فيرميغاز

في الحد الديناميكي الحراري ، يكون العدد الإجمالي للجسيمات N كبيرًا جدًا لدرجة أنه يمكن التعامل مع العدد الكمي n كمتغير مستمر. في هذه الحالة، يكون توزيع كثافة العدد الإجمالي في الصندوق منتظمًا بالفعل.

عدد الحالات الكمومية في النطاق${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$يكون: $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

دون الإخلال بعمومية المسألة ، يتم اختيار طاقة النقطة الصفرية لتكون صفرًا، مع النتيجة التالية:

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

وبالتالي، في النطاق التالي: $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$ عدد الحالات الكمومية هو: $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

وهنا، درجة الانحطاط هي:

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

وكثافة الحالات هي:

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

في الأدب الحديث، ^{[ 5 ]} ما سبق ذكره${\displaystyle D(E)}$ويُطلق عليها أحيانًا اسم "كثافة الحالات". ومع ذلك،${\displaystyle g(E)}$يختلف عن${\displaystyle D(E)}$بمعامل حجم النظام (وهو${\displaystyle L}$(في هذه الحالة أحادية البعد).

بناءً على الصيغة التالية:

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

يمكن حساب طاقة فيرمي في الحد الديناميكي الحراري لتكون كالتالي:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

عندما يحتوي الصندوق على N من الفرميونات غير المتفاعلة ذات اللف المغزلي 1 / 2 ، فمن المثير للاهتمام حساب الطاقة في الحد الديناميكي الحراري ، حيث يكون N كبيرًا جدًا بحيث يمكن التعامل مع الأرقام الكمية n _x ، n _y ، n _{z كمتغيرات مستمرة.}

باستخدام المتجه${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$كل حالة كمومية تتوافق مع نقطة في "الفضاء ذي الأبعاد n" ذات طاقة $${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

مع${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$يشير إلى مربع الطول الإقليدي المعتاد${\textstyle \left|\mathbf {n} \right|={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$عدد الحالات ذات الطاقة الأقل من E_{_F}  + E_₀ يساوي عدد الحالات التي تقع داخل كرة نصف قطرها${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$في منطقة الفضاء ذي الأبعاد n حيث تكون قيم n _x و n _y و n _z موجبة. في الحالة الأرضية، يساوي هذا العدد عدد الفرميونات في النظام.

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

يعبر العامل 2 عن حالتي الدوران، ويعبر العامل 1/8 عن جزء الكرة الذي يقع في المنطقة التي تكون فيها جميع قيم n موجبة. $${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$تُعطى طاقة فيرمي بواسطة$$// }}\يمين)^{2/3}}$$

مما ينتج عنه علاقة بين طاقة فيرمي وعدد الجسيمات لكل وحدة حجم (عند استبدال L ^{2 بـ} V ^2/3 ):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

وهذه هي أيضاً طاقة الجسيم ذي الطاقة الأعلى (الـ${\displaystyle N}$الجسيم رقم 1)، فوق طاقة نقطة الصفر${\displaystyle E_{0}}$. ال${\displaystyle N'}$يمتلك الجسيم طاقة قدرها $$//$$

الطاقة الكلية لكرة فيرمي${\displaystyle N}$الفرميونات (التي تشغل جميع${\displaystyle N}$يتم تحديد حالات الطاقة داخل كرة فيرمي من خلال:

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

وبالتالي، فإن متوسط ​​الطاقة لكل جسيم يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

بالنسبة لغاز فيرمي ثلاثي الأبعاد المنتظم، مع فيرميونات ذات لف مغزلي 1/2 ، فإن عدد الجسيمات كدالة للطاقة${\textstyle N(E)}$يتم الحصول عليها عن طريق استبدال طاقة فيرمي بطاقة متغيرة${\textstyle (E-E_{0})}$:

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

ومنها كثافة الحالات (عدد حالات الطاقة لكل طاقة لكل حجم)${\displaystyle g(E)}$يمكن الحصول عليها. ويمكن حسابها عن طريق اشتقاق عدد الجسيمات بالنسبة للطاقة:

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

توفر هذه النتيجة طريقة بديلة لحساب الطاقة الكلية لكرة فيرمي${\displaystyle N}$الفرميونات (التي تشغل جميع${\displaystyle N}$حالات الطاقة داخل كرة فيرمي):

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\,\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\,\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\,\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

باستخدام التكامل الحجمي على${\textstyle d}$الأبعاد، كثافة الحالات هي:

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

يتم الحصول على طاقة فيرمي من خلال البحث عن كثافة عدد الجسيمات: $${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

للحصول على: $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {1}{g_{s}}}\Gamma {\left({\tfrac {d}{2}}+1\right)}{\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$ أين${\textstyle V}$وهو الحجم المقابل ذو الأبعاد d ،${\textstyle g_{s}}$يمثل هذا البعد فضاء هيلبرت الداخلي. في حالة اللف المغزلي 1/2 ، تكون كل طاقة متحللة مرتين، لذا في هذه الحالة${\textstyle g_{s}=2}$.

يتم الحصول على نتيجة معينة لـ${\displaystyle d=2}$، حيث تصبح كثافة الحالات ثابتة (لا تعتمد على الطاقة): $${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

معظم الحسابات المذكورة أعلاه دقيقة عند درجة حرارة الصفر المطلق، ومع ذلك تظل تقريبات جيدة لدرجات حرارة أقل من درجة حرارة فيرمي. بالنسبة لمتغيرات الديناميكا الحرارية الأخرى، من الضروري كتابة جهد ديناميكي حراري . بالنسبة لمجموعة من الفرميونات المتطابقة ، فإن أفضل طريقة لاشتقاق الجهد هي من المجموعة الكبرى الكنسية ذات درجة حرارة وحجم وجهد كيميائي ثابتين (μ) . والسبب في ذلك هو مبدأ استبعاد باولي، حيث أن أعداد شغل كل حالة كمومية تُعطى إما بـ 1 أو 0 (إما أن يكون هناك إلكترون يشغل الحالة أو لا)، وبالتالي فإن دالة التوزيع (الكبرى)${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

أين${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$،${\displaystyle \{q\}}$يُفهرس مجموعات جميع الحالات المجهرية الممكنة التي تعطي نفس الطاقة الكلية${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$وعدد الجسيمات${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$،${\textstyle \varepsilon _{q}}$هي طاقة الجسيم الواحد للحالة${\textstyle q}$(يُحتسب مرتين إذا كانت طاقة الحالة متدهورة) و${\textstyle n_{q}=0,1}$، أي شغلها. وهكذا يُكتب الاحتمال الكبير على النحو التالي:

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

يمكن الحصول على النتيجة نفسها في المجموعة الكنسية والمجموعة الميكروكنسية ، حيث يجب أن تعطي نتيجة كل مجموعة القيمة نفسها عند الحد الديناميكي الحراري.${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$يوصى هنا باستخدام المجموعة الكنسية الكبرى لأنها تتجنب استخدام التوافقيات والمضروب .

كما تم استكشافه في الأقسام السابقة، في الحد العياني، يمكننا استخدام تقريب مستمر ( تقريب توماس-فيرمي ) لتحويل هذا المجموع إلى تكامل: $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$ حيث D ( ε ) هي الكثافة الكلية للحالات.

يرتبط الجهد الكبير بعدد الجسيمات عند درجة حرارة محدودة بالطريقة التالية $${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}{\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)}\,\mathrm {d} \varepsilon }$$ حيث يتم حساب المشتقة عند درجة حرارة وحجم ثابتين، ويظهر $${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$ يُعرف أيضًا باسم توزيع فيرمي-ديراك .

وبالمثل، فإن إجمالي الطاقة الداخلية هو $${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

تتميز العديد من الأنظمة ذات الأهمية بكثافة إجمالية للحالات على شكل قانون القوة: $${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$ بالنسبة لبعض قيم g ₀ و α و ε ₀ ، تُعمَّم نتائج الأقسام السابقة إلى أبعاد d ، مما يُعطي قانونًا أُسِّيًّا مع:

• α = d /2 للجسيمات غير النسبية في صندوق ذي أبعاد d ،
• α = d للجسيمات غير النسبية في بئرجهد توافقي ذي أبعاد d ،
• α = d للجسيمات فائقة النسبية في صندوق ذي أبعاد d .

بالنسبة لكثافة الحالات التي تخضع لقانون القوة، فإن التكامل الكمي الكبير يُقيّم بدقة إلى: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$ أين${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$يمثل التكامل الكامل لفيرمي-ديراك (المرتبط باللوغاريتم المتعدد ). ومن هذا الجهد الكبير ومشتقاته، يمكن استخلاص جميع الكميات الديناميكية الحرارية ذات الأهمية.

تناولت المقالة فقط الحالة التي تربط فيها الجسيمات علاقة قطع مكافئ بين الطاقة والزخم، كما هو الحال في الميكانيكا غير النسبية. أما بالنسبة للجسيمات ذات الطاقات القريبة من كتلتها السكونية ، فتُطبَّق معادلات النسبية الخاصة . حيث تُعطى طاقة الجسيم الواحد بالعلاقة التالية: $${\displaystyle E={\sqrt {\left(pc\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}}}.}$$

بالنسبة لهذا النظام، تُعطى طاقة فيرمي بالصيغة التالية: $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {\left(p_{\mathrm {F} }c\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$ حيث${\displaystyle \approx }$لا تكون المساواة صحيحة إلا في الحد النسبي الفائق ، و ^{[ 13 ]}$${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

يُستخدم نموذج غاز فيرمي النسبي أيضًا لوصف الأقزام البيضاء الضخمة القريبة من حد تشاندراسيكار . في حالة النسبية الفائقة، يتناسب ضغط الانحلال مع${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$.

في عام 1956، وضع ليف لانداو نظرية سائل فيرمي ، حيث تناول حالة سائل فيرمي، أي نظام ذو تفاعلات تنافرية، ليست بالضرورة ضئيلة، بين الفرميونات. تُظهر النظرية أن الخصائص الديناميكية الحرارية لغاز فيرمي المثالي وسائل فيرمي لا تختلف اختلافًا كبيرًا. ويمكن إثبات أن سائل فيرمي يُكافئ غاز فيرمي مُكوَّن من إثارات جماعية أو جسيمات شبهية ، لكل منها كتلة فعالة وعزم مغناطيسي مختلفان .