رتبة مجموعة أبيلية

في الرياضيات ، تُعرف رتبة المجموعة الأبيلية A ، أو رتبة بروفر ، أو الرتبة الخالية من الالتواء، بأنها عدد عناصر أكبر مجموعة فرعية مستقلة خطيًا . ^{[ 1 ]} تحدد رتبة A حجم أكبر مجموعة أبيلية حرة مُضمنة فيها . إذا كانت A خالية من الالتواء، فإنها تُضمّن في فضاء متجهي على الأعداد النسبية ذي بُعد رتبة A. بالنسبة للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا ، تُعد الرتبة ثابتًا قويًا، وتُحدد كل مجموعة من هذا النوع، حتى التشاكل، برتبتها ومجموعة الالتواء الفرعية . تم تصنيف المجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء من الرتبة 1 تصنيفًا كاملًا. مع ذلك، فإن نظرية المجموعات الأبيلية ذات الرتب الأعلى أكثر تعقيدًا.

مصطلح الرتبة له معنى مختلف في سياق المجموعات الأبيلية الأولية .

تكون المجموعة الجزئية { a _α } من زمرة أبيلية A مستقلة خطيًا (على Z ) إذا كان التركيب الخطي الوحيد لهذه العناصر الذي يساوي صفرًا تافهًا: إذا

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

_{عندما تكون} جميع المعاملات nα تساوي صفرًا باستثناء عدد محدود منها (بحيث يكون المجموع، في الواقع، محدودًا)، فإن جميع المعاملات تساوي صفرًا. أي مجموعتين مستقلتين خطيًا في A لهما نفس العدد من العناصر ، والذي يُسمى رتبة A.

رتبة الزمرة الأبيلية تُشابه بُعد الفضاء المتجهي . ويكمن الاختلاف الرئيسي بينها وبين الفضاء المتجهي في وجود الالتواء . يُسمى عنصر الزمرة الأبيلية A عنصر التواء إذا كانت رتبته منتهية. تُشكل مجموعة جميع عناصر الالتواء زمرة جزئية تُسمى زمرة الالتواء الجزئية، ويُرمز لها بـ T ( A ). تُسمى الزمرة خالية من الالتواء إذا لم تحتوي على أي عناصر التواء غير تافهة. زمرة العوامل A / T ( A ) هي خارج القسمة الوحيد الخالي من الالتواء لـ A ، ورتبتها تُطابق رتبة A.

يمكن تعريف مفهوم الرتبة بخصائص مماثلة للوحدات النمطية على أي مجال تكاملي ، كما في حالة الزمر الأبيلية التي تقابل الوحدات النمطية على Z. للمزيد، انظر الوحدة النمطية المولدة نهائياً#الرتبة العامة .

• تتطابق رتبة الزمرة الأبيلية A مع بُعد الفضاء المتجهي Q ، حيث A ⊗ Q. إذا كانت A خالية من الالتواء، فإن التطبيق القانوني A → A ⊗ Q يكون أحاديًا ، ورتبة A هي أصغر بُعد للفضاء المتجهي Q الذي يحتوي A كزمرة أبيلية جزئية. على وجه الخصوص، أي زمرة وسيطة Z n < A < Q  n لها رتبة n .
• المجموعات الأبيلية ذات الرتبة 0 هي بالضبط المجموعات الأبيلية الدورية .
• المجموعة Q للأعداد النسبية رتبتها 1. تُعتبر المجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء من الرتبة 1 مجموعات جزئية من Q ، ويوجد تصنيف مُرضٍ لها حتى التشاكل. في المقابل، لا يوجد تصنيف مُرضٍ للمجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء من الرتبة 2. [ 2 ]
• تكون الرتبة تراكمية على المتتاليات القصيرة التامة : إذا

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

إذا كانت متتالية تامة قصيرة من الزمر الأبيلية، فإن rk B = rk A + rk C. وينتج هذا من تسطح Q والحقيقة المقابلة للفضاءات المتجهة.      

• الرتبة قابلة للجمع على المجاميع المباشرة العشوائية :

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

حيث يستخدم المجموع في الجانب الأيمن الحساب الأساسي .

تُعدّ الزمر الأبيلية ذات الرتبة الأكبر من 1 مصدرًا لأمثلة مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، لكل عدد أصلي d، توجد زمر أبيلية خالية من الالتواء من الرتبة d غير قابلة للتحليل ، أي لا يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر لزوج من زمرها الجزئية الفعلية. تُبيّن هذه الأمثلة أنه لا يمكن بناء زمرة أبيلية خالية من الالتواء من الرتبة الأكبر من 1 ببساطة عن طريق المجاميع المباشرة من زمر أبيلية خالية من الالتواء من الرتبة 1، والتي تُفهم نظريتها جيدًا. علاوة على ذلك، لكل عدد صحيح${\displaystyle n\geq 3}$، هناك مجموعة أبيلية خالية من الالتواء من الرتبة${\displaystyle 2n-2}$إنها في الوقت نفسه مجموع مجموعتين غير قابلتين للتحليل، ومجموع n من المجموعات غير القابلة للتحليل. وبالتالي، فإن عدد الحدود غير القابلة للتحليل لمجموعة ذات رتبة زوجية أكبر من أو تساوي 4 غير مُعرَّف تعريفًا دقيقًا.

هناك نتيجة أخرى تتعلق بعدم تفرد تحليلات المجموع المباشر، وهي تعود إلى ركن ALS: بالنظر إلى الأعداد الصحيحة${\displaystyle n\geq k\geq 1}$يوجد زمرة أبيلية خالية من الالتواء A من الرتبة n بحيث أنه لأي تجزئة${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$بتقسيمها إلى k من الحدود الطبيعية، فإن المجموعة A هي المجموع المباشر لـ k من المجموعات الفرعية غير القابلة للتحليل من الرتب${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$وبالتالي فإن تسلسل رتب الحدود غير القابلة للتحليل في تحليل مجموع مباشر معين لمجموعة أبيلية خالية من الالتواء ذات رتبة محدودة بعيد كل البعد عن كونه ثابتًا لـ A.

وتشمل الأمثلة الأخرى المدهشة مجموعات الرتبة 2 الخالية من الالتواء A _{n , m} و B _{n , m} بحيث يكون A ⁿ متماثلًا مع B ⁿ إذا وفقط إذا كان n قابلاً للقسمة على m .

بالنسبة للمجموعات الأبيلية ذات الرتبة اللانهائية، يوجد مثال لمجموعة K ومجموعة جزئية G بحيث

• K غير قابل للتحليل؛
• يتم توليد K بواسطة G وعنصر آخر واحد؛ و
• كل عنصر مباشر غير صفري في G قابل للتحليل.

يمكن تعميم مفهوم الرتبة لأي وحدة نمطية M على مجال تكاملي R ، باعتباره البعد على R ₀ ، حقل القسمة ، لحاصل الضرب الموتري للوحدة النمطية مع الحقل:

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}(M\otimes _{R}R_{0})}$

هذا منطقي، لأن R ₀ هو حقل، وبالتالي فإن أي وحدة نمطية (أو، على وجه التحديد، فضاء متجهي ) فوقه تكون حرة.

هذا تعميم، لأن كل زمرة أبيلية هي وحدة نمطية على الأعداد الصحيحة. ويترتب على ذلك بسهولة أن بُعد الضرب على Q هو عدد عناصر المجموعة الجزئية المستقلة خطيًا القصوى، لأنه لأي عنصر التواء x وأي عدد نسبي q ،

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

• رتبة مجموعة