الانحدار نحو المتوسط

في الإحصاء ، يُعرف الانحدار نحو المتوسط (ويُسمى أيضًا الانحدار نحو المتوسط ، أو العودة إلى المتوسط ، أو العودة إلى المتوسط ) بأنه الظاهرة التي إذا كانت إحدى عينات متغير عشوائي متطرفة ، فمن المرجح أن تكون العينة التالية من نفس المتغير العشوائي أقرب إلى متوسطه . [ 2 ^{] [ 3}^{] [ 4}^{] علاوة على} ذلك، عندما يتم أخذ عينات من العديد من المتغيرات العشوائية واختيار النتائج الأكثر تطرفًا عمدًا، فإن ذلك يشير إلى حقيقة أن أخذ عينة ثانية من هذه المتغيرات المختارة (في كثير من الحالات) سيؤدي إلى نتائج "أقل تطرفًا"، أقرب إلى المتوسط الأولي لجميع المتغيرات.

رياضيًا، تعتمد قوة تأثير "الانحدار" هذا على ما إذا كانت جميع المتغيرات العشوائية مُستمدة من نفس التوزيع ، أو ما إذا كانت هناك اختلافات حقيقية في التوزيعات الأساسية لكل متغير عشوائي. في الحالة الأولى، يكون تأثير "الانحدار" مُرجحًا إحصائيًا، أما في الحالة الثانية، فقد يكون أقل قوة أو لا يحدث على الإطلاق.

لذا، يُعدّ مفهوم الانحدار نحو المتوسط مفهومًا مفيدًا يجب مراعاته عند تصميم أي تجربة علمية أو تحليل بيانات أو اختبار يختار عمدًا الأحداث الأكثر تطرفًا، إذ يشير إلى أن إجراء فحوصات متابعة قد يكون مفيدًا لتجنب التسرع في استخلاص استنتاجات خاطئة حول هذه الأحداث؛ فقد تكون أحداثًا متطرفة حقيقية، أو اختيارًا لا معنى له تمامًا بسبب التشويش الإحصائي، أو مزيجًا من الحالتين. ^{[ 5 ]}

أمثلة مفاهيمية

مثال بسيط: طلاب يؤدون اختبارًا

لنفترض أن لدينا فصلًا دراسيًا من الطلاب يخضعون لاختبار من 100 سؤال من نوع صح/خطأ في موضوع معين. إذا اختار جميع الطلاب إجاباتهم عشوائيًا، فإن درجة كل طالب ستكون قيمة من مجموعة متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ، بمتوسط متوقع قدره 50. بطبيعة الحال، سيحصل بعض الطلاب على درجات أعلى بكثير من 50، بينما سيحصل آخرون على درجات أقل بكثير من 50، وذلك بمحض الصدفة. إذا تم اختيار أفضل 10% من الطلاب الحاصلين على أعلى الدرجات، وأُجري لهم اختبار ثانٍ يختارون فيه إجاباتهم عشوائيًا مرة أخرى، فمن المتوقع أن يكون متوسط درجاتهم قريبًا من 50. وبالتالي، فإن متوسط درجات هؤلاء الطلاب سيعود تدريجيًا إلى متوسط درجات جميع الطلاب الذين خضعوا للاختبار الأول. بغض النظر عن درجة الطالب في الاختبار الأول، فإن أفضل توقع لدرجته في الاختبار الثاني هو 50.

إذا لم يكن اختيار الإجابات على أسئلة الاختبار عشوائيًا - أي إذا لم يكن هناك حظ (جيد أو سيئ) أو تخمين عشوائي في الإجابات التي قدمها الطلاب - فمن المتوقع أن يحصل جميع الطلاب على نفس الدرجة في الاختبار الثاني كما حصلوا عليها في الاختبار الأصلي، ولن يكون هناك تراجع نحو المتوسط.

تقع معظم الحالات الواقعية بين هذين النقيضين: على سبيل المثال، يمكن اعتبار درجات الامتحانات مزيجًا من المهارة والحظ . في هذه الحالة، تتألف مجموعة الطلاب الحاصلين على درجات أعلى من المتوسط من الطلاب المهرة الذين لم يواجهوا حظًا سيئًا بشكل خاص، بالإضافة إلى الطلاب غير المهرة الذين حالفهم حظ كبير. عند إعادة اختبار هذه المجموعة، من غير المرجح أن يكرر غير المهرة حظهم الجيد، بينما سيحظى المهرة بفرصة ثانية لمواجهة سوء الحظ. وبالتالي، من غير المرجح أن يحقق الطلاب الذين أدوا أداءً جيدًا سابقًا نفس الأداء الجيد في الاختبار الثاني حتى لو لم يتمكنوا من تكرار أدائهم في الاختبار الأول.

فيما يلي مثال على هذا النوع الثاني من الانحدار نحو المتوسط. يخضع فصل دراسي من الطلاب لاختبارين متطابقين في يومين متتاليين. لوحظ بشكل متكرر أن الطلاب الأقل أداءً في اليوم الأول يميلون إلى تحسين درجاتهم في اليوم الثاني، بينما يميل الطلاب الأكثر أداءً في اليوم الأول إلى التراجع في اليوم الثاني. تحدث هذه الظاهرة لأن درجات الطلاب تتحدد جزئيًا بقدراتهم الكامنة وجزئيًا بالصدفة. في الاختبار الأول، يحالف الحظ بعض الطلاب ويحصلون على درجات أعلى من قدراتهم، بينما لا يحالف الحظ آخرين ويحصلون على درجات أقل من قدراتهم. بعض الطلاب المحظوظين في الاختبار الأول سيحالفهم الحظ مرة أخرى في الاختبار الثاني، لكن أغلبهم سيحصل على درجات متوسطة أو أقل من المتوسط (بالنسبة لهم). لذلك، من المرجح أن يحصل الطالب الذي حالفه الحظ وتفوق على قدراته في الاختبار الأول على درجة أسوأ في الاختبار الثاني بدلاً من درجة أفضل. وبالمثل، فإن الطلاب الذين حصلوا على درجات أقل من قدراتهم في الاختبار الأول سيميلون إلى رؤية درجاتهم ترتفع في الاختبار الثاني. كلما زاد تأثير الحظ في إحداث حدث متطرف، قل احتمال تكرار الحظ نفسه في أحداث متعددة.

أمثلة أخرى

إذا كان لديك مجموعتان من الكرات، إحداهما خضراء والأخرى زرقاء، واخترت كرة واحدة حتى يصبح لديك ست كرات، فهناك احتمال بنسبة 1/64 أن يكون لديك ست كرات خضراء، واحتمال بنسبة 6/64 أن يكون لديك خمس كرات خضراء وكرة زرقاء واحدة، واحتمال بنسبة 15/64 أن يكون لديك أربع كرات خضراء وكرتان زرقاوان، واحتمال بنسبة 20/64 أن يكون لديك ثلاث كرات خضراء وثلاث كرات زرقاء. أما إذا اخترت مجموعتين مختلفتين من الكرات، فمن المرجح أن يكون لديك حوالي نصف الكرات من نفس اللون.

إذا فاز فريقك الرياضي المفضل بالبطولة العام الماضي، فماذا يعني ذلك بالنسبة لفرصه في الفوز الموسم المقبل؟ بقدر ما يعود هذا الفوز إلى المهارة (كأن يكون الفريق في حالة بدنية جيدة، أو مع مدرب متميز، إلخ)، فإن فوزه يشير إلى احتمالية فوزه مرة أخرى العام المقبل. ولكن كلما زاد اعتماد هذا الفوز على الحظ (كأن تكون فرق أخرى متورطة في فضيحة تعاطي منشطات، أو أن تكون القرعة مواتية، أو أن تكون اختيارات اللاعبين الجدد مثمرة، إلخ)، قلّت احتمالية فوزه مرة أخرى العام المقبل. ^{[ 6 ]}

إذا حققت مؤسسة تجارية أرباحاً عالية في ربع سنوي، على الرغم من بقاء الأسباب الكامنة وراء أدائها دون تغيير، فمن المرجح أن يكون أداؤها أقل جودة في الربع التالي. ^{[ 7 ]}

لاعبو البيسبول الذين يحققون نتائج جيدة في موسمهم الأول غالباً ما يكون أداؤهم أسوأ في موسمهم الثاني، وهو ما يُعرف بـ" تراجع الموسم الثاني ". وبالمثل، يُعدّ الانحدار نحو المتوسط تفسيراً لظاهرة " لعنة غلاف مجلة سبورتس إليستريتد " - حيث من المرجح أن تتبع فترات الأداء الاستثنائي التي تُسفر عن الظهور على الغلاف فترات من الأداء المتوسط، مما يُعطي انطباعاً بأن الظهور على الغلاف يُسبب تراجع مستوى الرياضي. ^{[ 8 ]}

تاريخ

اكتشاف

مفهوم الانحدار الوراثي مستمد من علم الوراثة ، وقد شاع استخدامه على يد السير فرانسيس غالتون في أواخر القرن التاسع عشر مع نشره كتابه " الانحدار نحو المتوسط في الطول الوراثي" . ^{[ 9 ]} لاحظ غالتون أن الصفات المتطرفة (مثل الطول) لدى الآباء لا تنتقل بالكامل إلى أبنائهم، بل تتراجع هذه الصفات لدى الأبناء نحو نقطة متوسطة (وهي النقطة التي عُرفت لاحقًا بالمتوسط). ومن خلال قياس أطوال مئات الأشخاص، تمكن من تحديد مقدار الانحدار نحو المتوسط، وتقدير حجم تأثيره. كتب غالتون أن "متوسط انحدار الأبناء هو نسبة ثابتة من متوسط انحرافات آبائهم". وهذا يعني أن الفرق بين الطفل ووالديه في صفة معينة يتناسب طرديًا مع انحراف والديه عن المتوسط العام في المجتمع. إذا كان طول كل من والدي الطفل يزيد بوصتين عن متوسط طول الرجال والنساء، فسيكون طول الطفل، في المتوسط، أقصر من طول والديه بمقدار معين (يُعرف اليوم بواحد ناقص معامل الانحدار ) مضروبًا في بوصتين. وقدّر غالتون هذا المعامل للطول بنحو ثلثي: أي أن طول الفرد سيبلغ حوالي نقطة المنتصف التي تُمثل ثلثي انحراف طول والديه عن متوسط طول المجتمع.

نشر غالتون هذه النتائج أيضًا ^{[ 10 ]} باستخدام مثال أبسط يتمثل في سقوط الكريات عبر لوحة غالتون لتشكيل توزيع طبيعي متمركز مباشرة أسفل نقطة دخولها. قد تُطلق هذه الكريات بعد ذلك إلى نفق ثانٍ يتوافق مع قياس ثانٍ. ثم طرح غالتون السؤال المعاكس: "من أين أتت هذه الكريات؟"

لم تكن الإجابة " في المتوسط مباشرة فوقها " . بل كانت " في المتوسط، أقرب إلى المنتصف " ، وذلك ببساطة لأن عدد الكريات التي يمكن أن تنحرف يسارًا فوقها باتجاه المنتصف كان أكبر من عددها في أقصى اليسار والتي يمكن أن تنحرف يمينًا نحو الداخل. ^{[ 11 ]}

الاستخدام المتطور للمصطلح

صاغ غالتون مصطلح "الانحدار" لوصف حقيقة قابلة للملاحظة في وراثة الصفات الوراثية الكمية متعددة العوامل ، وهي أن صفات نسل الآباء الذين تقع صفاتهم في طرفي التوزيع غالبًا ما تميل إلى أن تكون أقرب إلى مركز التوزيع، أي متوسطه. وقد قام غالتون بتحديد هذا الاتجاه كميًا، وبذلك ابتكر تحليل الانحدار الخطي ، واضعًا بذلك الأساس للكثير من النماذج الإحصائية الحديثة. ومنذ ذلك الحين، استُخدم مصطلح "الانحدار" في سياقات أخرى، وقد يستخدمه الإحصائيون المعاصرون لوصف ظواهر مثل انحياز العينة، والتي لا ترتبط كثيرًا بملاحظات غالتون الأصلية في مجال علم الوراثة.

قدّم غالتون تفسيره لظاهرة الانحدار التي لاحظها في علم الأحياء على النحو التالي: "يرث الطفل جزءًا من والديه، وجزءًا من أسلافه. وبشكل عام، كلما امتد نسبه إلى الوراء، ازداد عدد أسلافه وتنوعهم، حتى يصبحوا لا يختلفون عن أي عينة مماثلة العدد مأخوذة عشوائيًا من الجنس البشري ككل." ^{[ 9 ]} يتطلب قول غالتون بعض التوضيح في ضوء معرفتنا بعلم الوراثة: يتلقى الأطفال المادة الوراثية من والديهم، ولكن يمكن نقل المعلومات الوراثية (مثل قيم الصفات الموروثة) من الأسلاف السابقين عبر والديهم (وقد لا تكون قد ظهرت في والديهم). قد يكون متوسط الصفة غير عشوائي ومحددًا بضغط الانتقاء، لكن توزيع القيم حول المتوسط يعكس توزيعًا إحصائيًا طبيعيًا.

إذا كان لدى أبوين نفس النمط الفرداني ولديهما أليل سائد واحد وأليل متنحي واحد لكل جين، فإن معظم نسلهما سيكون له نمط ظاهري وسيط مع ميل البعض نحو النمط الظاهري السائد أو النمط الظاهري المتنحي.

إن ظاهرة علم الوراثة السكانية التي درسها غالتون هي حالة خاصة من "الانحدار إلى المتوسط"؛ وغالبًا ما يستخدم هذا المصطلح لوصف العديد من الظواهر الإحصائية التي تظهر فيها البيانات توزيعًا طبيعيًا حول المتوسط.

أهمية

يُعدّ الانحدار نحو المتوسط اعتبارًا مهمًا في تصميم التجارب .

لنفترض مثالًا افتراضيًا لألف شخص من نفس الفئة العمرية، خضعوا لفحص طبي وتم تقييم خطر إصابتهم بنوبة قلبية. يمكن استخدام الإحصاءات لقياس مدى نجاح التدخل على الخمسين شخصًا الأكثر عرضة للخطر، وفقًا لاختبار يتضمن درجة من عدم اليقين. قد يكون التدخل تغييرًا في النظام الغذائي، أو ممارسة الرياضة، أو علاجًا دوائيًا. حتى لو كانت التدخلات غير مجدية، فمن المتوقع أن تُظهر المجموعة الخاضعة للاختبار تحسنًا في فحصها البدني التالي، نظرًا لظاهرة الانحدار نحو المتوسط. أفضل طريقة لمواجهة هذه الظاهرة هي تقسيم المجموعة عشوائيًا إلى مجموعتين: مجموعة تتلقى العلاج، ومجموعة لا تتلقاه. عندئذٍ، يُعتبر العلاج فعالًا فقط إذا تحسنت حالة المجموعة التي تلقته أكثر من المجموعة التي لم تتلقاه.

بدلاً من ذلك، يمكن اختبار مجموعة من الأطفال المحرومين لتحديد من لديهم أعلى إمكانات للالتحاق بالجامعة. ويمكن تحديد أفضل 1% منهم وتزويدهم بدورات إثرائية خاصة، ودروس خصوصية، واستشارات، وأجهزة حاسوب. حتى لو كان البرنامج فعالاً، فمن المرجح أن تكون متوسط درجاتهم أقل عند إعادة الاختبار بعد عام. مع ذلك، في هذه الظروف، قد يُعتبر من غير الأخلاقي وجود مجموعة ضابطة من الأطفال المحرومين الذين تُتجاهل احتياجاتهم الخاصة. يمكن استخدام حساب رياضي لتقليص حجم العينة لتصحيح هذا التأثير، على الرغم من أنه لن يكون بنفس دقة طريقة المجموعة الضابطة (انظر أيضاً مثال شتاين ).

يمكن استغلال هذا التأثير للاستدلال والتقدير العام. فمن المرجح أن يكون المكان الأكثر حرارة في البلاد اليوم أبرد غدًا، وليس أسخن، مقارنةً باليوم. كما أن أفضل صندوق استثماري أداءً خلال السنوات الثلاث الماضية يُرجح أن يشهد انخفاضًا في أدائه النسبي خلال السنوات الثلاث المقبلة، بدلًا من تحسنه. ومن المرجح أن يحقق أنجح ممثل في هوليوود هذا العام إيرادات أقل، بدلًا من إيرادات أعلى، لفيلمه القادم. أما لاعب البيسبول صاحب أعلى معدل ضرب في منتصف الموسم، فمن المرجح أن ينخفض معدله خلال الفترة المتبقية من الموسم، بدلًا من أن يرتفع.

سوء الفهم

يمكن إساءة استخدام مفهوم الانحدار نحو المتوسط بسهولة بالغة.

في مثال اختبار الطلاب المذكور أعلاه، افترضنا ضمنيًا أن ما تم قياسه لم يتغير بين القياسين. لنفترض، مع ذلك، أن المقرر الدراسي يُقيّم بنظام النجاح/الرسوب، وأن على الطلاب الحصول على درجة أعلى من 70 في كلا الاختبارين للنجاح. في هذه الحالة، لن يكون لدى الطلاب الذين حصلوا على أقل من 70 في المرة الأولى أي حافز للتفوق، وقد يحصلون على درجات أسوأ في المتوسط في المرة الثانية. أما الطلاب الذين حصلوا على درجة أعلى بقليل من 70، فسيكون لديهم حافز قوي للدراسة والتركيز أثناء الاختبار. في هذه الحالة، قد نلاحظ انحرافًا عن درجة 70، حيث تنخفض الدرجات الأقل منها وترتفع الدرجات الأعلى منها. من الممكن أن تؤدي التغيرات بين أوقات القياس إلى تعزيز أو تعويض أو عكس الميل الإحصائي للانحدار نحو المتوسط.

إن الانحدار الإحصائي نحو المتوسط ليس ظاهرة سببية . فالطالب الحاصل على أدنى درجة في الاختبار في اليوم الأول لن يتحسن بالضرورة بشكل ملحوظ في اليوم الثاني نتيجةً لهذا التأثير. في المتوسط، يتحسن أداء الطلاب الحاصلين على أدنى الدرجات، ولكن هذا صحيح فقط لأن احتمالية تعرضهم لسوء الحظ أكبر من احتمالية تعرضهم للنجاح. وإذا كانت الدرجة تُحدد عشوائيًا، أو إذا كانت تتضمن تباينًا أو خطأً عشوائيًا، بدلًا من أن تُحدد بناءً على القدرة الأكاديمية للطالب أو كونها "قيمة حقيقية"، فإن هذه الظاهرة ستؤثر. وقد وقع خطأ شائع في هذا الصدد في مجال التعليم. فقد لوحظ أن الطلاب الذين تلقوا الثناء على أدائهم الجيد تراجع أداؤهم في الاختبار التالي، بينما تحسن أداء الطلاب الذين عوقبوا على أدائهم الضعيف. وبناءً على ذلك، قرر المعلمون التوقف عن الثناء والاستمرار في العقاب. ^{[ 12 ]} كان هذا القرار خاطئًا، لأن الانحدار نحو المتوسط لا يقوم على السببية، بل على الخطأ العشوائي في التوزيع الطبيعي حول المتوسط.

على الرغم من أن القياسات الفردية المتطرفة تميل إلى الانحدار نحو المتوسط، فإن العينة الثانية من القياسات لن تكون أقرب إلى المتوسط من الأولى. لنعد إلى الطلاب. لنفترض أن ميل الأفراد المتطرفين هو الانحدار بنسبة 10% نحو المتوسط البالغ 80، لذا من المتوقع أن يحصل الطالب الذي حصل على 100 في اليوم الأول على 98 في اليوم الثاني، والطالب الذي حصل على 70 في اليوم الأول على 71 في اليوم الثاني. هذه التوقعات أقرب إلى المتوسط من درجات اليوم الأول. لكن درجات اليوم الثاني ستتفاوت حول توقعاتها؛ بعضها سيكون أعلى وبعضها سيكون أقل. بالنسبة للأفراد المتطرفين، نتوقع أن تكون الدرجة الثانية أقرب إلى المتوسط من الدرجة الأولى، ولكن بالنسبة لجميع الأفراد، نتوقع أن يكون توزيع المسافات من المتوسط متساوياً في مجموعتي القياسات.

فيما يتعلق بالنقطة السابقة، فإن الانحدار نحو المتوسط يعمل بنفس الكفاءة في كلا الاتجاهين. نتوقع أن يكون أداء الطالب الحاصل على أعلى درجة في اليوم الثاني أسوأ في اليوم الأول. وإذا قارنا أفضل طالب في اليوم الأول بأفضل طالب في اليوم الثاني، سواءً كان هو نفسه أم لا، فلن نجد أي ميل للانحدار نحو المتوسط في أي من الاتجاهين. نتوقع أن تكون أفضل الدرجات في كلا اليومين على نفس البعد من المتوسط.

مغالطات الانحدار

تميل العديد من الظواهر إلى أن تُعزى إلى أسباب خاطئة عندما لا يؤخذ في الاعتبار الانحدار نحو المتوسط.

من الأمثلة المتطرفة كتاب هوراس سيكريست الصادر عام ١٩٣٣ بعنوان " انتصار التواضع في الأعمال" ، حيث جمع أستاذ الإحصاء كميات هائلة من البيانات لإثبات أن معدلات ربح الشركات التنافسية تميل نحو المتوسط بمرور الوقت. في الواقع، لا يوجد مثل هذا التأثير؛ فتباين معدلات الربح يكاد يكون ثابتًا بمرور الوقت. لم يصف سيكريست سوى الانحدار الشائع نحو المتوسط. وقد شبّه أحد المراجعين المستائين، هارولد هوتلينج ، الكتاب بـ"إثبات جدول الضرب بترتيب الفيلة في صفوف وأعمدة، ثم فعل الشيء نفسه مع أنواع أخرى كثيرة من الحيوانات". ^{[ ١٣ ]}

ربما تُقدّم حسابات وتفسيرات "درجات التحسّن" في الاختبارات التعليمية الموحدة في ولاية ماساتشوستس مثالًا آخر على مغالطة الانحدار. ففي عام ١٩٩٩، وُضعت أهداف تحسينية للمدارس. وقامت وزارة التعليم، لكل مدرسة، بحساب الفرق في متوسط الدرجات التي حققها الطلاب بين عامي ١٩٩٩ و٢٠٠٠. وسرعان ما لُوحظ أن معظم المدارس الأقل أداءً قد حققت أهدافها، وهو ما اعتبرته وزارة التعليم تأكيدًا على سلامة سياساتها. ومع ذلك، لُوحظ أيضًا أن العديد من المدارس التي يُفترض أنها الأفضل في الولاية، مثل مدرسة بروكلين الثانوية (التي تضم ١٨ طالبًا وصلوا إلى المرحلة النهائية من منحة الاستحقاق الوطنية)، قد صُنّفت على أنها فاشلة. وكما هو الحال في كثير من القضايا المتعلقة بالإحصاءات والسياسات العامة، لا تزال هذه المسألة محل نقاش، ولكن لم تُعلن "درجات التحسّن" في السنوات اللاحقة، ويبدو أن النتائج تُشير إلى مغالطة الانحدار نحو المتوسط.

أشار عالم النفس دانيال كانيمان ، الحائز على جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية لعام 2002 ، إلى أن الانحدار نحو المتوسط قد يفسر سبب ظهور التوبيخ وكأنه يحسن الأداء، بينما يبدو أن الثناء يأتي بنتائج عكسية. ^{[ 14 ]}

لقد عشتُ تجربةً مُلهمةً للغاية خلال مسيرتي المهنية، حين حاولتُ تعليم مُدرّبي الطيران أن الثناء أكثر فعاليةً من العقاب في تعزيز اكتساب المهارات. بعد أن أنهيتُ خطابي الحماسي، رفع أحد أكثر المُدرّبين خبرةً في الحضور يده وألقى خطابًا قصيرًا، بدأه بالاعتراف بأن التعزيز الإيجابي قد يكون مُفيدًا للطيور، لكنه نفى كونه الأمثل لطلاب الطيران. قال: "في كثير من الأحيان، أثنيتُ على طلاب الطيران لتنفيذهم المتقن لبعض المناورات الجوية، ولكن في الغالب، عندما يُعيدون المحاولة، يكون أداؤهم أسوأ. من ناحية أخرى، كثيرًا ما صرختُ في وجههم بسبب سوء التنفيذ، وفي الغالب يكون أداؤهم أفضل في المرة التالية. لذا، من فضلكم، لا تُخبرونا أن التعزيز يُجدي والعقاب لا يُجدي، لأن العكس هو الصحيح." كانت تلك لحظة بهيجة، أدركت فيها حقيقة مهمة عن العالم: لأننا نميل إلى مكافأة الآخرين عندما يُحسنون التصرف ومعاقبتهم عندما يُسيئون، ولأن هناك ميلاً نحو المتوسط، فإن جزءًا من الطبيعة البشرية هو أننا نُعاقب إحصائيًا على مكافأة الآخرين ونُكافأ على معاقبتهم. رتبتُ على الفور تجربة عملية، حيث قام كل مشارك برمي عملتين معدنيتين على هدف خلف ظهره، دون أي ردود فعل. قمنا بقياس المسافات من الهدف، ولاحظنا أن أولئك الذين حققوا أفضل النتائج في المرة الأولى تراجع أداؤهم في المحاولة الثانية، والعكس صحيح. لكنني كنت أعلم أن هذه التجربة لن تُزيل آثار التعرض المستمر طوال العمر لهذا الاحتمال المُشوِّه.

كما تم شرح مغالطة الانحدار في كتاب رولف دوبيلي " فن التفكير بوضوح" .

شجعت سياسات إنفاذ القانون في المملكة المتحدة على وضع كاميرات مراقبة السرعة، الثابتة منها والمتحركة، في مواقع ظاهرة للعيان في المناطق التي تكثر فيها الحوادث . وقد بُرِّرَت هذه السياسة باعتقادٍ بوجود انخفاضٍ مماثل في حوادث المرور الخطيرة بعد تركيب الكاميرا. ومع ذلك، أشار الإحصائيون إلى أنه على الرغم من وجود فائدة صافية في إنقاذ الأرواح، فإن إغفال تأثيرات الانحدار نحو المتوسط يؤدي إلى المبالغة في تقدير الفوائد. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

لطالما أدرك المحللون الإحصائيون تأثير الانحدار نحو المتوسط في الرياضة، حتى أنهم أطلقوا عليه اسمًا خاصًا: " تراجع الموسم الثاني ". على سبيل المثال، قدم كارميلو أنتوني، لاعب فريق دنفر ناغتس في دوري كرة السلة الأمريكي للمحترفين ، موسمًا استثنائيًا في عام 2004. كان أداؤه متميزًا لدرجة أنه لم يكن من المتوقع أن يكرره: ففي عام 2005، انخفضت أرقام أنتوني مقارنةً بموسمه الأول. تتعدد أسباب "تراجع الموسم الثاني"، إذ تعتمد الرياضة على التكيف والتعديل المضاد، لكن التميز المبني على الحظ في الموسم الأول يُعد سببًا وجيهًا. قد يُفسر الانحدار نحو المتوسط في الأداء الرياضي أيضًا ما يُعرف بـ" لعنة غلاف مجلة سبورتس إليستريتد " و" لعنة مادن ". لدى جون هولينجر اسم بديل لظاهرة الانحدار نحو المتوسط: "قاعدة الصدفة" ، بينما يُطلق عليها بيل جيمس اسم "مبدأ بليكسي جلاس".

نظراً لأن المفاهيم الشائعة تركز على الانحدار نحو المتوسط كتفسير لتراجع أداء الرياضيين من موسم لآخر، فإنها غالباً ما تتجاهل حقيقة أن هذا الانحدار قد يفسر أيضاً تحسن الأداء. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى متوسط الضرب للاعبي دوري البيسبول الرئيسي في موسم ما، فإن أولئك الذين كان متوسط ضربهم أعلى من متوسط الدوري يميلون إلى الانحدار نحو المتوسط في العام التالي، بينما يميل أولئك الذين كان متوسط ضربهم أقل من المتوسط إلى التقدم نحو المتوسط في العام التالي. ^{[ 18 ]}

ظواهر إحصائية أخرى

يشير مبدأ الانحدار نحو المتوسط ببساطة إلى أنه بعد حدث عشوائي متطرف، من المرجح أن يكون الحدث العشوائي التالي أقل تطرفًا. ولا يعني هذا بأي حال من الأحوال أن الحدث المستقبلي "يعوض" أو "يعادل" الحدث السابق، على الرغم من افتراض ذلك في مغالطة المقامر ( وقانون المتوسطات المتغير ). وبالمثل، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن المتوسط، على المدى الطويل، سيميل نحو القيمة المتوقعة، لكنه لا يُقدم أي بيان بشأن التجارب الفردية. على سبيل المثال، بعد ظهور 10 صور متتالية عند رمي عملة متوازنة (وهو حدث نادر ومتطرف)، ينص مبدأ الانحدار نحو المتوسط على أن عدد مرات ظهور الصور المتتالية سيكون على الأرجح أقل من 10، بينما ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه على المدى الطويل، من المرجح أن يتعادل هذا الحدث، وأن متوسط نسبة ظهور الصور سيميل إلى النصف. في المقابل، تفترض مغالطة المقامر خطأً أن العملة "مُهيأة" الآن لظهور سلسلة من الكتابة لتحقيق التوازن.

أما التأثير المعاكس فهو الانحدار نحو الذيل، الناتج عن توزيع ذي كثافة احتمالية غير معدومة باتجاه اللانهاية. ^{[ 19 ]}

تعريف الانحدار الخطي البسيط لنقاط البيانات

هذا هو تعريف الانحدار نحو المتوسط الذي يتبع إلى حد كبير الاستخدام الأصلي للسير فرانسيس جالتون . ^{[ 9 ]}

لنفترض أن لدينا $n$ نقطة بيانات ${yᵢ, xᵢ} ،$ حيث $i = 1, 2, ..., n$ . نريد إيجاد معادلة خط الانحدار ، أي الخط المستقيم $.$ $y=\alpha +\beta x\,,$ والذي من شأنه أن يوفر أفضل تطابق لنقاط البيانات. (قد لا يكون الخط المستقيم هو منحنى الانحدار المناسب لنقاط البيانات المعطاة). هنا، يُفهم مصطلح "الأفضل" كما في طريقة المربعات الصغرى : أي الخط الذي يُقلل مجموع مربعات البواقي لنموذج الانحدار الخطي. بعبارة أخرى، يحل العددان $α$ و $β$ مسألة التقليل التالية:

يجد $\min _{\alpha ,\,\beta }Q(\alpha ,\beta )$ ، أين $Q(\alpha ,\beta )=\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{\,2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-\alpha -\beta x_{i})^{2}\$

باستخدام حساب التفاضل والتكامل، يمكن إثبات أن قيم $α$ و $β$ التي تقلل دالة الهدف $Q$ هي $\begin{aligned} \hat \beta = \frac \sum_{i=1}^n(x_{i}-\bar {x})(y_{i}-\bar {y})}{\sum_{i=1}^n(x_{i}-\bar {x})^2}} = \frac \overline {xy}-\bar {x}}{\bar {y}}{\overline {x^2}-\bar {x}^2} = \frac \component\cos ... {\beta }}\,{\bar {x}},\end{aligned}}}$

حيث يمثل $r xy$ معامل الارتباط بين $x$ و $y$ ، $و s x$ الانحراف المعياري لـ $x$ ، و $s y$ الانحراف المعياري لـ $y$ . يشير الخط الأفقي فوق المتغير إلى متوسط العينة لهذا المتغير. على سبيل المثال: ${\overline {xy}}={\tfrac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\ .$

بتعويض التعبيرات أعلاه عن $︿ α$ و $︿ β$ في المعادلة $y = α + βx$ نحصل على القيم المُقدَّرة ${\hat {y}}={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x,\,$

مما ينتج عنه ${\frac {{\hat {y}}-{\bar {y}}}{s_{y}}}=r_{xy}{\frac {x-{\bar {x}}}{s_{x}}}$

يوضح هذا الدور الذي يلعبه $r xy$ في خط الانحدار لنقاط البيانات المعيارية.

إذا كان $-1 < r xy < 1$ ، فإننا نقول إن نقاط البيانات تُظهر انحدارًا نحو المتوسط. بعبارة أخرى، إذا كان الانحدار الخطي هو النموذج المناسب لمجموعة من نقاط البيانات التي لا يكون معامل ارتباط العينة فيها مثاليًا، فإن هناك انحدارًا نحو المتوسط. القيمة المعيارية المتوقعة (أو المُطابقة) لـ $y$ أقرب إلى متوسطها من القيمة المعيارية لـ $x$ إلى متوسطها.

تعريفات التوزيع ثنائي المتغيرات ذي التوزيعات الهامشية المتطابقة

تعريف مقيد

ليكن $X1 و$ $X2$ متغيرين عشوائيين لهما توزيعات هامشية متطابقة بمتوسط $μ$ . في هذه الصيغة، يُقال إن التوزيع الثنائي لـ $X1 و$ $X2$ يُظهر انحدارًا نحو المتوسط إذا $كان$ ، لكل $عدد$ $c > μ$ ، $\mu \leq \operatorname {E} [X_{2}\vert X_{1}=c]<c\,,$ مع تحقق المتباينات العكسية لـ $c < μ$ . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

فيما يلي وصف غير رسمي للتعريف أعلاه. لنفترض وجود مجموعة من الأدوات . لكل أداة عددان، $X1$ و $X2$ $،$ ولنقل امتدادها الأيسر ( $X1$ $)$ وامتدادها الأيمن ( $X2$ $)$ . لنفترض أن التوزيعات الاحتمالية لـ $X1$ $و$ $X2$ في المجموعة متطابقة، وأن متوسطي $X1$ $و$ $X2$ $كلاهما$ يساوي $μ . الآن$ $،$ نختار أداة عشوائية من المجموعة، ونرمز لقيمة X1 الخاصة بها بالرمز $c$ $($ $قد$ تكون $c أكبر من$ $μ$ أو مساوية لها أو أصغر منها $)$ . ليس لدينا أي معلومات عن قيمة $X2$ لهذه الأداة بعد. لنرمز $بـ d$ إلى القيمة المتوقعة لـ $X2$ $لهذه$ الأداة تحديدًا؛ أي، لنرمز بـ $d$ إلى متوسط قيمة $X2 لجميع$ $الأدوات$ في المجموعة التي يكون فيها $X1$ $=$ $c$ $.$ $إذا$ تحقق الشرط التالي:

مهما كانت قيمة $c$ ، فإن $d$ تقع بين $μ$ و $c$ (أي أن $d$ أقرب إلى $μ$ من $c$ )،

ثم نقول أن $X 1$ و $X 2$ يظهران انحدارًا نحو المتوسط .

يتوافق هذا التعريف إلى حد كبير مع الاستخدام الشائع الحالي، المتطور من استخدام غالتون الأصلي، لمصطلح "الانحدار نحو المتوسط". وهو "مُقيِّد" بمعنى أنه ليس كل توزيع ثنائي المتغيرات ذي التوزيعات الهامشية المتطابقة يُظهر انحدارًا نحو المتوسط (وفقًا لهذا التعريف). ^{[ 21 ]}

نظرية

إذا كان زوج من المتغيرات العشوائية $(X ، Y)$ يتبع التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، فإن المتوسط الشرطي $E(Y | X)$ هو دالة خطية لـ $X.$ ويحدد معامل الارتباط $r$ بين $X$ و $Y$ ، بالإضافة إلى المتوسطات والتباينات الهامشية لـ $X$ و $Y$ ، هذه العلاقة الخطية. ${\frac {\operatorname {E} (Y\vert X)-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{y}}}=r{\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma _{x}}},$

حيث $E[X]$ و $E[Y]$ هما القيم المتوقعة لـ $X$ و $Y$ ، على التوالي، و $σ x$ و $σ y$ هما الانحرافات المعيارية لـ $X$ و $Y$ ، على التوالي.

وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة الشرطية لـ $Y$ ، بافتراض أن X $أعلى من متوسطه بمقدار$ $t$ انحرافات معيارية (ويشمل ذلك الحالة التي يكون فيها أقل من متوسطه، عندما $t < 0$ )، تساوي $rt$ انحرافات معيارية أعلى من متوسط $Y.$ وبما أن $| r | \leq 1$ ، فإن $Y$ لا يبعد عن المتوسط أكثر من $X$ ، وذلك قياسًا بعدد الانحرافات المعيارية. ^{[ 22 ]}

وبالتالي، إذا كان $0 \leq r < 1$ ، فإن $(X ، Y)$ يظهر الانحدار نحو المتوسط (بحسب هذا التعريف).

التعريف العام

اقترح سامويلز التعريف التالي للعودة نحو المتوسط كبديل للتعريف الأكثر تقييدًا للانحدار نحو المتوسط أعلاه. ^{[ 20 ]}

ليكن $X1$ و $X2$ متغيرين عشوائيين لهما توزيعات هامشية متطابقة بمتوسط $μ$ . في هذه الصيغة، يُقال إن $التوزيع$ الثنائي لـ $X1 و$ $X2$ يُظهر ارتدادًا نحو المتوسط إذا $كان$ ، لكل $عدد$ $c$ ، $\displaystyle \begin{aligned}\mu &\leq \operatorname {E} [X_{2}\vert X_{1}>c]<\operatorname {E} [X_{1}\vert X_{1}>c],\text{ و}}\\\mu &\geq \operatorname {E} [X_{2}\vert X_{1}<c]>\operatorname {E} [X_{1}\vert X_{1}<c].\end{aligned}}}$

هذا التعريف "عام" بمعنى أن كل توزيع ثنائي المتغيرات مع التوزيعات الهامشية المتطابقة يظهر ارتدادًا نحو المتوسط ، بشرط استيفاء بعض المعايير الضعيفة (عدم الانحلال والاعتماد الإيجابي الضعيف كما هو موضح في ورقة سامويلز ^{[ 20 ]} ).

تعريف بديل في الاستخدام المالي

يستخدم جيريمي سيجل مصطلح "العودة إلى المتوسط" لوصف سلسلة زمنية مالية تكون فيها العوائد " غير مستقرة للغاية على المدى القصير، ولكنها مستقرة للغاية على المدى الطويل". وبشكل أكثر دقة، هي سلسلة ينخفض فيها الانحراف المعياري لمتوسط العوائد السنوية بوتيرة أسرع من مقلوب فترة الاحتفاظ، مما يعني أن العملية ليست عشوائية ، بل إن فترات انخفاض العوائد تتبعها بشكل منهجي فترات تعويضية من ارتفاع العوائد، كما هو الحال في العديد من الشركات الموسمية، على سبيل المثال. ^{[ 23 ]}

انظر أيضاً

مبدأ هاردي-واينبرغ – مبدأ في علم الوراثة
الصلاحية الداخلية - مدى دعم دليل ما لادعاء حول السببية والنتيجة
قانون الأعداد الكبيرة – متوسطات التجارب المتكررة تتقارب نحو القيمة المتوقعة
المارتينجال (نظرية الاحتمالات) – نموذج في نظرية الاحتمالات
تخفيف الانحدار – التحيز الإحصائي في الانحدارات الخطية
تحيز الاختيار – التحيز في التحليل الإحصائي الناتج عن الاختيار غير العشوائي

مراجع

↑ غالتون، فرانسيس (1901-1902). مجلة العلوم الشعبية الشهرية، المجلد 60 ، "التحسين المحتمل للجنس البشري في ظل الظروف الحالية للقانون والعاطفة"، ص 224
↑ إيفريت، بكالوريوس العلوم (12 أغسطس 2002). قاموس كامبريدج للإحصاء ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0521810999.
↑ أبتون، غراهام؛ كوك، إيان (21 أغسطس 2008). قاموس أكسفورد للإحصاء . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-954145-4.
↑ ستيجلر، ستيفن م (1997). "الانحدار نحو المتوسط، من منظور تاريخي" . الأساليب الإحصائية في البحوث الطبية . 6 (2): 103-114 . doi : 10.1191/096228097676361431 . PMID 9261910 .
↑ شيوليرو، أ؛ باراديس، ج؛ ريتش، ب؛ هانلي، ج. أ. (2013). "تقييم العلاقة بين القيمة الأساسية لمتغير مستمر والتغير اللاحق بمرور الوقت" . مجلة فرونتيرز في الصحة العامة . 1 : 29. doi : 10.3389/fpubh.2013.00029 . PMC 3854983. PMID 24350198 .
↑ "مراجعة إحصائية لكتاب "التفكير، سريعًا وبطيئًا" لدانيال كانيمان" . إحصاءات بيرنز . 11 نوفمبر 2013. تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2022 .
↑ "ما هو الانحدار نحو المتوسط؟ تعريف وأمثلة" . conceptually.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2017 .
↑ غولديكر، بن (4 أبريل 2009). العلم الزائف . فورث إستيت. ص 39. ISBN 978-0007284870.
1 2 3 4 غالتون، ف. (1886). "التراجع نحو التواضع في القامة الوراثية" . مجلة المعهد الأنثروبولوجي لبريطانيا العظمى وأيرلندا . 15 : 246-263 . doi : 10.2307/2841583 . JSTOR 2841583 .
↑ غالتون، فرانسيس (1889). الميراث الطبيعي . لندن: ماكميلان .
↑ ستيجلر، ستيفن م. (17 يونيو 2010). "داروين، جالتون، والتنوير الإحصائي". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة أ . 173 (3): 469-482 ، 477. doi : 10.1111/j.1467-985X.2010.00643.x . ISSN 1467-985X . S2CID 53333238 .
↑ كانيمان، دانيال (1 أكتوبر 2011). التفكير السريع والبطيء . فارار، ستراوس وجيرو . ISBN 978-0-374-27563-1.
↑ سيكريست، هوراس؛ هوتلينج، هارولد؛ رورتي، إم سي؛ جيني، كورادا؛ كينج، ويلفورد آي. (يونيو 1934). "رسائل مفتوحة" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 29 (186): 196-205 . doi : 10.1080/01621459.1934.10502711 . JSTOR 2278295 .
↑ ديفوليو، أنتوني (2012). "اقتباس: كانيمان حول الاحتمالات" . مجلة التحليل التجريبي للسلوك . 97 (2): 182. doi : 10.1901/jeab.2012.97-182 . PMC 3292229 .
↑ ويبستر، بن (16 ديسمبر 2005). "فوائد كاميرات السرعة مبالغ فيها" . صحيفة التايمز . تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2022 .(الاشتراك مطلوب)
↑ ماونتن، ل. (2006). "كاميرات السلامة: ضريبة خفية أم منقذة للأرواح؟". الأهمية . 3 (3): 111-113 . doi : 10.1111/j.1740-9713.2006.00179.x .
↑ ماهر، مايك؛ ماونتن، ليندا (2009). "حساسية تقديرات الانحدار للمتوسط". تحليل الحوادث والوقاية منها . 41 (4): 861-868 . doi : 10.1016/j.aap.2009.04.020 . PMID 19540977 .
↑ للاطلاع على مثال توضيحي، انظر نيت سيلفر ، "العشوائية: التقط الحمى!" ، بيسبول بروسبكتوس ، 14 مايو 2003.
↑ فلايبيرغ، بنت (5 أكتوبر 2020). "قانون الانحدار إلى الذيل: كيف ننجو من كوفيد-19، وأزمة المناخ، والكوارث الأخرى" . العلوم البيئية والسياسة . 114 : 614-618 . Bibcode : 2020ESPol.114..614F . doi : 10.1016/j.envsci.2020.08.013 . ISSN 1462-9011 . PMC 7533687. PMID 33041651 .
سامويلز ، ميرا ل . (نوفمبر 1991). "العودة الإحصائية نحو المتوسط: أكثر شمولية من الانحدار نحو المتوسط". الإحصائي الأمريكي . 45 (4): 344-346 . doi : 10.2307/2684474 . JSTOR 2684474 . .
1 2 شميتلين، ديفيد سي (أغسطس 1989). "استنتاجات مفاجئة من ملاحظات غير مفاجئة: هل تتراجع التوقعات الشرطية حقًا إلى المتوسط؟" . الإحصائي الأمريكي . 43 (3): 176-183 . doi : 10.2307/2685070 . JSTOR 2685070 .
↑ تشيرنيك، مايكل ر.؛ فريس، روبرت هـ. (17 مارس 2003). الإحصاء الحيوي التمهيدي لعلوم الصحة . وايلي-إنترساينس . ص 272. ISBN 978-0-471-41137-6.
↑ سيجل، جيريمي (27 نوفمبر 2007). الأسهم للاستثمار طويل الأجل ( الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. الصفحات 13، 28-29 . ISBN 978-0071494700.

للمزيد من القراءة

جيه إم بلاند ودي جي ألتمان (يونيو 1994). "ملاحظات إحصائية: الانحدار نحو المتوسط" . المجلة الطبية البريطانية . 308 (6942): 1499. doi : 10.1136/ bmj.308.6942.1499 . PMC 2540330. PMID 8019287 . مقال يتضمن رسمًا بيانيًا لبيانات غالتون الأصلية.

إدوارد ج. دودويتش وساتيا ن. ميشرا (1988). "القسم 14.1: تقدير معاملات الانحدار؛ النماذج الخطية". الإحصاء الرياضي الحديث . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0-471-81472-6.

فرانسيس غالتون (1886). "التراجع نحو التواضع في القامة الوراثية" (ملف PDF) . مجلة المعهد الأنثروبولوجي لبريطانيا العظمى وأيرلندا . 15 : 246-263 . doi : 10.2307/2841583 . JSTOR 2841583 .

دونالد ف. موريسون (1967). "الفصل 3: عينات من المجتمع الطبيعي متعدد المتغيرات". الأساليب الإحصائية متعددة المتغيرات . ماكجرو هيل . ISBN 978-0-534-38778-5.

ستيفن م. ستيجلر (1999). "الفصل التاسع". الإحصاءات على الطاولة . مطبعة جامعة هارفارد .

مايرا ل. سامويلز (نوفمبر 1991). "العودة الإحصائية نحو المتوسط: أكثر شمولية من الانحدار نحو المتوسط". الإحصائي الأمريكي . 45 (4): 344-346 . doi : 10.2307/2684474 . JSTOR 2684474 .
سين، ستيفن (مايو 1990). "الانحدار: نمط جديد لمعنى قديم" . الإحصائي الأمريكي . 44 (2): 181-183 .{{cite journal}}: صيانة CS1: التاريخ والسنة ( رابط )
"الانحدار نحو المتوسط ودراسة التغيير" (ملف PDF) . النشرة النفسية لجامعة هارفارد . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 15 أبريل 2017.
تفسير غير رياضي للانحدار نحو المتوسط.
محاكاة للانحدار نحو المتوسط.
أماندا واكسموث، ليلاند ويلكنسون، جيرارد إي. دلال. منعطف غالتون: عدم خطية غير مكتشفة في بيانات انحدار طول عائلة غالتون وتفسير محتمل بناءً على بيانات طول بيرسون ولي (نظرة حديثة على تحليل غالتون).
نتائج الاختبارات الموحدة في ماساتشوستس، والتي فسرها أحد الإحصائيين كمثال على الانحدار: انظر المناقشة في sci.stat.edu وتكملتها .
غاري سميث ، ما هو الحظ: الدور المفاجئ للصدفة في حياتنا اليومية، نيويورك: أوفرلوك، لندن: داكوورث. ISBN 978-1-4683-1375-8.

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالانحدار نحو المتوسط على ويكيميديا كومنز

[1] غالتون، فرانسيس (1901-1902). مجلة العلوم الشعبية الشهرية، المجلد 60 ، "التحسين المحتمل للجنس البشري في ظل الظروف الحالية للقانون والعاطفة"، ص 224

[2] إيفريت، بكالوريوس العلوم (12 أغسطس 2002). قاموس كامبريدج للإحصاء ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0521810999.

[3] أبتون، غراهام؛ كوك، إيان (21 أغسطس 2008). قاموس أكسفورد للإحصاء . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-954145-4.

[4] ستيجلر، ستيفن م (1997). "الانحدار نحو المتوسط، من منظور تاريخي" . الأساليب الإحصائية في البحوث الطبية . 6 (2): 103-114 . doi : 10.1191/096228097676361431 . PMID 9261910 .

[5] شيوليرو، أ؛ باراديس، ج؛ ريتش، ب؛ هانلي، ج. أ. (2013). "تقييم العلاقة بين القيمة الأساسية لمتغير مستمر والتغير اللاحق بمرور الوقت" . مجلة فرونتيرز في الصحة العامة . 1 : 29. doi : 10.3389/fpubh.2013.00029 . PMC 3854983. PMID 24350198 .

[6] "مراجعة إحصائية لكتاب "التفكير، سريعًا وبطيئًا" لدانيال كانيمان" . إحصاءات بيرنز . 11 نوفمبر 2013. تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2022 .

[7] "ما هو الانحدار نحو المتوسط؟ تعريف وأمثلة" . conceptually.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2017 .

[8] غولديكر، بن (4 أبريل 2009). العلم الزائف . فورث إستيت. ص 39. ISBN 978-0007284870.

[galton1886-9] 1 2 3 4 غالتون، ف. (1886). "التراجع نحو التواضع في القامة الوراثية" . مجلة المعهد الأنثروبولوجي لبريطانيا العظمى وأيرلندا . 15 : 246-263 . doi : 10.2307/2841583 . JSTOR 2841583 .

[10] غالتون، فرانسيس (1889). الميراث الطبيعي . لندن: ماكميلان .

[11] ستيجلر، ستيفن م. (17 يونيو 2010). "داروين، جالتون، والتنوير الإحصائي". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة أ . 173 (3): 469-482 ، 477. doi : 10.1111/j.1467-985X.2010.00643.x . ISSN 1467-985X . S2CID 53333238 .

[12] كانيمان، دانيال (1 أكتوبر 2011). التفكير السريع والبطيء . فارار، ستراوس وجيرو . ISBN 978-0-374-27563-1.

[13] سيكريست، هوراس؛ هوتلينج، هارولد؛ رورتي، إم سي؛ جيني، كورادا؛ كينج، ويلفورد آي. (يونيو 1934). "رسائل مفتوحة" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 29 (186): 196-205 . doi : 10.1080/01621459.1934.10502711 . JSTOR 2278295 .

[14] ديفوليو، أنتوني (2012). "اقتباس: كانيمان حول الاحتمالات" . مجلة التحليل التجريبي للسلوك . 97 (2): 182. doi : 10.1901/jeab.2012.97-182 . PMC 3292229 .

[15] ويبستر، بن (16 ديسمبر 2005). "فوائد كاميرات السرعة مبالغ فيها" . صحيفة التايمز . تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2022 .(الاشتراك مطلوب)

[16] ماونتن، ل. (2006). "كاميرات السلامة: ضريبة خفية أم منقذة للأرواح؟". الأهمية . 3 (3): 111-113 . doi : 10.1111/j.1740-9713.2006.00179.x .

[17] ماهر، مايك؛ ماونتن، ليندا (2009). "حساسية تقديرات الانحدار للمتوسط". تحليل الحوادث والوقاية منها . 41 (4): 861-868 . doi : 10.1016/j.aap.2009.04.020 . PMID 19540977 .

[18] للاطلاع على مثال توضيحي، انظر نيت سيلفر ، "العشوائية: التقط الحمى!" ، بيسبول بروسبكتوس ، 14 مايو 2003.

[19] فلايبيرغ، بنت (5 أكتوبر 2020). "قانون الانحدار إلى الذيل: كيف ننجو من كوفيد-19، وأزمة المناخ، والكوارث الأخرى" . العلوم البيئية والسياسة . 114 : 614-618 . Bibcode : 2020ESPol.114..614F . doi : 10.1016/j.envsci.2020.08.013 . ISSN 1462-9011 . PMC 7533687. PMID 33041651 .

[Samuels-20] سامويلز ، ميرا ل . (نوفمبر 1991). "العودة الإحصائية نحو المتوسط: أكثر شمولية من الانحدار نحو المتوسط". الإحصائي الأمريكي . 45 (4): 344-346 . doi : 10.2307/2684474 . JSTOR 2684474 . .

[Schmittlein-21] 1 2 شميتلين، ديفيد سي (أغسطس 1989). "استنتاجات مفاجئة من ملاحظات غير مفاجئة: هل تتراجع التوقعات الشرطية حقًا إلى المتوسط؟" . الإحصائي الأمريكي . 43 (3): 176-183 . doi : 10.2307/2685070 . JSTOR 2685070 .

[22] تشيرنيك، مايكل ر.؛ فريس، روبرت هـ. (17 مارس 2003). الإحصاء الحيوي التمهيدي لعلوم الصحة . وايلي-إنترساينس . ص 272. ISBN 978-0-471-41137-6.

[23] سيجل، جيريمي (27 نوفمبر 2007). الأسهم للاستثمار طويل الأجل ( الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. الصفحات 13، 28-29 . ISBN 978-0071494700.

[ 1 ]

] [ 3

] [ 4

] علاوة على

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ ١٣ ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗