مقياس غاوسي

في الرياضيات ، المقياس الغاوسي هو مقياس بوريل على فضاء إقليدي محدود الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ترتبط المقاييس الغاوسية ارتباطًا وثيقًا بالتوزيع الطبيعي في الإحصاء ، ولها تعميمات في الفضاءات اللانهائية الأبعاد. سُميت هذه المقاييس نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس . أحد أسباب شيوع استخدامها في نظرية الاحتمالات هو نظرية النهاية المركزية ، التي تنص باختصار على أنه إذا كان المتغير العشوائي${\displaystyle X}$يتم الحصول عليها عن طريق جمع عدد كبير${\displaystyle N}$من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التباين 1، إذن${\displaystyle X}$يوجد تباين${\displaystyle N}$وقانونها هو قانون غاوسي تقريبًا.

يترك${\displaystyle n\in N}$ودع${\displaystyle B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$يشير إلى اكتمال بوريل${\displaystyle \sigma }$الجبر على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. يترك${\displaystyle \lambda ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,+\infty ]}$يشير إلى المعتاد${\displaystyle n}$مقياس ليبيغ ذو الأبعاد n . ثم المقياس الغاوسي القياسي${\displaystyle \gamma ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)}$$ لأي مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$فيما يتعلق بمشتق رادون-نيكوديم ، $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$$

وبشكل أعم، فإن المقياس الغاوسي ذو المتوسط${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$والتباين​${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$$

مقاييس غاوسية ذات متوسط${\displaystyle \mu =0}$تُعرف باسم مقاييس غاوس المركزية .

مقياس ديراك${\displaystyle \delta _{\mu }}$هي الحد الضعيف لـ${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}}$مثل${\displaystyle \sigma \to 0}$، ويعتبر مقياس غاوسي متدهور ؛ في المقابل، تسمى المقاييس الغاوسية ذات التباين المحدود وغير الصفري بالمقاييس الغاوسية غير المتدهورة .

المقياس الغاوسي القياسي${\displaystyle \gamma ^{n}}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• هو مقياس بوريل (في الواقع، كما ذكر أعلاه، يتم تعريفه عند اكتمال جبر بوريل سيجما، وهو بنية أدق)؛
• وهو ما يعادل مقياس ليبيغ:${\displaystyle \lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}}$، أين${\displaystyle \ll }$يرمز إلى الاستمرارية المطلقة للمقاييس؛
• مدعوم في جميع أنحاء الفضاء الإقليدي :${\displaystyle \operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$؛
• هو مقياس احتمالي${\displaystyle (\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)}$وبالتالي فهي محدودة محلياً ؛
• موجب تمامًا : كل مجموعة مفتوحة غير فارغة لها قياس موجب؛
• منتظم داخلي : لجميع مجموعات بوريل${\displaystyle A}$،$${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},}$$إذن، المقياس الغاوسي هو مقياس رادون ؛
• لا يكون ثابتًا تحت التحويل ، ولكنه يحقق العلاقة$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$حيث أن المشتقة على الجانب الأيسر هي مشتقة رادون-نيكوديم ، و${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$يمثل هذا تقدماً لمقياس غاوس القياسي بواسطة خريطة الإزاحة${\displaystyle T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$،${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$؛
• هو مقياس الاحتمالية المرتبط بتوزيع الاحتمالية الطبيعي :$${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).}$$

يمكن إثبات عدم وجود نظير لمقياس ليبيغ على فضاء متجهي لا نهائي الأبعاد . ومع ذلك، من الممكن تعريف مقاييس غاوسية على فضاءات لا نهائية الأبعاد، وأبرز مثال على ذلك هو بناء فضاء وينر المجرد . مقياس بوريل${\displaystyle \gamma }$في مساحة باناش قابلة للفصل${\displaystyle E}$يُقال إنها مقياس غاوسي غير منحل (مركزي) إذا كان، لكل دالة خطية${\displaystyle L\in E^{*}}$يستثني${\displaystyle L=0}$، الإجراء التحفيزي${\displaystyle L_{*}(\gamma )}$هو مقياس غاوسي غير منحل (مركزي) على${\displaystyle \mathbb {R} }$بالمعنى المحدد أعلاه.

على سبيل المثال، مقياس وينر الكلاسيكي على فضاء المسارات المتصلة هو مقياس غاوسي.

• مقياس بيسوف – تعميم للمقياس الغاوسي باستخدام معيار بيسوف 
• نظرية كاميرون-مارتن – نظرية تصف تحويل المقاييس الغاوسية على فضاءات هيلبرت 
• معامل التغاير – معامل في نظرية الاحتمالات 
• نظرية فيلدمان-هاجيك – النظرية في نظرية الاحتمالات