مبدأ اللامبالاة

مبدأ اللامبالاة (ويُسمى أيضًا مبدأ عدم كفاية السبب ) هو قاعدة لتحديد الاحتمالات المعرفية . ينص هذا المبدأ على أنه في غياب أي دليل ذي صلة، ينبغي على الأفراد توزيع مصداقيتهم (أو "درجات اعتقادهم") بالتساوي بين جميع النتائج المحتملة قيد الدراسة. ^{[ 1 ]} ويمكن اعتباره تطبيقًا لمبدأ الاقتصاد ، وحالة خاصة من مبدأ أقصى إنتروبيا . في نظرية الاحتمال البايزي ، يُعد هذا أبسط توزيع احتمالي مسبق غير إعلامي .

الأمثلة الواردة في الكتب الدراسية لتطبيق مبدأ اللامبالاة هي العملات المعدنية والنرد والبطاقات .

يُظهر مثال أوراق اللعب، أكثر من غيره، صعوبة تطبيق مبدأ الحياد في المواقف الواقعية. ما نعنيه بعبارة "مرتبة عشوائيًا" هو ببساطة عدم امتلاكنا أي معلومات تدفعنا لتفضيل ورقة معينة. في الواقع، نادرًا ما يكون هذا هو الحال: فمجموعة أوراق اللعب الجديدة ليست مرتبة عشوائيًا بالتأكيد، وكذلك الحال بالنسبة للمجموعة التي تلي توزيع الأوراق مباشرةً. لذلك، نقوم عمليًا بخلط الأوراق؛ وهذا لا يُفقدنا المعلومات المتوفرة لدينا، بل يجعلها (نأمل) غير قابلة للاستخدام عمليًا، مع أنها لا تزال قابلة للاستخدام من حيث المبدأ. في الواقع، يستطيع بعض لاعبي البلاك جاك المحترفين تتبع الآسات في المجموعة؛ بالنسبة لهم، لا يتحقق شرط تطبيق مبدأ الحياد.

في نظامٍ ماكروسكوبي ، على الأقل، يجب افتراض أن القوانين الفيزيائية التي تحكم النظام غير معروفة بما يكفي للتنبؤ بالنتيجة. كما لاحظ جون أربوثنوت قبل بضعة قرون (في مقدمة كتابه "في قوانين الصدفة "، 1692).

من المستحيل أن لا يسقط نرد، بهذه القوة والاتجاه المحددين، على هذا الجانب المحدد، إلا أنني لا أعرف القوة والاتجاه اللذين يجعلانه يسقط على هذا الجانب المحدد، ولذلك أسميه الصدفة، وهو ليس إلا نقصاً في الفن...

بموجب مبدأ الحتمية السببية ، إذا توفر الوقت والموارد الكافية، فلا يوجد سبب جوهري للافتراض بأنه لا يمكن إجراء قياسات دقيقة مناسبة، مما يُمكّن من التنبؤ بنتيجة رمي العملات المعدنية والنرد والبطاقات بدقة عالية: ويُعد عمل بيرسي دياكونيس مع آلات رمي ​​العملات المعدنية مثالاً عملياً على ذلك. ^{[ 2 ]}

إن تطبيق مبدأ اللامبالاة بشكل خاطئ قد يؤدي بسهولة إلى نتائج غير منطقية، لا سيما في حالة المتغيرات المتعددة والمستمرة. ومن الأمثلة الشائعة على سوء الاستخدام ما يلي:

• لنفترض أن هناك مكعبًا مخبأً في صندوق. تشير الملصقة الموجودة على الصندوق إلى أن طول ضلع المكعب يتراوح بين 3 و 5  سم.
• لا نعرف طول الضلع الفعلي، ولكن يمكننا أن نفترض أن جميع القيم متساوية الاحتمال ونختار ببساطة القيمة المتوسطة وهي 4  سم.
• تُتيح لنا المعلومات الموجودة على الملصق حساب أن مساحة سطح المكعب تتراوح بين 54 و150  سم² ^. لا نعرف المساحة الفعلية للسطح، ولكن يمكننا افتراض أن جميع القيم متساوية الاحتمال، ونختار ببساطة القيمة المتوسطة وهي ¹⁰²  سم² .
• تُتيح لنا المعلومات الموجودة على الملصق حساب أن حجم المكعب يتراوح بين 27 و125  سم³ ^. لا نعرف الحجم الفعلي، ولكن يمكننا افتراض أن جميع القيم متساوية الاحتمال، ونختار ببساطة القيمة المتوسطة وهي ⁷⁶  سم³ .
• ومع ذلك، فقد توصلنا الآن إلى استنتاج مستحيل مفاده أن طول ضلع المكعب يبلغ 4  سم، ومساحة سطحه 102  سم ^مربع ، وحجمه 76 ^سم  مكعب !

في هذا المثال، تنشأ تقديرات متناقضة لطول المكعب ومساحة سطحه وحجمه لأننا افترضنا ثلاثة توزيعات متناقضة لهذه المعلمات: فالتوزيع المنتظم لأي من المتغيرات يستلزم توزيعًا غير منتظم للمتغيرين الآخرين. وبشكل عام، لا يُحدد مبدأ اللامبالاة أي متغير (مثل الطول أو مساحة السطح أو الحجم في هذه الحالة) له توزيع احتمالي معرفي منتظم .

مثال كلاسيكي آخر على هذا النوع من سوء الاستخدام هو مفارقة برتراند . قدّم إدوين تي. جاينز مبدأ مجموعات التحويل ، الذي يُمكن أن يُنتج توزيعًا احتماليًا معرفيًا لهذه المسألة. يُعمّم هذا مبدأ اللامبالاة، بالقول إن المرء يكون غير مبالٍ بين المسائل المتكافئة بدلًا من كونه غير مبالٍ بين القضايا. ومع ذلك، يظل هذا المبدأ مُختزلًا إلى مبدأ اللامبالاة العادي عند اعتبار تبديل التسميات مُولِّدًا لمسائل متكافئة (أي باستخدام مجموعة تحويل التبديل). لتطبيق هذا على مثال الصندوق أعلاه، لدينا ثلاثة متغيرات عشوائية مرتبطة بمعادلات هندسية. إذا لم يكن لدينا سبب لتفضيل ثلاث قيم على أخرى، فيجب أن تكون احتمالاتنا الأولية مرتبطة بقاعدة تغيير المتغيرات في التوزيعات المستمرة. ليكن L الطول، و V الحجم. عندئذٍ يجب أن يكون لدينا

${\displaystyle f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$،

أين${\displaystyle f_{L},\,f_{V}}$هي دوال كثافة الاحتمال (pdf) للمتغيرات المذكورة. لهذه المعادلة حل عام:${\displaystyle f(L)={K \over L}}$، حيث K هو ثابت التطبيع، ويتم تحديده من خلال نطاق L ، وفي هذه الحالة يساوي:

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

لاختبار ذلك، نسأل عن احتمال أن يكون الطول أقل من 4. وهذا الاحتمال هو:

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

بالنسبة للحجم، يجب أن يساوي هذا الاحتمال احتمال أن يكون الحجم أقل من 4/3 ⁼ 64. دالة كثافة الاحتمال للحجم هي

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$.

ثم احتمال أن يكون الحجم أقل من 64 هو

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

وهكذا نكون قد حققنا ثباتًا فيما يتعلق بالحجم والطول. ويمكن أيضًا إثبات الثبات نفسه فيما يتعلق بمساحة السطح التي تقل عن 6(4² ⁾ = 96. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذا التوزيع الاحتمالي ليس بالضرورة "صحيحًا". فالتوزيع الدقيق للأطوال أو الحجم أو مساحة السطح يعتمد على كيفية إجراء "التجربة".

تُعدّ الفرضية الأساسية للفيزياء الإحصائية ، التي تنص على أن أي حالتين مجهريتين لنظام ما لهما نفس الطاقة الكلية متساويتان في احتمالية وجودهما عند الاتزان ، مثالًا على مبدأ اللامبالاة. مع ذلك، عندما تُوصف الحالات المجهرية بمتغيرات متصلة (مثل المواضع والزخم)، يلزم وجود أساس فيزيائي إضافي لتفسير أيّ من هذه المعاملات يكون توزيع الاحتمال منتظمًا. تُبرر نظرية ليوفيل استخدام المتغيرات المترافقة قانونيًا ، مثل المواضع وزخمها المترافق.

تُظهر مفارقة النبيذ /الماء معضلة تتعلق بالمتغيرات المرتبطة، وأيهما نختار.

ينبع هذا المبدأ من مبدأ إبيقور "تعدد التفسيرات" (pleonachos tropos)، ^{[ 3 ]} والذي ينص على أنه "إذا كانت أكثر من نظرية واحدة تتوافق مع البيانات، فاحتفظ بها جميعًا". وقد طور لوكريتيوس، الإبيقوري ، هذه النقطة بتشبيهها بتعدد أسباب وفاة جثة. ^{[ 4 ]} اعتبر الكتّاب الأوائل في مجال الاحتمالات، وعلى رأسهم جاكوب برنولي وبيير سيمون لابلاس ، مبدأ اللامبالاة بديهيًا، ولم يكلفوا أنفسهم عناء تسميته. كتب لابلاس:

تتلخص نظرية الصدفة في اختزال جميع الأحداث من النوع نفسه إلى عدد معين من الحالات المتساوية الاحتمال، أي إلى تلك التي قد نكون غير متأكدين بنفس القدر من وجودها، وتحديد عدد الحالات المواتية للحدث المطلوب حساب احتماليته. نسبة هذا العدد إلى إجمالي الحالات الممكنة هي مقياس هذا الاحتمال، وهو بالتالي كسر بسيط بسطه عدد الحالات المواتية ومقامه عدد جميع الحالات الممكنة.

قام هؤلاء الكتّاب السابقون، ولا سيما لابلاس، بتعميم مبدأ اللامبالاة ببساطة ليشمل حالة المعاملات المتصلة، مُقدّمين ما يُسمى "توزيع الاحتمال المسبق المنتظم"، وهو دالة ثابتة على جميع الأعداد الحقيقية. استخدم لابلاس هذه الدالة للتعبير عن انعدام المعرفة التام بقيمة أحد المعاملات. ووفقًا لستيجلر (صفحة 135)، فإن افتراض لابلاس للاحتمالات المسبقة المنتظمة لم يكن افتراضًا ميتافيزيقيًا، ^{[ 5 ]} بل كان افتراضًا ضمنيًا وُضع لتسهيل التحليل.

كان مبدأ السبب غير الكافي هو الاسم الأول الذي أطلقه عليه يوهانس فون كريس ، ^{[ 6 ]} ربما توريةً على مبدأ لايبنتز للسبب الكافي . اعترض هؤلاء الكتّاب اللاحقون ( جورج بول ، وجون فين ، وغيرهم) على استخدام التوزيع الاحتمالي المنتظم المسبق لسببين. السبب الأول هو أن الدالة الثابتة غير قابلة للتطبيع، وبالتالي فهي ليست توزيعًا احتماليًا صحيحًا. أما السبب الثاني فهو عدم قابليتها للتطبيق على المتغيرات المستمرة، كما ذُكر سابقًا.

أعاد جون ماينارد كينز ( 1921 ) تسمية "مبدأ السبب غير الكافي" إلى "مبدأ اللامبالاة" ، ^{[ 7 ]} الذي حرص على الإشارة إلى أنه ينطبق فقط عندما لا توجد معرفة تشير إلى احتمالات غير متساوية. 

لقد بدأت محاولات وضع هذا المفهوم على أرضية فلسفية أكثر صلابة بشكل عام بمفهوم التكافؤ الممكن وتطورت منه إلى التكافؤ المحتمل .

يمكن إضفاء تبرير منطقي أعمق على مبدأ اللامبالاة من خلال ملاحظة أنه ينبغي إسناد احتمالات معرفية متكافئة إلى حالات المعرفة المتكافئة. وقد طرح إدوين طومسون جاينز هذه الحجة ، وهي تؤدي إلى تعميمين، هما مبدأ مجموعات التحويل كما في التوزيع الاحتمالي المسبق لجيفريز ، ومبدأ أقصى إنتروبيا . ^{[ 8 ]}

• نظرية المعرفة البايزية
• التوازن السريري
• قاعدة التتابع : صيغة لتقدير الاحتمالات الكامنة عندما يكون عدد المشاهدات قليلاً، أو للأحداث التي لم يُلاحظ حدوثها على الإطلاق في بيانات العينة (المحدودة).