مرة عام 1801 عندما كان في الرابعة والعشرين. في هذا الكتاب، جمع غاوس نتائج في نظرية الأعداد توصل إليها علماء رياضيات مثل فيرما، وأويلر ، ولاغرانج ، وليجندر ، وأضاف إليها نتائج جديدة مهمة من ابتكاره. قبل نشر "Disquisitiones" ، كانت نظرية الأعداد عبارة عن مجموعة من النظريات والتخمينات المنفصلة. جمع غاوس أعمال أسلافه مع أعماله الأصلية في إطار منهجي، وسدّ الثغرات، وصحّح البراهين غير السليمة، ووسّع نطاق هذا العلم بطرق عديدة.

شكّلت كتاب "Disquisitiones" نقطة انطلاق لأعمال علماء رياضيات أوروبيين آخرين في القرن التاسع عشر، من بينهم إرنست كومر ، وبيتر غوستاف ليجون ديريشليه، وريتشارد ديديكيند . وتُعدّ العديد من التعليقات التي أوردها غاوس بمثابة إعلانات عن أبحاث أخرى أجراها، بعضها لم يُنشر. لا شكّ أنها بدت غامضة للغاية لمعاصريه؛ إذ يُمكننا الآن قراءتها على أنها تحمل بذور نظريات دوال L والضرب المركب ، على وجه الخصوص.

في ورقتين بحثيتين نُشرتا عامي 1838 و1839، أثبت بيتر غوستاف ليجون ديريشليه أول صيغة لعدد الفئات ، للأشكال التربيعية (والتي نقّحها لاحقًا تلميذه ليوبولد كرونكر ). هذه الصيغة، التي وصفها جاكوبي بأنها نتيجة "تلامس أقصى درجات الفطنة البشرية"، فتحت الطريق لنتائج مماثلة تتعلق بحقول عددية أكثر عمومية . ^{[ 5 ]} واستنادًا إلى بحثه في بنية زمرة الوحدة للحقول التربيعية ، أثبت نظرية ديريشليه للوحدة ، وهي نتيجة أساسية في نظرية الأعداد الجبرية. ^{[ 6 ]}

استخدم ديريشليه مبدأ خانة الحمام ، وهو حجة عدّ أساسية، لأول مرة في إثبات نظرية في التقريب الديوفانتي ، والتي سُميت لاحقًا باسمه بنظرية ديريشليه للتقريب . ونشر إسهامات مهمة في نظرية فيرما الأخيرة، حيث أثبت الحالتين n  =  5 و n  =  14، وفي قانون التبادلية التربيعية . ^{[ 5 ]} ولا تزال مسألة قواسم ديريشليه ، التي توصل إلى نتائجها الأولى، مسألة غير محلولة في نظرية الأعداد، على الرغم من إسهامات لاحقة من باحثين آخرين.

كانت دراسة ريتشارد ديديكيند لأعمال ليجون ديريشليه هي التي قادته إلى دراسته اللاحقة لحقول الأعداد الجبرية والمُثُل. في عام 1863، نشر محاضرات ليجون ديريشليه حول نظرية الأعداد تحت عنوان Vorlesungen über Zahlentheorie ("محاضرات في نظرية الأعداد")، وقد كُتب عنها ما يلي:

"على الرغم من أن الكتاب يستند بالتأكيد إلى محاضرات ديريشليه، وعلى الرغم من أن ديديكيند نفسه أشار إلى الكتاب طوال حياته على أنه كتاب ديريشليه، إلا أن الكتاب نفسه كتبه ديديكيند بالكامل، في معظمه بعد وفاة ديريشليه." (إدواردز 1983)

تضمنت طبعتا عامي 1879 و1894 من كتاب " المحاضرات " ملاحق تُعرّف بمفهوم المثالي، وهو مفهوم أساسي في نظرية الحلقات . (كلمة "حلقة"، التي أدخلها هيلبرت لاحقًا ، لا تظهر في عمل ديديكيند). عرّف ديديكيند المثالي بأنه مجموعة جزئية من مجموعة أعداد، تتألف من أعداد صحيحة جبرية تُحقق معادلات متعددة الحدود بمعاملات صحيحة. خضع هذا المفهوم لمزيد من التطوير على يد هيلبرت، وخاصةً إيمي نوثر . تُعمّم المُثُل أعداد المثالي التي وضعها إرنست إدوارد كومر ، كجزء من محاولته عام 1843 لإثبات نظرية فيرما الأخيرة.

وحّد ديفيد هيلبرت مجال نظرية الأعداد الجبرية بكتابه " Zahlbericht " (الذي يعني حرفيًا "تقرير عن الأعداد") الصادر عام 1897. كما حلّ مسألةً مهمةً في نظرية الأعداد صاغها وارينغ عام 1770. وكما هو الحال مع نظرية التناهي ، استخدم برهانًا وجوديًا يُبيّن حتمية وجود حلول للمسألة، بدلًا من تقديم آليةٍ لإنتاج الإجابات. ^{[ 7 ]} لم يُنشر له الكثير بعد ذلك في هذا الموضوع؛ إلا أن ظهور الأشكال النمطية لهيلبرت في أطروحة أحد طلابه يُعزّز ارتباط اسمه بهذا المجال المهم.

وضع سلسلة من التخمينات حول نظرية حقل الفئات . كانت هذه المفاهيم مؤثرة للغاية، ولا يزال إسهامه قائماً في اسم حقل فئات هيلبرت ورمز هيلبرت لنظرية حقل الفئات المحلية . وقد تم إثبات معظم النتائج بحلول عام 1930، بعد عمل تايجي تاكاجي . ^{[ 8 ]}

وضع إميل آرتين قانون التبادلية لآرتين في سلسلة من الأبحاث (1924، 1927، 1930). يُعد هذا القانون نظرية عامة في نظرية الأعداد، ويُشكّل جزءًا أساسيًا من نظرية حقل الفئات الشاملة. ^{[ 9 ]} يشير مصطلح " قانون التبادلية " إلى سلسلة طويلة من العبارات النظرية العددية الأكثر تحديدًا التي عمّمها، بدءًا من قانون التبادلية التربيعي وقوانين التبادلية لأيزنشتاين وكومر، وصولًا إلى صيغة هيلبرت للضرب لرمز المعيار . وقدّمت نتيجة آرتين حلًا جزئيًا لمسألة هيلبرت التاسعة .

في حوالي عام 1955، لاحظ عالما الرياضيات اليابانيان غورو شيمورا ويوتاكا تانياما وجود صلة محتملة بين فرعين من فروع الرياضيات يبدوان منفصلين تمامًا، وهما المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية . وتنص نظرية النمطية الناتجة (التي كانت تُعرف آنذاك باسم حدسية تانياما-شيمورا) على أن كل منحنى إهليلجي نمطي ، أي أنه يمكن ربطه بشكل نمطي فريد .

في البداية، رُفضت هذه الفرضية باعتبارها غير محتملة أو مجرد تكهنات، لكنها حظيت باهتمام أكبر عندما وجد عالم نظرية الأعداد أندريه ويل أدلة تدعمها، دون تقديم برهان قاطع؛ ونتيجة لذلك، عُرفت هذه الفرضية "المذهلة" ^{[ 10 ]} باسم فرضية تانياما-شيمورا-ويل. وأصبحت جزءًا من برنامج لانجلاندز ، وهو قائمة بالفرضيات المهمة التي تحتاج إلى إثبات أو دحض.

في الفترة من عام 1993 إلى عام 1994، قدّم أندرو وايلز برهانًا لنظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة ، والذي، إلى جانب نظرية ريبيت ، شكّل برهانًا لنظرية فيرما الأخيرة. وكان معظم علماء الرياضيات في ذلك الوقت يعتقدون أن إثبات كلٍّ من نظرية فيرما الأخيرة ونظرية النمطية أمرٌ مستحيل أو شبه مستحيل، حتى مع أحدث التطورات. أعلن وايلز عن برهانه لأول مرة في يونيو 1993 ^{[ 11 ]} بنسخةٍ سرعان ما تبيّن وجود ثغرةٍ جوهريةٍ فيها. قام وايلز بتصحيح البرهان، جزئيًا بالتعاون مع ريتشارد تايلور ، ونُشرت النسخة النهائية المقبولة على نطاق واسع في سبتمبر 1994، ونُشرت رسميًا في عام 1995. يستخدم البرهان العديد من تقنيات الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد، وله تداعياتٌ عديدةٌ في هذين الفرعين من الرياضيات. كما أنها تستخدم البنى القياسية للهندسة الجبرية الحديثة، مثل فئة المخططات ونظرية إيواساوا ، وتقنيات أخرى من القرن العشرين لم تكن متاحة لفيرما .

من الخصائص المهمة لحلقة الأعداد النسبية Z أنها تحقق النظرية الأساسية في الحساب ، والتي تنص على أن كل عدد صحيح (موجب) له تحليل إلى جداء أعداد أولية ، وهذا التحليل فريد من نوعه حتى ترتيب العوامل. قد لا يكون هذا صحيحًا في حلقة الأعداد الصحيحة O لحقل عددي جبري K.

بالنسبة للحلقة O والحلقات التبديلية عمومًا، العنصر الأولي هو عنصر من الحلقة يحقق الخاصية الأساسية للأعداد الأولية التي تنص عليها مبرهنة إقليدس : العنصر الأولي هو عنصر p من O بحيث إذا قسم p حاصل ضرب ab ، فإنه يقسم أحد العاملين a أو b . ترتبط هذه الخاصية ارتباطًا وثيقًا بأولية الأعداد الصحيحة، لأن أي عدد صحيح موجب يحقق هذه الخاصية يكون إما 1 أو عددًا أوليًا. مع ذلك، فهي أضعف من حيث الدقة. على سبيل المثال، -2 ليس عددًا أوليًا لأنه سالب، ولكنه عنصر أولي. إذا سُمح بالتحليل إلى عوامل أولية، فإنه حتى في الأعداد الصحيحة، توجد تحليلات بديلة مثل

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

بشكل عام، إذا كان u عددًا أوليًا ، أي عددًا له معكوس ضربي في O ، وكان p عددًا أوليًا، فإن up يكون أيضًا عددًا أوليًا. يُقال إن أعدادًا مثل p و up مترافقة . في مجموعة الأعداد الصحيحة، العددان الأوليان p و -p مترافقان، لكن أحدهما فقط موجب. اشتراط أن تكون الأعداد الأولية موجبة يُحدد عنصرًا فريدًا من بين مجموعة من العناصر الأولية المترافقة. مع ذلك، عندما لا تكون K مجموعة الأعداد النسبية، لا يوجد ما يُماثل الإيجابية. على سبيل المثال، في مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية Z [ i ] ، ^{[ 12 ]،} العددان 1 + 2i و -2 + i مترافقان لأن الأخير هو حاصل ضرب الأول في i ، لكن لا توجد طريقة لتمييز أحدهما على أنه أكثر معيارية من الآخر. هذا يؤدي إلى معادلات مثل:

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

وهذا يثبت أنه في Z [ i ] ، ليس صحيحًا أن التحليلات فريدة حتى رتبة العوامل. لهذا السبب، يُعتمد تعريف التحليل الفريد المستخدم في مجالات التحليل الفريدة (UFDs). في مجال التحليل الفريد، يُتوقع أن تكون العناصر الأولية التي تظهر في التحليل فريدة فقط حتى الوحدات وترتيبها.

مع ذلك، حتى مع هذا التعريف الأضعف، فإن العديد من حلقات الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد الجبرية لا تقبل التحليل إلى عوامل أولية فريدة. يوجد عائق جبري يُسمى زمرة الفئات المثالية. عندما تكون زمرة الفئات المثالية تافهة، تكون الحلقة قابلة للتحليل إلى عوامل أولية فريدة. أما عندما لا تكون كذلك، فيوجد فرق بين العنصر الأولي والعنصر غير القابل للاختزال . العنصر غير القابل للاختزال x هو عنصر بحيث إذا كان x = yz ، فإن y أو z يكون عنصرًا محايدًا. هذه هي العناصر التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أكثر. كل عنصر في O يقبل التحليل إلى عوامل أولية، ولكنه قد يقبل أكثر من عامل أولي واحد. هذا لأنه، بينما جميع العناصر الأولية غير قابلة للاختزال، قد لا تكون بعض العناصر غير القابلة للاختزال أولية. على سبيل المثال، لننظر إلى الحلقة Z [√ -5 ] . ^{[ 13 ]} في هذه الحلقة، الأعداد 3 و 2 + √ -5 و 2 - √ -5 غير قابلة للاختزال. هذا يعني أن العدد 9 له تحليلان إلى عناصر غير قابلة للاختزال،

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

تُظهر هذه المعادلة أن العدد 3 يقسم حاصل ضرب (2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9. لو كان 3 عددًا أوليًا، لكان يقسم 2 + √ -5 أو 2 - √ -5 ، ولكنه لا يفعل، لأن جميع العناصر القابلة للقسمة على 3 هي من الشكل 3a + 3b √ -5 . وبالمثل، يقسم كل من 2 + √ -5 و 2 - √ -5 حاصل ضرب 3 ، ولكن لا يقسم أي منهما 3 ^نفسه ، لذا فهما ليسا أوليين. ولأنه لا يوجد أي معنى يُمكن به جعل العناصر 3 و 2 + √ -5 و 2 - √ -5 متكافئة، فإن التحليل إلى عوامل أولية وحيدة يفشل في Z [√ -5 ] . على عكس حالة الوحدات، حيث يُمكن إصلاح التفرد بتخفيف التعريف، فإن التغلب على هذا الفشل يتطلب منظورًا جديدًا.

إذا كان I مثاليًا في O ، فإنه يوجد دائمًا تحليل إلى عوامل

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

حيث كل${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$هو مثالي أولي ، ويكون هذا التعبير فريدًا حتى رتبة العوامل. على وجه الخصوص، يصح هذا إذا كان I هو المثالي الرئيسي المُوَلَّد بواسطة عنصر واحد. هذا هو أقوى معنى يُمكن من خلاله اعتبار حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي عام قابلة للتحليل إلى عوامل وحيدة. بلغة نظرية الحلقات، يُقال إن حلقات الأعداد الصحيحة هي مجالات ديديكيند .

عندما يكون O فضاءً غير قابل للتجزئة، فإن كل مثالي أولي يُولَّد بواسطة عنصر أولي. وإلا، فهناك مثاليات أولية لا تُولَّد بواسطة عناصر أولية. في Z [√ -5 ] ، على سبيل المثال، المثالي (2, 1 + √ -5 ) هو مثالي أولي لا يمكن توليده بواسطة عنصر واحد.

تاريخيًا، سبقت فكرة تحليل المُثُل إلى مُثُل أولية تقديم إرنست كومر للأعداد المُثُلية. هذه الأعداد تقع في حقل امتداد E من K. يُعرف حقل الامتداد هذا الآن باسم حقل فئات هيلبرت. وفقًا لنظرية المُثُل الرئيسية ، يُولّد كل مُثُل أولي في O مُثُلًا رئيسيًا في حلقة الأعداد الصحيحة E. يُسمى مُولّد هذا المُثُل الرئيسي عددًا مُثُليًا. استخدم كومر هذه الأعداد كبديل لفشل التحليل الفريد في الحقول الدائرية . قاد هذا في النهاية ريتشارد ديديكيند إلى تقديم نموذج أولي للمُثُل وإثبات التحليل الفريد للمُثُل.

قد لا يكون المثالي الذي يكون أوليًا في حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي واحد أوليًا عند امتداده إلى حقل عددي أكبر. لنأخذ، على سبيل المثال، الأعداد الأولية. المثاليّات المقابلة pZ هي مثاليّات أولية في الحلقة Z. مع ذلك، عند امتداد هذا المثالي إلى الأعداد الصحيحة الغاوسية للحصول على pZ [ i ] ، فقد يكون أوليًا أو غير أولي. على سبيل المثال، التحليل إلى عوامل 2 = (1 + i )(1 − i ) يعني أن

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

لاحظ أنه بما أن 1 + i = (1 − i ) ⋅ i ، فإن المُثُل المُولَّدة بواسطة 1 + i و 1 − i هي نفسها. تُقدِّم نظرية فيرما حول مجموع مربعين إجابةً كاملةً على سؤال أي المُثُل تبقى أولية في الأعداد الصحيحة الغاوسية . تُشير هذه النظرية إلى أنه بالنسبة لعدد أولي فردي p ، فإن p Z [ i ] مُثُل أولية إذا كان p ≡ 3 (mod 4)، وليست مُثُلًا أولية إذا كان p ≡ 1 (mod 4) . هذا، بالإضافة إلى ملاحظة أن المُثُل (1 + i ) Z [ i ] أولية، يُقدِّم وصفًا كاملًا للمُثُل الأولية في الأعداد الصحيحة الغاوسية. يُعدُّ تعميم هذه النتيجة البسيطة على حلقات أعم من الأعداد الصحيحة مشكلةً أساسيةً في نظرية الأعداد الجبرية. تُحقِّق نظرية حقل الفئات هذا الهدف عندما تكون K امتدادًا أبيليًا لـ Q (أي امتداد غالوا مع زمرة غالوا أبيلية ).

يفشل التحليل إلى عوامل وحيدة في O إذا وفقط إذا وُجدت مُثُل أولية لا تُعتبر رئيسية. يُسمى الكائن الذي يقيس فشل المُثُل الأولية في أن تكون رئيسية بزمرة فئات المُثُل. يتطلب تعريف زمرة فئات المُثُل توسيع مجموعة المُثُل في حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية بحيث تقبل بنية زمرة . يتم ذلك بتعميم المُثُل إلى مُثُل كسرية . المُثُل الكسري هو زمرة جزئية جمعية J من K مغلقة تحت الضرب بعناصر O ، أي أن xJ ⊆ J إذا كان x ∈ O. جميع مُثُل O هي أيضًا مُثُل كسرية. إذا كان I و J مُثُل كسرية، فإن مجموعة IJ لجميع نواتج ضرب عنصر في I وعنصر في J هي أيضًا مُثُل كسرية. هذه العملية تجعل مجموعة المُثُل الكسرية غير الصفرية زمرة. عنصر الزمرة المحايد هو المُثُل (1) = O ، ومعكوس J هو خارج قسمة مُثُل (معمم) .

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

تُشكّل المُثُل الكسرية الرئيسية، أي تلك التي تأخذ الشكل Ox حيث x ∈ K ^× ، زمرةً جزئيةً من زمرة جميع المُثُل الكسرية غير الصفرية. ويُعرف ناتج قسمة زمرة المُثُل الكسرية غير الصفرية على هذه الزمرة الجزئية بزمرة فئات المُثُل. يُمثّل مُثُلان كسريان I و J العنصر نفسه في زمرة فئات المُثُل إذا وفقط إذا وُجد عنصر x ∈ K بحيث xI = J. وبالتالي، تجعل زمرة فئات المُثُل مُثُلين كسريين مُتكافئين إذا كان أحدهما قريبًا من أن يكون رئيسيًا مثل الآخر. ويُرمز لزمرة فئات المُثُل عمومًا بـ Cl K أو Cl O أو Pic O (حيث يُشير الرمز الأخير إلى زمرة بيكارد في الهندسة الجبرية).

يُطلق على عدد العناصر في مجموعة الفئات اسم رقم الفئة لـ K. رقم الفئة لـ Q (√ -5 ) هو 2. هذا يعني أنه لا يوجد سوى فئتين مثاليتين، فئة المثاليات الكسرية الرئيسية، وفئة المثالي الكسري غير الرئيسي مثل (2, 1 + √ -5 ) .

يُمكن وصف مجموعة الفئات المثالية بوصف آخر من حيث القواسم . هذه القواسم هي كائنات صورية تُمثل التحليلات الممكنة للأعداد. تُعرَّف مجموعة القواسم Div K بأنها المجموعة الأبيلية الحرة المولدة بواسطة المُثُل الأولية في O. يوجد تشاكل زمر من K ^× (العناصر غير الصفرية في K حتى الضرب) إلى Div K. لنفترض أن x ∈ K يحقق

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

ثم يُعرَّف div x بأنه المقسوم عليه

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

نواة div هي مجموعة الوحدات في O ، بينما النواة المشتركة هي مجموعة فئات المثاليّات. في لغة الجبر التماثلي ، يعني هذا وجود متتالية تامة من الزمر الأبيلية (المكتوبة بالضرب) .

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

يمكن تحديد بعض حقول الأعداد، مثل Q (√2 ) ، كحقول فرعية من الأعداد الحقيقية. بينما لا يمكن تحديد حقول أخرى، مثل Q (√ - 1 ) . وبشكل مجرد، يتوافق هذا التحديد مع تشاكل حقل K → R أو K → C. ويُطلق على هذه التشاكلات اسم التضمينات الحقيقية والتضمينات المركبة ، على التوالي.

يُطلق على الحقل التربيعي الحقيقي Q (√a ) ، حيث a ∈ Z و a > 0 و a ليس مربعًا كاملًا ، هذا الاسم لأنه يقبل تمثيلين حقيقيين فقط، ولا يقبل أي تمثيلين عقديين. وهما تشاكلات الحقل التي تُرسل √a إلى √a وإلى −√a على التوالي. وبالمثل، لا يقبل الحقل التربيعي التخيلي Q (√ − a ) أي تمثيلات حقيقية ، ولكنه يقبل زوجًا مترافقًا من التمثيلات العقدية. يُرسل أحد هذين التمثيلين √ − a إلى √ − a ، بينما يُرسله الآخر إلى مُرافقه العقدي ، −√ − a .

يُرمز عادةً إلى عدد التمثيلات الحقيقية لـ K _بالرمز r₁ ، بينما يُرمز _إلى عدد أزواج التمثيلات المركبة المترافقة بالرمز r₂ _. إشارة K هي الزوج ( r₁ , r₂ ) . وتُثبت النظرية أن r₁ _{+ 2r₂} = _d ، حيث d هي درجة K.

إن النظر في جميع التضمينات في آن واحد يحدد دالة${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.}$ يُطلق على هذا اسم تضمين مينكوفسكي .

الفضاء الجزئي من المجال المقابل المحدد بالاقتران المركب هو فضاء متجهي حقيقي ذو بُعد d يُسمى فضاء مينكوفسكي . ولأن تضمين مينكوفسكي مُعرَّف بتشاكلات الحقول، فإن ضرب عناصر K بعنصر x ∈ K يُقابل الضرب بمصفوفة قطرية في تضمين مينكوفسكي. ويُقابل الضرب النقطي في فضاء مينكوفسكي شكل الأثر.${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$.

صورة النقطة O تحت تضمين مينكوفسكي هي شبكة ذات بُعد d . إذا كانت B أساسًا لهذه الشبكة، فإن det B T  B هو مميز O. يُرمز للمميز بـ Δ أو D. الحجم المشترك لصورة O هو${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$.

يمكن وضع التمثيلات الحقيقية والمركبة على قدم المساواة مع المُثُل الأولية من خلال تبني منظور قائم على التقييمات . لنأخذ، على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة. بالإضافة إلى دالة القيمة المطلقة المعتادة |·|  : Q → R ، توجد دوال قيمة مطلقة p-adic |·| _p  : Q → R ، مُعرَّفة لكل عدد أولي p ، والتي تقيس قابلية القسمة على p . تنص نظرية أوستروفسكي على أن هذه جميعها دوال قيمة مطلقة ممكنة على Q (حتى التكافؤ). لذلك، تُعد القيم المطلقة لغة مشتركة لوصف كل من التمثيل الحقيقي لـ Q والأعداد الأولية.

المكان في حقل الأعداد الجبرية هو فئة تكافؤ لدوال القيمة المطلقة على K. يوجد نوعان من الأماكن.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$القيمة المطلقة -adic لكل مثالي أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$من O ، ومثل القيم المطلقة p -adic، فهي تقيس قابلية القسمة. تُسمى هذه المواضع بالمواضع المنتهية . أما النوع الآخر من المواضع فيُحدد باستخدام تمثيل حقيقي أو مركب لـ K ودالة القيمة المطلقة القياسية على R أو C. هذه مواضع غير منتهية . ولأن القيم المطلقة لا تستطيع التمييز بين التمثيل المركب ومرافقه، فإن التمثيل المركب ومرافقه يُحددان الموضع نفسه. لذلك، يوجد r1 موضعًا حقيقيًا و _r2 موضعًا _مركبًا . ولأن المواضع تشمل الأعداد الأولية، يُشار إليها أحيانًا بالأعداد الأولية . عندئذٍ، تُسمى المواضع المنتهية بالأعداد الأولية المنتهية ، والمواضع غير المنتهية بالأعداد الأولية غير المنتهية . إذا كان v تقييمًا يُقابل قيمة مطلقة، فغالبًا ما يُكتب${\displaystyle v\mid \infty }$بمعنى أن v مكان لانهائي و${\displaystyle v\nmid \infty }$بمعنى أنه مكان محدود.

يُنتج النظر في جميع مواضع الحقل معًا حلقة أديل لحقل الأرقام. تُمكّن حلقة أديل من تتبع جميع البيانات المتاحة في آنٍ واحد باستخدام القيم المطلقة. وهذا يُوفر مزايا كبيرة في الحالات التي يُمكن أن يؤثر فيها السلوك في موضعٍ ما على السلوك في مواضع أخرى، كما هو الحال في قانون التبادلية لآرتين .

تحتوي الأعداد الصحيحة على وحدتين فقط، 1 و -1 . قد تحتوي حلقات أخرى من الأعداد الصحيحة على وحدات أكثر. تحتوي الأعداد الصحيحة الغاوسية على أربع وحدات، هما الوحدتان السابقتان بالإضافة إلى ± i . تحتوي أعداد أيزنشتاين الصحيحة Z [exp( 2πi / 3)] على ست وحدات. تحتوي الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد التربيعية الحقيقية على عدد لا نهائي من الوحدات. على سبيل المثال، في Z [√3 ] ، كل قوة من قوى 2 + √3 هي وحدة، وجميع هذه القوى مختلفة.

بشكل عام، تُعدّ مجموعة الوحدات في O ، والتي يُرمز لها بـ O ^× ، مجموعة أبيلية مولدة توليدًا منتهيًا. وبناءً على ذلك، تنصّ النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة توليدًا منتهيًا على أنها مجموع مباشر لجزء التواء وجزء حر. وبإعادة تفسير ذلك في سياق حقل عددي، يتكوّن جزء الالتواء من جذور الوحدة التي تقع في O. هذه المجموعة دورية. أما الجزء الحر _، فيُوصَف بنظرية ديريشليه للوحدات . تنصّ هذه النظرية على أن رتبة الجزء الحر هي r₁ + r₂ - 1. وبالتالي، على سبيل المثال، الحقلان الوحيدان اللذان تكون رتبة الجزء الحر فيهما صفرًا هما Q والحقول التربيعية التخيلية. كما يُمكن صياغة _بيان أكثر دقة يُبيّن بنية O ^× ⊗ _ZQ كوحدة غالوا لمجموعة غالوا لـ K / Q ^{. [ 14} ]

يمكن دراسة الجزء الحر من مجموعة الوحدة باستخدام المواضع اللانهائية لـ K. لنعتبر الدالة

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

حيث تتغير قيمة v على عدد لا نهائي من مواضع K، و|·| _v هي القيمة المطلقة المرتبطة بـ v . الدالة L هي تشاكل من K ^× إلى فضاء متجهي حقيقي. يمكن إثبات أن صورة O ^× هي شبكة تمتد على المستوى الفائق المحدد بواسطة${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$يُعدّ الحجم المشترك لهذه الشبكة هو مُنظِّم حقل الأعداد. ومن بين التبسيطات التي يُتيحها العمل مع حلقة الأديل وجود عنصر واحد، وهو زمرة فئات الأديل ، التي تصف كلاً من خارج القسمة على هذه الشبكة وزمرة فئات المثاليّات.

دالة زيتا ديديكيند لحقل عددي، المشابهة لدالة زيتا ريمان ، هي كائن تحليلي يصف سلوك المُثُل الأولية في K. عندما يكون K امتدادًا أبيليًا لـ Q ، فإن دوال زيتا ديديكيند هي نواتج دوال ديريشليه L ، حيث يوجد عامل واحد لكل مُحوِّل ديريشليه . يُقابل المُحوِّل التافه دالة زيتا ريمان. عندما يكون K امتدادًا غالوا ، فإن دالة زيتا ديديكيند هي دالة آرتين L للتمثيل المنتظم لمجموعة غالوا لـ K ، ولها تحليل بدلالة تمثيلات آرتين غير القابلة للاختزال لمجموعة غالوا.

ترتبط دالة زيتا بالثوابت الأخرى الموضحة أعلاه بواسطة صيغة رقم الفئة .

إكمال حقل عددي K عند الموضع w يُعطي حقلاً كاملاً . إذا كان التقييم أرخميدياً، نحصل على R أو C ، وإذا كان غير أرخميدي ويقع على عدد أولي p من الأعداد النسبية، نحصل على امتداد منتهٍ${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$حقل كامل ذو قيم منفصلة مع حقل بواقي منتهٍ. تُبسط هذه العملية العمليات الحسابية للحقل وتُتيح دراسة المسائل محليًا. على سبيل المثال، يُمكن استنتاج نظرية كرونكر-ويبر بسهولة من العبارة المحلية المُماثلة. تستند فلسفة دراسة الحقول المحلية إلى حد كبير إلى الأساليب الهندسية. في الهندسة الجبرية، من الشائع دراسة المتنوعات محليًا عند نقطة ما عن طريق التوطين إلى مثالي أقصى. يُمكن بعد ذلك استعادة المعلومات الشاملة من خلال تجميع البيانات المحلية. يُعتمد هذا النهج في نظرية الأعداد الجبرية. عند وجود عدد أولي في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية في حقل عددي، يُستحسن دراسة الحقل محليًا عند ذلك العدد الأولي. لذلك، يتم توطين حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية عند ذلك العدد الأولي، ثم يُستكمل حقل الكسور بروح هندسية مماثلة.

من النتائج الكلاسيكية في نظرية الأعداد الجبرية أن زمرة فئات المثاليّات لحقل عددي جبري K منتهية. هذه نتيجة لنظرية مينكوفسكي، إذ لا يوجد سوى عدد منتهٍ من المثاليّات الصحيحة التي يكون معيارها أقل من عدد صحيح موجب ثابت ^{[ 15 ] صفحة 78.} يُطلق على رتبة زمرة الفئات اسم عدد الفئات ، ويُرمز لها غالبًا بالحرف h .

تُقدّم نظرية ديريشليه للوحدات وصفًا لبنية المجموعة الضربية للوحدات O ^× لحلقة الأعداد الصحيحة O. وتحديدًا، تنصّ على أن O ^× متماثلة مع G × Z ^r ، حيث G هي المجموعة الدورية المنتهية التي تتكون من جميع جذور الوحدة في O ، و r = r₁ + r₂ − ₁ (حيث r₁ (على التوالي، _{r₂ )} يُمثّل عدد التضمينات الحقيقية (على التوالي، أزواج التضمينات غير الحقيقية المترافقة) لـ K ) . وبعبارة أخرى، فإن _O × ^هي مجموعة أبيلية منتهية التوليد من الرتبة r₁ + r₂ ₋ 1 _، ويتكون التواءها من جذور الوحدة في O.        

فيما يتعلق برمز ليجندر ، ينص قانون التبادل التربيعي للأعداد الأولية الفردية الموجبة على ما يلي:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

قانون المعاملة بالمثل هو تعميم لقانون المعاملة بالمثل التربيعية .

توجد عدة طرق مختلفة للتعبير عن قوانين التبادل. عادةً ما كانت قوانين التبادل المبكرة، التي ظهرت في القرن التاسع عشر، تُعبَّر عنها بدلالة رمز الباقي الأسي ( p / q )، وهو تعميم لرمز التبادل التربيعي الذي يصف متى يكون عدد أولي باقيًا أسيًا من الرتبة n بتردد عدد أولي آخر، وقد أعطى هذا الرمز علاقة بين ( p / q ) و( q / p ). أعاد هيلبرت صياغة قوانين التبادل بحيث ينص على أن حاصل ضرب رموز هيلبرت ( a , b / p ) على p ، والتي تأخذ قيمًا في جذور الوحدة، يساوي 1. ينص قانون التبادل المُعاد صياغته لآرتن على أن رمز آرتن من المُثُل (أو الأُدِلات) إلى عناصر زمرة غالوا يكون تافهًا على زمرة جزئية معينة. تُعبِّر العديد من التعميمات الأحدث عن قوانين التبادل باستخدام علم التماثل للزمر أو تمثيلات الزمر الأديلية أو زمر K الجبرية، وقد يصعب إدراك علاقتها بقانون التبادل التربيعي الأصلي.

تربط صيغة رقم الفئة العديد من الثوابت المهمة لحقل عددي بقيمة خاصة لدالة زيتا الخاصة به من نوع ديديكيند.

• شتاين، ويليام (2012)، نظرية الأعداد الجبرية، منهج حسابي (PDF)
• أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (2013)، مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة ، المجلد  84، سبرينغر، doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 ، ISBN 978-1-4757-2103-4
• ستيوارت، إيان ؛ تال، ديفيد (2015)، نظرية الأعداد الجبرية ونظرية فيرما الأخيرة ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4987-3840-8

• ماركوس، دانيال أ. (2018)، حقول الأعداد (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-319-90233-3

• كاسيلز، جيه دبليو إس ؛ فروليش، ألبريشت ، محرران (2010) [1967]، نظرية الأعداد الجبرية (  الطبعة الثانية)، لندن: 9780950273426، MR 0215665 
• فروليش، ألبريشت ؛ تايلور، مارتن ج. (1993)، نظرية الأعداد الجبرية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  27، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-43834-9MR 1215934​ 
• لانغ، سيرج (1994)، نظرية الأعداد الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  110 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-94225-4MR 1282723​ 
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .