لوح غالتون

لوحة غالتون ، والمعروفة أيضًا باسم صندوق غالتون أو الخماسي أو آلة الفاصوليا (أو بشكل خاطئ لوحة دالتون )، هي جهاز اخترعه فرانسيس غالتون ^{[ 1 ] : 63} لإثبات نظرية النهاية المركزية ، وعلى وجه الخصوص أنه مع حجم عينة كافٍ، فإن التوزيع ذو الحدين يقترب من التوزيع الطبيعي .

صممه غالتون لتوضيح فكرته عن الانحدار إلى المتوسط ، ^{[ 2 ]} والتي أطلق عليها اسم "العودة إلى التوسط" وجعلها جزءًا من أيديولوجيته المناهضة للعنصرية . ^{[ 3 ]}

تتكون لوحة غالتون من لوحة عمودية بها صفوف متداخلة من الأوتاد. تُسقط الخرزات من الأعلى، وعندما تكون اللوحة مستوية، ترتد إما إلى اليسار أو اليمين عند اصطدامها بالأوتاد. وفي النهاية، تُجمع الخرزات في صناديق في الأسفل، حيث يقترب ارتفاع أعمدة الخرز المتراكمة في الصناديق من منحنى الجرس . ويُظهر رسم مثلث باسكال فوق الأوتاد عدد المسارات المختلفة التي يمكن اتباعها للوصول إلى كل صندوق. ^{[ 4 ]}

يمكن مشاهدة نماذج عاملة واسعة النطاق لهذا الجهاز، من تصميم تشارلز وراي إيمز، في معارض "ماثيماتيكا: عالم الأرقام... وما وراءها " المعروضة بشكل دائم في متحف بوسطن للعلوم ، وقاعة نيويورك للعلوم ، ومتحف هنري فورد . ^{[ 5 ]} عُرض جهاز متحف فورد في جناح شركة آي بي إم خلال معرض نيويورك العالمي 1964-1965 ، ثم ظهر لاحقًا في مركز باسيفيك للعلوم في سياتل. ^{[ 6 ] [ 7 ]} كما تُعرض نسخة أخرى واسعة النطاق في ردهة شركة إندكس فاند أدفايزرز في إرفاين، كاليفورنيا . ^{[ 8 ]}

يمكن تصميم لوحات لتوزيعات أخرى بتغيير شكل الدبابيس أو توجيهها نحو اتجاه واحد، بل ويمكن تصميم لوحات ثنائية النمط. ^{[ 9 ]} قام جاكوبوس كابتين، أثناء دراسته ونشره لإحصاءات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، بتصميم لوحة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي (الشائع في العديد من العمليات الطبيعية ، وخاصة البيولوجية منها)، تستخدم مثلثات متساوية الساقين بأطوال مختلفة "لضرب" المسافة التي تقطعها الخرزة بدلاً من خطوات ثابتة الحجم "تُجمع". وذلك للمساعدة في تصوره وإثبات جدواه. ^{[ 10 ]} واعتبارًا من عام 1963، حُفظت هذه اللوحة في جامعة جرونينجن . ^{[ 11 ]} كما توجد آلة محسّنة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي تستخدم مثلثات ملتوية ذات أضلاع يمنى أطول، وبالتالي تتجنب إزاحة وسيط الخرز إلى اليسار. ^{[ 12 ]}

إذا ارتدت خرزة إلى اليمين k مرة أثناء هبوطها (وإلى اليسار على الأوتاد المتبقية)، فإنها ستنتهي في الصندوق رقم k بدءًا من اليسار. إذا رمزنا لعدد صفوف الأوتاد في لوحة غالتون بالرمز n ، فإن عدد المسارات إلى الصندوق رقم k في الأسفل يُعطى بمعامل ذي الحدين.${\displaystyle {n \choose k}}$لاحظ أن الخانة الموجودة في أقصى اليسار هي الخانة رقم 0 ، وبجوارها الخانة رقم 1 ، وهكذا، أما الخانة الأبعد إلى اليمين فهي الخانة رقم n ، مما يجعل العدد الإجمالي للخانات يساوي n+1 (لا يشترط أن يحتوي كل صف على عدد من الأوتاد يزيد عن الرقم الذي يُحدد الصف نفسه، على سبيل المثال، يحتوي الصف الأول على وتد واحد، والثاني على وتدين، حتى الصف رقم n الذي يحتوي على n وتدًا، وهو ما يُقابل الخانات رقم n+1 ). إذا كان احتمال ارتداد الكرة إلى اليمين على وتد هو p (والذي يساوي 0.5 على آلة تسوية غير متحيزة)، فإن احتمال وصول الكرة إلى الخانة رقم k يساوي${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}}$هذه دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين . يتوافق عدد الصفوف مع حجم توزيع ذي الحدين بعدد المحاولات، بينما احتمال p لكل دبوس هو احتمال p لتوزيع ذي الحدين .

وفقًا لنظرية النهاية المركزية (وتحديدًا نظرية دي موافر-لابلاس )، فإن التوزيع ذي الحدين يُقارب التوزيع الطبيعي بشرط أن يكون كل من عدد الصفوف وعدد الكرات كبيرًا. ويؤدي تغيير عدد الصفوف إلى اختلاف الانحرافات المعيارية أو عرض منحنى الجرس أو التوزيع الطبيعي في الفئات.

يُقدّم مفهوم الإنتروبيا تفسيراً آخر أكثر دقة من الناحية الفيزيائية : بما أن الطاقة التي تحملها كل حبة ساقطة محدودة، فإن تصادماتها على أي طرف تكون فوضوية لأن المشتقة غير مُعرّفة (لا توجد طريقة لمعرفة الجانب الذي ستسقط منه مسبقاً)، ويقتصر متوسط ​​وتباين كل حبة على قيمة محدودة (لن تخرج الحبات من الصندوق أبداً)، وينشأ الشكل الغاوسي لأنه يمثل توزيع احتمالية الإنتروبيا القصوى لعملية مستمرة ذات متوسط ​​وتباين مُعرّفين. ويمكن تفسير ظهور التوزيع الطبيعي على أنه فقدان كامل لجميع المعلومات التي تحملها كل حبة والمتعلقة بالمسار الذي سلكته، وذلك من خلال تصادماتها الهابطة.

• 
  لوح جالتون (7.5 بوصة × 4.5 بوصة)
• 
  قبل وبعد الدوران
• 
  نسخة طبق الأصل عاملة من الآلة (وفق تصميم معدل قليلاً)

صمّم فرانسيس غالتون لوحته كجزء من عرضٍ قدّمه في مؤتمرات المؤسسة الملكية بتاريخ 27 فبراير 1874. وكان هدفه تشجيع استخدام الترتيب بدلًا من القياس في الإحصاء، بحيث يمكن إسناد أرقام لصفاتٍ مثل الذكاء دون الحاجة إلى بيانات تجريبية. وكان من المفترض أن يوضح تكديس الكرات وفق التوزيع الطبيعي كيفية ظهور القيمة المتوسطة من اختباراتٍ متعددة. ^{[ 13 ]}

كتب فرانسيس غالتون في عام 1889 كتابه بعنوان "الوراثة الطبيعية" :

النظام في الفوضى الظاهرية: لا أعرف شيئًا يُثير الخيال بقدر روعة النظام الكوني الذي يُعبّر عنه قانون تكرار الخطأ. لو عرفه الإغريق، لكانوا قد جسّدوا هذا القانون وألهو به. إنه يسود بهدوء وتواضع تام وسط أشدّ الفوضى. كلما ازداد حجم الحشد، وازدادت الفوضى الظاهرية، ازدادت سيطرته. إنه القانون الأسمى لللاعقلانية. عندما تُؤخذ عينة كبيرة من العناصر الفوضوية وتُرتب حسب حجمها، يظهر شكلٌ بديعٌ وغير متوقع من الانتظام كان كامنًا طوال الوقت. ^{[ 1 ] : 66}

مع ذلك، أراد غالتون أيضًا إثبات أن القيم المتطرفة للذكاء ناتجة عن الوراثة، وهو ما يتناقض ظاهريًا مع تجربته التي تُنتج قيمًا متطرفة نتيجةً للتشتت الناتج عن العشوائية وحدها. وإدراكًا منه لهذه المشكلة، حاول معالجتها عام ١٨٧٥ بالقول إن صندوقه لا يعكس الحالات التي قد يُدخل فيها التحيز بفعل ما أسماه عامل التأثير الرئيسي . ^{[ ٢ ]}

في رسالةٍ كتبها غالتون إلى جورج داروين عام ١٨٧٧، وصف نسخةً ثانيةً من لوحة اللعب، تتألف من مرحلتين، حيث تحتوي الخانات في أسفل المرحلة العليا على فتحاتٍ صغيرةٍ تسمح للكرات الموجودة في خانةٍ مُختارةٍ بالسقوط عبر المرحلة الثانية. كان هدفه توضيح مفهومه عن "العودة إلى المتوسط"، أي أنه بدون تنظيم الزواج، ستختلط "أفضل" فئات المجتمع مع "المتوسطين"، بحيث يعود نسلهم تدريجيًا نحو القيمة المتوسطة. إلا أن هذه النسخة لم تُبنَ.

تم تطوير العديد من الألعاب باستخدام فكرة تغيير مسار الكرات أو الأشياء الأخرى بواسطة الدبابيس:

• باغاتيل
• باتشينكو
• بايازو
• بيغل
• لعبة البينبول
• بلينكو
• الجدار

يُقترح أن لعبة الباغاتيل كانت مصدر إلهام لجهاز غالتون. ^{[ 13 ]}

• موقع مجلس غالتون الإلكتروني الذي يحتوي على معلومات وروابط لموارد مفيدة
• السير فرانسيس، بطول 2.4 متر (8 أقدام ) : آلة الاحتمالات - من الفوضى إلى النظام - العشوائية في أسعار الأسهم  من مستشاري صناديق المؤشرات IFA.com
• الخماسي وعلاقته بالتوزيع الطبيعي من كتاب "الرياضيات ممتعة"
• محاكاة آلة حبوب متعددة المراحل (JS)
• مسار الرخام لباسكال: لوحة غالتون حتمية
• لوحة غالتون اللوغاريتمية الطبيعية ( رسوم متحركة )
• فيديو موسيقي يضم لوحة غالتون من تصميم كارل ماكتاغ