متباينة غاوسية متساوية المحيط

في الرياضيات، تنص متباينة غاوس متساوية المحيط ، التي أثبتها بوريس تسيريلسون وفلاديمير سوداكوف ، ^{[ 1 ]} ولاحقًا بشكل مستقل من قبل كريستر بوريل ، ^{[ 2 ]} على أنه من بين جميع مجموعات القياس الغاوسي المعطى في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، فإن أنصاف الفضاءات لها الحد الأدنى من قياس الحدود الغاوسي .

يترك${\displaystyle \scriptstyle A}$أن تكون مجموعة فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$مزود بالمقياس الغاوسي القياسي${\displaystyle \gamma ^{n}}$مع الكثافة${\displaystyle {\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}}$. يُرمز إليه بـ

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

الامتداد ε لـ A. ثم تنص متباينة غاوس متساوية المحيط على أن

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_ {\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A)))،}$

أين

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {and}}\quad \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi (s)\,ds.}$

استندت البراهين الأصلية التي قدمها سوداكوف وتسيريلسون وبوريل إلى متباينة بول ليفي الكروية متساوية المحيط .

أثبت سيرجي بوبكوف متباينة بوبكوف ، وهي تعميم دالي لمتباينة غاوس المحيطية، والتي تم إثباتها انطلاقًا من "متباينة تحليلية ثنائية النقاط". ^{[ 3 ]} وقدّم بكري وليدو برهانًا آخر لمتباينة بوبكوف الدالية استنادًا إلى تقنيات شبه المجموعة ، وهو برهان يعمل في سياق أكثر تجريدًا. ^{[ 4 ]} وفي وقت لاحق، قدّم بارث وموري برهانًا آخر باستخدام الحركة البراونية . ^{[ 5 ]}

تنتج متباينة غاوس متساوية المحيط أيضًا من متباينة إيرهارد . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• تركيز القياس
• عدم المساواة بين بوريل وتيس