معيار كيلي

رهان كيلي هو: ^{[ 10 ] : 7}$${\displaystyle f={\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}}$$ أين:

• ${\displaystyle f}$يمثل هذا الجزء من الأصول التي سيتم تخصيصها للضمان.
• ${\displaystyle p}$هي احتمالية زيادة قيمة الاستثمار.
• ${\displaystyle q}$هي احتمالية انخفاض قيمة الاستثمار (${\displaystyle q=1-p}$).
• ${\displaystyle g}$هي النسبة التي يتم تحقيقها في حالة النتيجة الإيجابية. ^{[ 10 ] : 7} إذا ارتفع سعر السهم بنسبة 10%، فإن${\displaystyle g=0.1}$.
• ${\displaystyle l}$هي النسبة المفقودة في حالة النتيجة السلبية. ^{[ 10 ] : 7} إذا انخفض سعر السهم بنسبة 10%، فإن${\displaystyle l=0.1}$في المقامرة، عادةً ما يخسر الرهان بالكامل، وهو ما يعادل ⁠${\displaystyle l=1.0}$⁠ .

تجدر الإشارة إلى أن معيار كيلي لا يكون صالحًا تمامًا إلا في حالة معرفة احتمالات النتائج بشكل كامل، وهو أمر نادر الحدوث في الاستثمارات. إضافةً إلى ذلك، تستثمر الاستراتيجيات التي تتجنب المخاطرة أقل من النسبة الكاملة لمعيار كيلي.

يمكن إعادة كتابة الصيغة العامة على النحو التالي $${\displaystyle f={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1-p}{p}}{\frac {l}{g}}\right)={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1}{\mathit {PR}}}{\frac {1}{\mathit {RRR}}}\right)}$$ أين:

• ${\displaystyle {\mathit {PR}}={\frac {p}{1-p}}}$نسبة احتمالية الفوز والخسارة، وهي نسبة احتمالات الفوز إلى احتمالات الخسارة في الرهانات.
• ${\displaystyle {\mathit {RRR}}={\frac {g}{l}}}$هي نسبة المكافأة إلى المخاطرة لأحجام النتائج، وهي الانحراف الرابح .

من الواضح أن أحد العوامل على الأقل${\displaystyle {\mathit {PR}}}$أو${\displaystyle {\mathit {RRR}}}$يجب أن يكون أكبر من 1 ليكون له ميزة (لذا${\displaystyle f>0}$بل من الممكن أن تكون نسبة احتمالية الفوز إلى الخسارة غير مواتية.${\displaystyle {\mathit {PR}}<1}$لكن المرء يتمتع بميزة طالما أن${\displaystyle {\mathit {PR}}\times {\mathit {RRR}}>1}$.

يمكن أن تؤدي صيغة كيلي بسهولة إلى كسر أكبر من 1، كما هو الحال مع فقدان الحجم${\displaystyle l\ll 1}$(انظر التعبير أعلاه مع عوامل من${\displaystyle {\mathit {RRR}}}$و${\displaystyle {\mathit {PR}}}$يحدث هذا بشكلٍ غير بديهي إلى حدٍ ما، لأن صيغة كيلي تُعوّض عن حجم الخسارة الصغير برهانٍ أكبر. مع ذلك، في معظم الحالات العملية، يوجد قدرٌ كبير من عدم اليقين بشأن جميع المعاملات الداخلة في صيغة كيلي. في حالة كون نسبة كيلي أعلى من 1، يكون من المفيد نظريًا استخدام الرافعة المالية لشراء أوراق مالية إضافية بالهامش .

في إحدى الدراسات، مُنح كل مشارك 25 دولارًا وطُلب منه المراهنة بنسبة 1:1 على عملة معدنية تظهر الصورة بنسبة 60%. أُتيح للمشاركين 30 دقيقة للعب، ما مكّنهم من وضع حوالي 300 رهان، وحُددت قيمة الجوائز بحد أقصى 250 دولارًا. لكن سلوك المشاركين في الاختبار كان بعيدًا كل البعد عن السلوك الأمثل.

المثير للدهشة أن 28% من المشاركين خسروا كل أموالهم، وكان متوسط ​​العائد 91 دولارًا فقط. 21% فقط من المشاركين وصلوا إلى الحد الأقصى. راهن 18 مشاركًا من أصل 61 بكل ما يملكون في رمية واحدة، بينما راهن ثلثا المشاركين على ظهور الصورة في مرحلة ما من التجربة. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

باستخدام معيار كيلي، وبناءً على احتمالات التجربة (مع تجاهل الحد الأقصى البالغ 250 دولارًا والمدة المحدودة للاختبار)، فإن النهج الأمثل هو المراهنة بنسبة 20% من رأس المال في كل رمية للعملة، وهو ما يُحقق ربحًا متوسطًا قدره 2.034% في كل جولة. هذا هو المتوسط ​​الهندسي ، وليس المعدل الحسابي البالغ 4% (r = 0.2 × (0.6 - 0.4) = 0.04). يبلغ متوسط ​​الثروة الهندسي بعد 300 جولة 10,505 دولارًا.${\displaystyle =25\cdot (1.02034)^{300}}$) لو لم يكن محدودًا.

في هذه اللعبة بالذات، وبسبب الحد الأقصى، فإن استراتيجية المراهنة بنسبة 12٪ فقط من مجموع الرهانات في كل رمية ستحقق نتائج أفضل (احتمالية 95٪ للوصول إلى الحد الأقصى ومتوسط ​​عائد قدره 242.03 دولارًا).

البراهين الاستدلالية لمعيار كيلي مباشرة. ^{[ 13 ]} يُعظّم معيار كيلي القيمة المتوقعة للوغاريتم الثروة (القيمة المتوقعة لدالة ما تُعطى بمجموع احتمالية كل نتيجة معينة مضروبة في قيمة الدالة في حالة تلك النتيجة، وذلك على جميع النتائج الممكنة). نبدأ بوحدة ثروة واحدة ونراهن بجزء منها.${\displaystyle f}$من تلك الثروة. احتمال الفوز هو${\displaystyle p}$، ومضاعف العائد هو${\displaystyle g}$والثروة الناتجة تساوي${\displaystyle 1+fg}$احتمال الخسارة هو${\displaystyle q=1-p}$، مضاعف الخسارة هو${\displaystyle l}$والثروة الناتجة تساوي${\displaystyle 1-fl}$لذلك، نسعى إلى تحقيق أقصى قدر من المنفعة .${\displaystyle u}$⁠ : $${\displaystyle u=p\log(1+fg)+q\log(1-fl)\,.}$$ لإيجاد قيمة${\displaystyle f}$لتحقيق أقصى فائدة، نقوم بتفاضل التعبير أعلاه بالنسبة إلى${\displaystyle f}$ثم اجعل هذا يساوي صفرًا. وهذا يعطي: $${\displaystyle 0={\frac {du}{df}}={\frac {pg}{1+fg}}+{\frac {-ql}{1-fl}}\,.}$$ بإعادة ترتيب هذه المعادلة لحساب قيمة${\displaystyle f}$يعطي معيار كيلي: $${\displaystyle f={\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}\,.}$$ وللإحاطة بالموضوع، ينبغي علينا أيضاً أن نأخذ في الاعتبار السلوك كـ${\displaystyle f}$يقترب من الحدود${\displaystyle -{\frac {1}{g}}}$و${\displaystyle {\frac {1}{l}}}$لأنه يمكن أن توجد قيمة عظمى هناك دون أن تكون المشتقة صفرًا. لكن${\displaystyle u}$يؤول إلى −∞ لكلا الحالتين. وأخيرًا، نحتاج إلى إثبات أن النقطة الحرجة التي تم العثور عليها ليست نقطة صغرى؛ ويمكن إثبات ذلك بحساب المشتقة الثانية التي تكون سالبة تمامًا لجميع القيم.${\displaystyle f}$في المجال.

لهذه القيمة من${\displaystyle f}$، ستكون الثروة بعد الفوز${\displaystyle 1+fg=1+\left({\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}\right)g=p\left(1+{\frac {g}{l}}\right)}$والثروة بعد الخسارة ستكون${\displaystyle 1-fl=1-\left({\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}\right)l=q\left(1+{\frac {l}{g}}\right)}$⁠ .

معدل النمو الهندسي المتوقع هو${\displaystyle r=\exp(u)}$، وهو​${\displaystyle r=(1+fg)^{p}(1-fl)^{q}}$⁠ .

في التمويل الرياضي ، إذا كانت أوزان الأوراق المالية تزيد من معدل النمو الهندسي المتوقع (وهو ما يعادل زيادة الثروة اللوغاريتمية)، فإن المحفظة تكون مثالية للنمو.

يُبين معيار كيلي أنه بالنسبة لأوراق مالية متقلبة معينة، يتحقق هذا الشرط عندما

${\displaystyle f={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}}$

أين${\displaystyle f}$يمثل هذا الجزء من رأس المال المتاح المستثمر الذي يحقق أقصى معدل نمو هندسي متوقع،${\displaystyle \mu }$هو معامل معدل النمو المتوقع،${\displaystyle \sigma ^{2}}$يمثل تباين معامل معدل النمو و${\displaystyle r}$يمثل معدل العائد الخالي من المخاطر. تجدر الإشارة إلى أنه تم افتراض دالة كثافة احتمالية متناظرة هنا.

قد تعاني حسابات المحافظ الاستثمارية المثلى للنمو من مشكلة كبيرة تتمثل في أن المدخلات الخاطئة تؤدي إلى مخرجات خاطئة . على سبيل المثال، تفترض الحالات المذكورة أدناه أن العائد المتوقع وهيكل التباين المشترك للأصول معطيان، لكن هذه المعلمات في أحسن الأحوال مجرد تقديرات أو نماذج تنطوي على قدر كبير من عدم اليقين. إذا كانت أوزان المحفظة تعتمد بشكل كبير على أخطاء التقدير، فقد يختلف أداء المحفظة المثلى للنمو بعد التنفيذ اختلافًا كبيرًا عن التنبؤ المسبق . يُعد عدم اليقين في المعلمات وأخطاء التقدير موضوعًا واسعًا في نظرية المحافظ الاستثمارية. يتمثل أحد أساليب مواجهة المخاطر غير المعروفة في استثمار أقل من معيار كيلي.

لا تزال التقديرات التقريبية مفيدة. إذا افترضنا عائدًا زائدًا بنسبة 4% وتقلبًا بنسبة 16%، فإن نسبة شارب السنوية ونسبة كيلي تُحسبان لتكونا 25% و150% على التوالي. أما نسبة شارب اليومية ونسبة كيلي اليومية فهما 1.7% و150% على التوالي. تشير نسبة شارب إلى احتمال الربح اليومي p=(50% + 1.7%/4)، حيث افترضنا أن عرض نطاق الاحتمال هو${\displaystyle 4\sigma =4\%}$الآن يمكننا تطبيق صيغة كيلي المنفصلة لـ${\displaystyle f}$أعلاه مع${\displaystyle p=50.425\%,g=l=1\%}$ونحصل بذلك على تقدير تقريبي آخر لكسر كيلي${\displaystyle f=85\%}$. يبدو كلا التقديرين لنسبة كيلي معقولين تمامًا، ومع ذلك فإن اتباع نهج حكيم يشير إلى زيادة نسبة كيلي بمقدار 50٪ (أي نصف كيلي).

تشير ورقة بحثية مفصلة من إعداد إدوارد أو. ثورب ومؤلف مشارك إلى أن نسبة كيلي تبلغ 117% لمؤشر سوق الأسهم الأمريكية S&P 500. ^{[ 14 ]} ويُعدّ خطر الهبوط الحادّ في أسواق الأسهم سببًا آخر ^{[ 15 ]} لخفض نسبة كيلي عن التقدير الأولي (على سبيل المثال، إلى نصف نسبة كيلي).

يمكن تعميم معيار كيلي ^{[ 17 ]} على المراهنة على نتائج متعددة متنافية، كما هو الحال في سباقات الخيل. لنفترض وجود عدة نتائج متنافية. احتمال أن تكون النتيجة${\displaystyle k}$الحصان رقم - هو الذي يفوز بالسباق${\displaystyle p_{k}}$إجمالي مبلغ الرهانات الموضوعة على${\displaystyle k}$الحصان رقم - هو${\displaystyle B_{k}}$، و $${\displaystyle \beta _{k}={\frac {B_{k}}{\sum _{i}B_{i}}}={\frac {D}{1+Q_{k}}},}$$ أين${\displaystyle Q_{k}}$هذه هي احتمالات الربح.${\displaystyle D=1-tt}$، هو معدل توزيع الأرباح حيث${\displaystyle tt}$هل هي رسوم المسار أم الضريبة؟${\displaystyle {\frac {D}{\beta _{k}}}}$هو معدل الإيرادات بعد خصم تكلفة المسار عندما${\displaystyle k}$يفوز الحصان رقم -. نسبة أموال المراهن التي يراهن بها${\displaystyle k}$الحصان رقم - هو${\displaystyle f_{k}}$معيار كيلي للمقامرة مع نتائج متعددة متنافية يوفر خوارزمية لإيجاد المجموعة المثلى${\displaystyle S^{o}}$من النتائج التي من المعقول المراهنة عليها، ويقدم صيغة صريحة لإيجاد الكسور المثلى${\displaystyle f_{k}^{o}}$جزء من ثروة المراهن يُراهن به على النتائج المدرجة في المجموعة المثلى${\displaystyle S^{o}}$تتكون خوارزمية المجموعة المثلى من النتائج من أربع خطوات: ^{[ 17 ]}

1. احسب معدل الإيرادات المتوقع لجميع النتائج المحتملة (أو لعدد قليل من النتائج الواعدة فقط):$${\displaystyle er_{i}={\frac {Dp_{i}}{\beta _{i}}}=p_{i}(Q_{i}+1)}$$
2. أعد ترتيب النتائج بحيث يكون التسلسل الجديد${\displaystyle er_{k}}$وهي غير متزايدة. وبالتالي${\displaystyle er_{1}}$سيكون هذا هو الخيار الأفضل.
3. تعيين${\displaystyle S=\varnothing }$( المجموعة الفارغة )،${\displaystyle k=1}$،${\displaystyle R(S)=1}$لذا فإن أفضل رهان${\displaystyle er_{k}=er_{1}}$سيتم النظر فيه أولاً.
4. يكرر:

   لو${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$ثم أدخل${\displaystyle k}$النتيجة رقم -th في المجموعة:${\displaystyle S=S\cup \{k\}}$، إعادة الحساب${\displaystyle R(S)}$وفقًا للصيغة التالية:$${\displaystyle R(S)={\frac {D\sum _{k\notin S}p_{k}}{D-\sum _{k\in S}\beta _{k}}}}$$ ثم اضبط${\displaystyle k=k+1}$،

   وإلا، فقم بالتعيين${\displaystyle S^{o}=S}$وتوقف عن التكرار.

إذا كانت المجموعة المثلى${\displaystyle S^{o}}$إذا كانت المجموعة فارغة، فلا تراهن على الإطلاق.${\displaystyle S^{o}}$إذا لم تكن مجموعة النتائج المثلى فارغة، فإن الكسر الأمثل${\displaystyle f_{k}^{o}}$للمراهنة على${\displaystyle k}$يمكن حساب النتيجة رقم -th من هذه الصيغة: $${\displaystyle f_{i}=p_{i}-\beta _{i}{\frac {\sum _{k\notin S}p_{k}}{\left(D-\sum _{k\in S}\beta _{k}\right)}}.}$$

يمكن إثبات ^{[ 17 ]} أن $${\displaystyle R(S^{o})=1-\sum _{i\in S^{o}}{f_{i}^{o}}}$$ حيث يمثل الجانب الأيمن معدل الاحتياطي . وبالتالي، فإن الشرط${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$يمكن تفسير ^{[ 17 ]} على النحو التالي:${\displaystyle k}$يتم تضمين النتيجة رقم -th في المجموعة${\displaystyle S^{o}}$تكون النتائج المثلى إذا وفقط إذا كان معدل الإيرادات المتوقع أكبر من معدل الاحتياطي. صيغة الكسر الأمثل${\displaystyle f_{k}^{o}}$يمكن تفسير ذلك على أنه زيادة في معدل الإيرادات المتوقع لـ${\displaystyle k}$- سعر الحصان رقم 1 فوق السعر الاحتياطي مقسومًا على الإيرادات بعد خصم رسوم المضمار عندما${\displaystyle k}$يفوز الحصان رقم - أو كزيادة في احتمالية${\displaystyle k}$الحصان رقم - الذي يفوز بسعر الرهان الاحتياطي مقسومًا على الإيرادات بعد خصم عمولة المضمار عندما${\displaystyle k}$يفوز الحصان رقم -. معامل النمو الثنائي هو

$${\displaystyle G^{o}=\sum _{i\in S}{p_{i}\log _{2}(er_{i})}+\left(1-\sum _{i\in S}{p_{i}}\right)\log _{2}(R(S^{o})),}$$ ووقت التضاعف هو $${\displaystyle T_{d}={\frac {1}{G^{o}}}.}$$

يمكن تطبيق هذه الطريقة لاختيار الرهانات المثلى حتى عندما تكون الاحتمالات${\displaystyle p_{k}}$لا تُعرف إلا ببعض النتائج الواعدة، بينما لا تملك النتائج المتبقية أي فرصة للفوز. في هذه الحالة، لا بد أن يكون الأمر كذلك. $${\displaystyle \sum _{i}{p_{i}}<1,}$$و $${\displaystyle \sum _{i}{\beta _{i}}<1}$$.

يمكن استخدام متعددة حدود تايلور من الدرجة الثانية كتقريب جيد للمعيار الرئيسي. وهي مفيدة بشكل أساسي في استثمارات الأسهم، حيث تعتمد النسبة المخصصة للاستثمار على خصائص بسيطة يمكن تقديرها من البيانات التاريخية المتاحة، مثل القيمة المتوقعة والتباين . قد يُقدم هذا التقريب نتائج مماثلة للمعيار الأصلي، ^{[ 18 ]} ولكن في بعض الحالات قد يكون الحل المُتحصل عليه غير عملي. ^{[ 19 ]}

بالنسبة للأصول الفردية (الأسهم، صناديق المؤشرات ، إلخ)، ومعدل العائد الخالي من المخاطر، من السهل الحصول على النسبة المثلى للاستثمار من خلال الحركة البراونية الهندسية . المعادلة التفاضلية العشوائية التي تحكم تطور أصل موزع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا${\displaystyle S}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$(${\displaystyle S_{t}}$) يكون

$${\displaystyle dS_{t}/S_{t}=\mu dt+\sigma dW_{t}}$$

حلها هو

$${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$$

أين${\displaystyle W_{t}}$هي عملية وينر ، و${\displaystyle \mu }$(نسبة الانحراف) و${\displaystyle \sigma }$(نسبة التقلب) هي ثوابت. بأخذ توقعات اللوغاريتم: $${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t.}$$ ثم القيمة المتوقعة للسجل${\displaystyle R_{s}}$يكون $${\displaystyle R_{s}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right).}$$ لنفترض محفظة تتكون من أصول${\displaystyle S}$وسند يدفع معدل فائدة خالٍ من المخاطر${\displaystyle r}$، مع كسر${\displaystyle f}$استثمر في${\displaystyle S}$و${\displaystyle (1-f)}$في الرابطة. المعادلة المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle dS_{t}}$يجب تعديلها بهذا الكسر، أي${\displaystyle {\frac {dS_{t}'}{S_{t}'}}=f{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}}$، مع الحل المرتبط به

$${\displaystyle S'_{t}=S'_{0}\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)t+f\sigma W_{t}\right)}$$

يُعطى العائد المتوقع لفترة واحدة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \mathbb {E} {\left(\left[{\frac {S'_{1}}{S'_{0}}}-1\right]+(1-f)r\right)}=\mathbb {E} {\left(\left[\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)+f\sigma W_{1}\right)-1\right]\right)}+(1-f)r}$$

للصغار${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \sigma }$، و${\displaystyle W_{t}}$ويمكن توسيع الحل إلى الدرجة الأولى للحصول على زيادة تقريبية في الثروة

$${\displaystyle G(f)=f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}+(1-f)\ r.}$$

حل${\displaystyle \max(G(f))}$نحصل على $${\displaystyle f^{*}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}.}$$${\displaystyle f^{*}}$يمثل هذا الكسر الذي يُعظّم العائد اللوغاريتمي المتوقع، وبالتالي، فهو كسر كيلي. وقد توصل ثورب ^{[ 10 ]} إلى النتيجة نفسها ولكن من خلال اشتقاق مختلف. تذكر أن${\displaystyle \mu }$يختلف عن عائد سجل الأصول${\displaystyle R_{s}}$إن الخلط بين هذا الأمر خطأ شائع يقع فيه المواقع الإلكترونية والمقالات التي تتحدث عن معيار كيلي.

بالنسبة للأصول المتعددة، ضع في اعتبارك سوقًا مع${\displaystyle n}$الأسهم المرتبطة${\displaystyle S_{k}}$مع عوائد عشوائية${\displaystyle r_{k}}$،${\displaystyle k=1,\dots ,n,}$وسند خالٍ من المخاطر مع عائد${\displaystyle r}$يضع المستثمر جزءًا صغيرًا${\displaystyle u_{k}}$من رأسمالهم في${\displaystyle S_{k}}$ويُستثمر الباقي في السند. وبدون الإخلال بعمومية المسألة ، نفترض أن رأس مال المستثمر الأولي يساوي 1. ووفقًا لمعيار كيلي، ينبغي تعظيم العائد. $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln \left((1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}u_{k}(r_{k}-r)\right)\right].}$$ توسيع هذا من خلال سلسلة تايلور حول${\displaystyle {\vec {u_{0}}}=(0,\ldots ,0)}$نحصل على $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln(1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {u_{k}(r_{k}-r)}{1+r}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}u_{k}u_{j}{\frac {(r_{k}-r)(r_{j}-r)}{(1+r)^{2}}}\right].}$$ وبذلك نختزل مسألة التحسين إلى برمجة تربيعية ، ويكون الحل غير المقيد هو $${\displaystyle {\vec {u^{\star }}}=(1+r)({\widehat {\Sigma }})^{-1}({\widehat {\vec {r}}}-r)}$$ أين${\displaystyle {\widehat {\vec {r}}}}$و${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$يمثل متجه المتوسطات ومصفوفة العزوم غير المركزية المختلطة الثانية للعوائد الزائدة. كما توجد خوارزمية عددية لاستراتيجيات كيلي الكسرية وللحل الأمثل في ظل عدم وجود رافعة مالية أو قيود بيع على المكشوف. ^{[ 20 ]}