غاز في صندوق

في ميكانيكا الكم ، يمكن استخدام نتائج نموذج الجسيم الكمومي في صندوق لدراسة حالة التوازن لغاز كمومي مثالي في صندوق يحتوي على عدد كبير من الجسيمات التي لا تتفاعل مع بعضها البعض إلا من خلال تصادمات حرارية آنية. يمكن استخدام هذا النموذج البسيط لوصف الغاز المثالي الكلاسيكي، بالإضافة إلى أنواع مختلفة من الغازات الكمومية المثالية، مثل غاز فيرمي المثالي ذي الكتلة ، وغاز بوز المثالي ذي الكتلة ، وإشعاع الجسم الأسود ( غاز الفوتونات ) الذي يمكن اعتباره غاز بوز عديم الكتلة، حيث يُفترض عادةً أن التوازن الحراري فيه يتم عن طريق تفاعل الفوتونات مع كتلة متوازنة.

باستخدام نتائج إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، أو إحصاءات بوز-أينشتاين، أو إحصاءات فيرمي-ديراك ، ومع الأخذ في الاعتبار حالة صندوق كبير جدًا، يُستخدم تقريب توماس-فيرمي (نسبةً إلى إنريكو فيرمي وليويلين توماس ) للتعبير عن انحلال حالات الطاقة كمشتق، وعن المجاميع على الحالات كتكاملات. وهذا يُتيح حساب الخصائص الديناميكية الحرارية للغاز باستخدام دالة التوزيع أو دالة التوزيع الكبرى . ستُطبق هذه النتائج على الجسيمات ذات الكتلة والجسيمات عديمة الكتلة. ستُخصص مقالات أخرى لإجراء حسابات أكثر تفصيلًا، ولكن سيتم تقديم بعض الأمثلة البسيطة في هذه المقالة.

بالنسبة للجسيمات ذات الكتلة والجسيمات عديمة الكتلة في صندوق ، تُعدّد حالات الجسيم بمجموعة من الأعداد الكمومية [ n _x , n _y , n _z ] . ويُعطى مقدار الزخم بواسطة

$//$

حيث h هو ثابت بلانك و L هو طول ضلع الصندوق. يمكن اعتبار كل حالة ممكنة للجسيم نقطة على شبكة ثلاثية الأبعاد من الأعداد الصحيحة الموجبة. المسافة من نقطة الأصل إلى أي نقطة ستكون

${\displaystyle n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}}$

لنفترض أن كل مجموعة من الأعداد الكمومية تحدد f حالة، حيث f هو عدد درجات الحرية الداخلية للجسيم التي يمكن تغييرها بالتصادم. على سبيل المثال، جسيم ذو لف مغزلي 1/2 سيكون له f = 2 ، حالة واحدة لكل حالة لف مغزلي. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n ، فإن عدد الحالات ذات مقدار الزخم الأقل من أو يساوي p من المعادلة أعلاه هو تقريبًا

${\displaystyle g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}}$

وهو ببساطة f مضروبًا في حجم كرة نصف قطرها n مقسومًا على ثمانية، نظرًا لأنه يتم النظر فقط في الثمن ذي n _i الموجب. باستخدام تقريب متصل ، يكون عدد الحالات ذات مقدار الزخم بين p و p + dp هو

${\displaystyle dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp}$

حيث V = L³ هو حجم الصندوق. لاحظ أنه عند استخدام تقريب الاستمرارية هذا، المعروف أيضًا ^بتقريب توماس-فيرمي ، تُفقد القدرة على تحديد خصائص حالات الطاقة المنخفضة، بما في ذلك الحالة الأرضية حيث nᵢ = 1. في معظم الحالات _، لن يُمثل هذا مشكلة، ولكن عند دراسة تكثيف بوز-أينشتاين ، حيث يكون جزء كبير من الغاز في الحالة الأرضية أو بالقرب منها ، تصبح القدرة على التعامل مع حالات الطاقة المنخفضة أمرًا بالغ الأهمية.

بدون استخدام أي تقريب، يُعطى عدد الجسيمات ذات الطاقة ε _{i بالعلاقة التالية}

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}}$

أين${\displaystyle g_{i}}$هو انحطاط الحالة i و$${\displaystyle \Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\text{للجسيمات التي تخضع لإحصاءات ماكسويل-بولتزمان}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{للجسيمات التي تخضع لإحصاءات بوز-أينشتاين}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{للجسيمات التي تخضع لإحصاءات فيرمي-ديراك}}\\\end{cases}}}$$مع β = 1/ k _B T ، حيث k _B هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة ، و μ هو الجهد الكيميائي . (انظر إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، وإحصاءات بوز-أينشتاين ، وإحصاءات فيرمي-ديراك ). 

باستخدام تقريب توماس-فيرمي، يكون عدد الجسيمات dN _E ذات الطاقة بين E و E + dE هو:

${\displaystyle dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}}$

أين${\displaystyle dg_{E}}$يمثل عدد الحالات ذات الطاقة بين E و E + dE .

باستخدام النتائج المستخلصة من الأقسام السابقة من هذه المقالة، يمكن الآن تحديد بعض توزيعات الغاز في صندوق. بالنسبة لنظام من الجسيمات، يكون التوزيع${\displaystyle P_{A}}$لمتغير${\displaystyle A}$يتم تعريفها من خلال التعبير${\displaystyle P_{A}dA}$وهي نسبة الجسيمات التي لها قيم لـ${\displaystyle A}$بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle A+dA}$

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}}$

أين

• ${\displaystyle dN_{A}}$عدد الجسيمات التي لها قيم لـ${\displaystyle A}$بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle dg_{A}}$عدد الولايات التي لها قيم لـ${\displaystyle A}$بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle \Phi _{A}^{-1}}$، احتمال أن تكون الحالة التي لها القيمة${\displaystyle A}$يشغله جسيم
• ${\displaystyle N}$، العدد الإجمالي للجسيمات.

وبناءً على ذلك:

${\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1}$

بالنسبة لتوزيع الزخم${\displaystyle P_{p}}$، نسبة الجسيمات ذات مقدار الزخم بين${\displaystyle p}$و${\displaystyle p+dp}$يكون:

${\displaystyle P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp}$

ولتوزيع الطاقة${\displaystyle P_{E}}$، نسبة الجسيمات ذات الطاقة بين${\displaystyle E}$و${\displaystyle E+dE}$يكون:

${\displaystyle P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE}$

بالنسبة لجسيم داخل صندوق (وكذلك بالنسبة لجسيم حر )، فإن العلاقة بين الطاقة${\displaystyle E}$والزخم${\displaystyle p}$يختلف الأمر بالنسبة للجسيمات ذات الكتلة والجسيمات عديمة الكتلة. بالنسبة للجسيمات ذات الكتلة،

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

أما بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة،

${\displaystyle E=pc}$

أين${\displaystyle m}$كتلة الجسيم و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء . باستخدام هذه العلاقات،

• بالنسبة للجسيمات الضخمة$${\displaystyle {\begin{alignat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}}~dE\\\end{محاذاة}}}$$حيث Λ هو الطول الموجي الحراري للغاز.$${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}}$$هذه كمية مهمة، لأنه عندما تكون قيمة Λ من رتبة المسافة بين الجسيمات${\displaystyle (V/N)^{1/3}}$، تبدأ التأثيرات الكمومية في السيطرة، ولم يعد من الممكن اعتبار الغاز غاز ماكسويل-بولتزمان.
• بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة$$\displaystyle \begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$حيث Λ الآن هو الطول الموجي الحراري للجسيمات عديمة الكتلة.$${\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}$$

تقدم الأقسام التالية مثالاً على النتائج لبعض الحالات المحددة.

• الغاز في مصيدة توافقية

• هيرمان، ف.؛ وورفيل، ب. (أغسطس 2005). "ضوء ذو جهد كيميائي غير صفري" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 73 (8): 717-723 . Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 . تاريخ الاسترجاع: 20 نوفمبر 2006 .
• هوانغ، كيرسون (1967). الميكانيكا الإحصائية . نيويورك: جون وايلي وأولاده.
• إيشيهارا، أ. (1971). الفيزياء الإحصائية . نيويورك: دار النشر الأكاديمية.
• لاندو، إل دي؛ إي إم ليفشيتز (1996). الفيزياء الإحصائية (الطبعة الثالثة، الجزء الأول  ). أكسفورد: باتروورث-هاينمان.
• يان، زيجون (2000). "الطول الموجي الحراري العام وتطبيقاته". المجلة الأوروبية للفيزياء 21 ( 6): 625-631 . Bibcode : 2000EJPh...21..625Y . doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . S2CID 250870934 . 
• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics) , 2008. هذا الموقع على ويكي معطل؛ انظر هذه المقالة في أرشيف الويب بتاريخ 28 أبريل 2012 .