الغاز في مصيدة توافقية

يمكن استخدام نتائج المذبذب التوافقي الكمومي لدراسة حالة التوازن لغاز مثالي كمومي في مصيدة توافقية ، وهي عبارة عن جهد توافقي يحتوي على عدد كبير من الجسيمات التي لا تتفاعل مع بعضها البعض إلا من خلال تصادمات حرارية آنية. لهذه الحالة أهمية عملية كبيرة، إذ تُجرى العديد من الدراسات التجريبية على غازات بوز في مثل هذه المصائد التوافقية.

باستخدام نتائج إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، أو إحصاءات بوز-أينشتاين، أو إحصاءات فيرمي-ديراك، نستخدم تقريب توماس-فيرمي (غاز في صندوق) ونصل إلى حد المصيدة الكبيرة جدًا، ونعبر عن انحلال حالات الطاقة (${\displaystyle g_{i}}$نستخدم دالة التوزيع كدالة تفاضلية، ومجموع الحالات كدالة تكاملية. وبذلك، سنتمكن من حساب الخصائص الديناميكية الحرارية للغاز باستخدام دالة التوزيع أو دالة التوزيع الكبرى . سنقتصر على دراسة حالة الجسيمات ذات الكتلة، مع إمكانية تعميم النتائج على الجسيمات عديمة الكتلة، كما هو الحال في الغاز المثالي داخل صندوق . ستُخصص مقالات أخرى لإجراء حسابات أكثر تفصيلًا، ولكن سنقدم بعض الأمثلة البسيطة في هذه المقالة.

بالنسبة للجسيمات الضخمة في بئر توافقي، يتم تعداد حالات الجسيم بواسطة مجموعة من الأعداد الكمومية.${\displaystyle [n_{x},n_{y},n_{z}]}$تُعطى طاقة حالة معينة بالصيغة التالية:

${\displaystyle E=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2\right)~~~~~~~~n_{i}=0,1,2,\ldots }$

لنفترض أن كل مجموعة من الأعداد الكمومية تحدد${\displaystyle f}$الولايات التي${\displaystyle f}$يمثل عدد درجات الحرية الداخلية للجسيم التي يمكن تغييرها عن طريق التصادم. على سبيل المثال، جسيم ذو لف مغزلي 1/2 سيكون لديه${\displaystyle f=2}$واحد لكل حالة دوران. يمكننا اعتبار كل حالة ممكنة للجسيم نقطة على شبكة ثلاثية الأبعاد من الأعداد الصحيحة الموجبة. يفترض تقريب توماس-فيرمي أن الأعداد الكمومية كبيرة جدًا لدرجة أنها يمكن اعتبارها متصلة. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ${\displaystyle n}$يمكننا تقدير عدد الحالات ذات الطاقة الأقل من أو تساوي${\displaystyle E}$من المعادلة أعلاه كما يلي:

${\displaystyle g=f\,{\frac {n^{3}}{6}}=f\,{\frac {(E/\hbar \omega )^{3}}{6}}}$

وهذا هو بالضبط${\displaystyle f}$مضروبًا في حجم رباعي الأوجه المتكون من المستوى الموصوف بمعادلة الطاقة والمستويات المحيطة بالثمن الموجب. عدد الحالات ذات الطاقة بين${\displaystyle E}$و${\displaystyle E+dE}$وبالتالي:

${\displaystyle dg={\frac {1}{2}}\,fn^{2}\,dn={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~{\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}\,dE}$

لاحظ أنه باستخدام تقريب الاستمرارية هذا، فقدنا القدرة على تحديد خصائص حالات الطاقة المنخفضة، بما في ذلك الحالة الأرضية حيث${\displaystyle n_{i}=0}$في معظم الحالات لن تكون هذه مشكلة، ولكن عند النظر في تكثيف بوز-أينشتاين، حيث يكون جزء كبير من الغاز في الحالة الأرضية أو بالقرب منها، سنحتاج إلى استعادة القدرة على التعامل مع حالات الطاقة المنخفضة.

بدون استخدام تقريب الاستمرارية، عدد الجسيمات ذات الطاقة${\displaystyle \epsilon _{i}}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi }}}$

أين

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}}$	بالنسبة للجسيمات التي تخضع لإحصاءات ماكسويل-بولتزمان
${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}-1}$	بالنسبة للجسيمات التي تخضع لإحصاءات بوز-أينشتاين
${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}+1}$	بالنسبة للجسيمات التي تخضع لإحصاءات فيرمي-ديراك

مع${\displaystyle \beta =1/kT}$، مع${\displaystyle k}$حيث أن ثابت بولتزمان ،${\displaystyle T}$كونها درجة الحرارة ، و${\displaystyle \mu }$حيث يمثل الجهد الكيميائي . باستخدام تقريب الوسط المتصل، عدد الجسيمات${\displaystyle dN}$مع الطاقة بين${\displaystyle E}$و${\displaystyle E+dE}$مكتوب الآن:

${\displaystyle dN={\frac {dg}{\Phi }}}$

أصبحنا الآن في وضع يسمح لنا بتحديد بعض دوال التوزيع لـ "الغاز في مصيدة توافقية". دالة التوزيع لأي متغير${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle P_{A}dA}$وهي تساوي نسبة الجسيمات التي لها قيم لـ${\displaystyle A}$بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle A+dA}$:

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN}{N}}={\frac {dg}{N\Phi }}}$

وبناءً على ذلك:

${\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1}$

باستخدام هذه العلاقات نحصل على دالة توزيع الطاقة:

${\displaystyle P_{E}~dE={\frac {1}{N}}\,\left({\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}\right)~{\frac {1}{2}}{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi }}\,dE}$

تقدم الأقسام التالية مثالاً على النتائج لبعض الحالات المحددة.

• هوانغ، كيرسون، "الميكانيكا الإحصائية"، جون وايلي وأولاده، نيويورك، 1967
• أ. إيشيهارا، "الفيزياء الإحصائية"، دار النشر الأكاديمية، نيويورك، 1971
• إل دي لاندو وإي إم ليفشيتز، "الفيزياء الإحصائية، الطبعة الثالثة الجزء الأول"، باتروورث-هاينمان، أكسفورد، 1996
• سي جيه بيثيك وإتش سميث، "تكثيف بوز-أينشتاين في الغازات المخففة"، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 2004