المقامرة ونظرية المعلومات

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

يمكن اعتبار الاستدلال الإحصائي بمثابة تطبيق لنظرية المقامرة على أحداث العالم الواقعي. وتُسهم التطبيقات المتعددة لمقاييس المعلومات اللوغاريتمية في اتخاذ القرارات المثلى عند توفر معلومات جزئية. [ 1 ] وبهذا المعنى، يمكن اعتبار نظرية المعلومات تعبيرًا رسميًا عن نظرية المقامرة، نظرًا لأنها ألعاب حظ. [ 2 ]

كيلي بيتنج

يُعدّ الرهان النسبي أو رهان كيلي تطبيقًا لنظرية المعلومات في مجال الاستثمار والمقامرة . وقد اكتشفه جون لاري كيلي الابن .

كان جزء من رؤية كيلي الثاقبة هو أن يُعظّم المقامر القيمة المتوقعة للوغاريتم رأس ماله، بدلاً من الربح المتوقع من كل رهان. وهذا أمر بالغ الأهمية، لأنه في الحالة الأخيرة، سيُدفع المرء إلى المقامرة بكل ما يملك عند عرض رهان مُربح، وإذا خسر، فلن يتبقى لديه رأس مال لوضع رهانات لاحقة. أدرك كيلي أن لوغاريتم رأس مال المقامر هو الذي يُضاف في الرهانات المتتالية، و"ينطبق عليه قانون الأعداد الكبيرة ".

معلومات جانبية

البت هو مقدار الإنتروبيا في حدث قابل للمراهنة ذي نتيجتين محتملتين واحتمالات متساوية. من الواضح أنه بإمكاننا مضاعفة أموالنا إذا عرفنا مسبقًا نتيجة ذلك الحدث. تكمن رؤية كيلي في أنه مهما بلغت تعقيدات سيناريو المراهنة، يمكننا استخدام استراتيجية مراهنة مثلى، تُسمى معيار كيلي ، لزيادة أموالنا بشكل كبير مع أي معلومات جانبية نحصل عليها. تُقاس قيمة هذه المعلومات الجانبية "غير المشروعة" كمعلومات متبادلة بالنسبة لنتيجة الحدث القابل للمراهنة.

أنا(X؛Y)=هـY{دكل(P(X|Y)‖P(X|أنا))}=هـY{دكل(P(X|جانب معلومة Y)‖P(X|مفتوح احتمال أنا))}،{\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|Y)\|P(X|I){\big )}\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }{\big (}P(X|{\textrm {side}}\ {\textrm {information}}\ Y)\|P(X|{\textrm {stated}}\ {\textrm {odds}}\ I){\big )}\},\end{aligned}}}

حيث Y هي المعلومات الجانبية، وX هي نتيجة الحدث المُحتمل المراهنة عليه، و I هي حالة معرفة وكيل المراهنات. هذا هو متوسط ​​تباعد كولباك-لايبير ، أو مكسب المعلومات، لتوزيع الاحتمال اللاحق لـ X بالنظر إلى قيمة Y بالنسبة للتوزيع القبلي ، أو الاحتمالات المُعلنة، على X. لاحظ أن التوقع يُحسب على Y وليس X : فنحن بحاجة إلى تقييم مدى دقة معلوماتنا الجانبية Y على المدى الطويل قبل أن نبدأ المراهنة بأموال حقيقية على X. هذا تطبيق مباشر للاستدلال البايزي . لاحظ أن المعلومات الجانبية Y قد لا تؤثر فقط على معرفتنا بالحدث X ، بل على الحدث نفسه أيضًا. على سبيل المثال، قد يكون Y حصانًا تناول الكثير من الشوفان أو لم يتناول كمية كافية من الماء. تنطبق نفس الرياضيات في هذه الحالة، لأنه من وجهة نظر وكيل المراهنات، فإن التلاعب العرضي بالسباقات يُؤخذ في الاعتبار بالفعل عند تحديد احتمالاته.

تتسم المعلومات الجانبية بطبيعة متقلبة للغاية. وقد رأينا سابقًا كيف يمكن أن تؤثر على مجريات السباق وعلى معرفتنا بالنتيجة. لنفترض أن لدينا مصدرًا يخبرنا بأن حصانًا معينًا سيفوز. بالتأكيد لا نرغب في المراهنة بكل أموالنا على هذا الحصان بناءً على مجرد إشاعة: فقد يكون هذا المصدر يراهن على حصان آخر، وقد ينشر الشائعات لمجرد تحسين احتمالات فوزه. بدلًا من ذلك، وكما أشرنا، نحتاج إلى تقييم معلوماتنا الجانبية على المدى الطويل لمعرفة مدى ارتباطها بنتائج السباقات. بهذه الطريقة، يمكننا تحديد مدى موثوقية مصدرنا بدقة، ووضع رهاناتنا بدقة لتعظيم اللوغاريتم المتوقع لرأس مالنا وفقًا لمعيار كيلي. حتى لو كان مصدرنا يكذب علينا، فلا يزال بإمكاننا الربح من أكاذيبه إذا استطعنا إيجاد علاقة عكسية بين نصائحه ونتائج السباق الفعلية.

معدل التضاعف

معدل مضاعفة الرهان في سباق الخيل هو [ 3 ]

دبليو(ب،ص)=هـ[سجل2⁡S(X)]=∑أنا=1مصأناسجل2⁡بأناoأنا{\displaystyle W(b,p)=\mathbb {E} [\log _{2}S(X)]=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\log _{2}b_{i}o_{i}}

حيث يوجدم{\displaystyle m}الخيول، احتمالأنا{\displaystyle i}الحصان الفائزصأنا{\displaystyle p_{i}}، نسبة الثروة التي تم المراهنة عليها على الحصان هيبأنا{\displaystyle b_{i}}ونسبة الربح هيoأنا{\displaystyle o_{i}}(على سبيل المثال،oأنا=2{\displaystyle o_{i}=2}إذاأنا{\displaystyle i}(يدفع الحصان الفائز ضعف المبلغ المراهن به). يتم تعظيم هذه الكمية من خلال المقامرة النسبية (كيلي):

ب=ص{\displaystyle b=p\,}

والتي

الأعلىبدبليو(ب،ص)=∑أناصأناسجل2⁡oأنا-ح(ص){\displaystyle \max _{b}W(b,p)=\sum _{i}p_{i}\log _{2}o_{i}-H(p)\,}

أينح(ص){\displaystyle H(p)}هي إنتروبيا المعلومات .

المكاسب المتوقعة

توجد علاقة مهمة ولكنها بسيطة بين كمية المعلومات الجانبية التي يحصل عليها المقامر والنمو الأسي المتوقع لرأس ماله (كيلي):

هـسجل⁡كت=سجل⁡ك0+∑أنا=1تحأنا{\displaystyle \mathbb {E} \log K_{t}=\log K_{0}+\sum _{i=1}^{t}H_{i}}

للحصول على استراتيجية مراهنة مثالية، حيثك0{\displaystyle K_{0}}رأس المال الأولي،كت{\displaystyle K_{t}}هي العاصمة بعد الرهان رقم t ، وحأنا{\displaystyle H_{i}}وهي كمية المعلومات الجانبية التي تم الحصول عليها فيما يتعلق بالرهان رقم i (على وجه الخصوص، المعلومات المتبادلة المتعلقة بنتيجة كل حدث قابل للرهان).

تنطبق هذه المعادلة في حال عدم وجود أي تكاليف للمعاملات أو حد أدنى للرهانات. وعندما تُطبق هذه القيود (كما هو الحال دائمًا في الواقع)، يبرز مفهوم مهم آخر في عالم المقامرة: في لعبة ذات قيمة متوقعة سلبية ، يواجه المقامر (أو المستثمر عديم الضمير) احتمالًا معينًا للإفلاس التام، وهو ما يُعرف بسيناريو إفلاس المقامر . تجدر الإشارة إلى أن الطعام والملابس والمأوى تُعتبر أيضًا تكاليف ثابتة للمعاملات، وبالتالي تُساهم في احتمال إفلاس المقامر.

كانت هذه المعادلة أول تطبيق لنظرية شانون للمعلومات خارج نموذجها السائد في اتصالات البيانات (بيرس).

تطبيقات المعلومات الذاتية

المفاجأة والأدلة في أجزاء، كمقاييس لوغاريتمية للاحتمالية والفرص على التوالي.

يُعدّ مقياس الاحتمالية اللوغاريتمية للمعلومات الذاتية أو المفاجأة، [ 4 ] الذي يُمثّل متوسطه إنتروبيا المعلومات /عدم اليقين، ومتوسط ​​الفرق بينه وبين المفاجأة هو تباعد كولباك-لايبير ، ذا تطبيقاتٍ مستقلة في تحليل الاحتمالات. وتتمثل ميزتاه الرئيسيتان في أن المفاجآت: (أ) تُقلّل الاحتمالات الضئيلة إلى أعدادٍ ذات حجمٍ يُمكن التعامل معه، و(ب) تُضاف كلما ضربت الاحتمالات.

على سبيل المثال، يمكن القول إن "عدد الحالات يساوي اثنين مرفوعًا لعدد البتات"، أي عدد الحالات = 2^ n × عدد البتات . هنا، الكمية المقاسة بالبتات هي مقياس المعلومات اللوغاريتمي المذكور أعلاه. وبالتالي، يوجد N بت من عنصر المفاجأة في الحصول على جميع الصور في أول رمية لـ N قطعة نقدية.

إنّ الطبيعة التراكمية للمفاجآت، وقدرة المرء على استشعار معناها من خلال حفنة من العملات المعدنية، تُساعد على وضع الأحداث غير المحتملة (مثل الفوز باليانصيب، أو التعرّض لحادث) في سياقها الصحيح. على سبيل المثال، إذا كانت تذكرة واحدة من بين 17 مليون تذكرة رابحة، فإنّ مفاجأة الفوز من خلال اختيار عشوائي واحد تُقدّر بحوالي 24 بت. قد يُعطيك رمي 24 عملة معدنية بضع مرات إحساسًا بمفاجأة الحصول على جميع الصور من المحاولة الأولى.

تُعدّ الطبيعة التراكمية لهذا المقياس مفيدةً أيضًا عند تقييم البدائل. على سبيل المثال، تخيّل أن احتمالية حدوث ضرر من التطعيم هي 20 بت. إذا كانت احتمالية الإصابة بمرض دون التطعيم هي 16 بت، ولكن احتمالية حدوث ضرر من المرض في حال الإصابة به هي 2 بت، فإن احتمالية حدوث ضرر من عدم التطعيم هي 16 + 2 = 18 بت فقط. سواءً قررتَ الحصول على التطعيم أم لا (أي أن التكلفة المالية للتطعيم غير مشمولة في هذا النقاش)، يمكنك بهذه الطريقة على الأقل تحمّل مسؤولية قرارٍ مبنيّ على معرفة أن عدم الحصول على التطعيم ينطوي على أكثر من بت واحد من المخاطر الإضافية.

بشكلٍ أعم، يمكن ربط الاحتمال p بعدد بتات المفاجأة sbits على النحو التالي: الاحتمال = 1/2 sbits . وكما ذُكر سابقًا، يُعدّ هذا مفيدًا بشكلٍ أساسي مع الاحتمالات الصغيرة. مع ذلك، أشار جاينز إلى أنه في حالة التأكيدات الصحيحة أو الخاطئة، يمكن أيضًا تعريف بتات الدليل ebits على أنها الفرق بين المفاجأة ضد الفرضية والمفاجأة لصالحها. يرتبط هذا الدليل بالبتات ببساطة بنسبة الاحتمالات = p/(1-p) = 2 ebits ، وله مزايا مشابهة لمزايا المعلومات الذاتية نفسها.

تطبيقات في ألعاب الحظ

يمكن اعتبار نظرية المعلومات وسيلةً لتقييم المعلومات كميًا لاتخاذ القرار الأمثل في ظل نقصها. أي كيفية اتخاذ القرار الأمثل بالاعتماد فقط على المعلومات المتاحة. يكمن جوهر المراهنة في التقييم العقلاني لجميع المتغيرات ذات الصلة بمباراة/سباق/مباراة غير مؤكدة، ثم مقارنتها بتقييمات وكيل المراهنات، والتي عادةً ما تأتي على شكل احتمالات أو فروق، ووضع الرهان المناسب إذا اختلفت التقييمات اختلافًا كافيًا. [ 5 ] يُعدّ مجال المراهنات الرياضية من أكثر مجالات المقامرة التي تُطبّق فيها هذه النظرية. يُناسب تحليل أداء المراهنات الرياضية نظرية المعلومات بشكلٍ ممتاز نظرًا لتوافر الإحصاءات. لسنوات عديدة، اختبر اقتصاديون بارزون نظريات رياضية مختلفة باستخدام الرياضة كحقل تجارب، بنتائج متباينة للغاية.

إحدى النظريات المتعلقة بالمراهنات الرياضية هي أنها أشبه بحركة عشوائية . الحركة العشوائية هي حالة تتذبذب فيها المعلومات الجديدة والأسعار والعوائد بشكل عشوائي، وهذا جزء من فرضية كفاءة السوق . تقوم فرضية كفاءة السوق على فكرة أن السوق سيُجري تعديلات تلقائية بناءً على أي معلومات جديدة. وبالتالي، لا يمكن لأحد أن يتفوق على السوق لأنه يتداول بناءً على نفس المعلومات التي استند إليها السوق في تعديلاته. مع ذلك، ووفقًا لفاما [ 6 ]، لكي يكون السوق كفؤًا، يجب أن تتوافر ثلاث خصائص:

  • لا توجد تكاليف معاملات في تداول الأوراق المالية
  • جميع المعلومات المتاحة متاحة مجاناً لجميع المشاركين في السوق
  • يتفق الجميع على آثار المعلومات الحالية على السعر الحالي وتوزيعات الأسعار المستقبلية لكل ورقة مالية

أثبت الإحصائيون أن الشرط الثالث هو ما يجعل نظرية المعلومات مفيدة في تحليل نتائج المباريات الرياضية. فعندما يختلف الجميع حول كيفية تأثير المعلومات على نتيجة الحدث، نحصل على آراء متباينة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جاينز، إي تي (1998/2003) نظرية الاحتمالات: منطق العلم (مطبعة جامعة كامبريدج، نيويورك).
  2. ↑ كيلي، جيه إل (1956). "تفسير جديد لمعدل المعلومات" (ملف PDF) . مجلة بيل سيستم التقنية . 35 (4): 917-926 . doi : 10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 27 أبريل 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 سبتمبر 2019 .
  3. ↑ توماس م. كوفر ، جوي أ. توماس. عناصر نظرية المعلومات ، الطبعة الأولى. نيويورك: وايلي-إنترساينس، 1991. ISBN 0-471-06259-6، الفصل السادس.
  4. ↑ تريبوس، مايرون (1961) الديناميكا الحرارية والحرارية الثابتة: مقدمة في الطاقة والمعلومات وحالات المادة، مع تطبيقات هندسية (شركة دي. فان نوستراند، 24 غرب شارع 40، نيويورك 18، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية) ASIN: B000ARSH5S.
  5. ↑ هانسن، كريستين برينش. (2006) المراهنات الرياضية من وجهة نظر التمويل السلوكي. مؤرشف في 2018-09-20 في Wayback Machine (كلية أرهوس للأعمال).
  6. ↑ فاما، إي إف (1970) "أسواق رأس المال الكفؤة: مراجعة للنظرية والأعمال المستقلة"، مجلة الاقتصاد المالي، المجلد 25، 383-417