تركيز القياس

في الرياضيات ، يُعدّ تركيز القياس (حول الوسيط ) مبدأً يُطبّق في نظرية القياس ، والاحتمالات ، والتوافقية ، وله تبعات على مجالات أخرى مثل نظرية فضاء باناخ . وبصورة مبسطة، ينصّ هذا المبدأ على أن "المتغير العشوائي الذي يعتمد بطريقة ليبشيتز على العديد من المتغيرات المستقلة (ولكن ليس بشكل كبير على أي منها) يكون ثابتًا أساسًا". ^{[ 1 ]}

طُرحت ظاهرة تركيز القياس في أوائل سبعينيات القرن العشرين من قِبل فيتالي ميلمان في أعماله حول النظرية المحلية لفضاءات باناخ ، موسعًا فكرة تعود إلى أعمال بول ليفي . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد تم تطويرها بشكل أكبر في أعمال ميلمان وغروموف ، وموري ، وبيسييه ، وشيختمان ، وتالاغراند ، وليدو ، وغيرهم.

يترك${\displaystyle (X,d)}$ليكن فضاءً متريًا ذا مقياس${\displaystyle \mu }$على مجموعات بوريل مع${\displaystyle \mu (X)=1}$. يترك

${\displaystyle \alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\mu (X\smallsetminus A_{\varepsilon })\mid A{\text{ هي مجموعة بوريل و }}\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

أين

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\mid d(x,A)<\varepsilon \right\}}$

هو${\displaystyle \varepsilon }$- امتداد (يسمى أيضًا)${\displaystyle \varepsilon }$(التضخم في سياق مسافة هاوسدورف ) لمجموعة${\displaystyle A}$.

الوظيفة${\displaystyle \alpha (\cdot )}$يُطلق عليه معدل تركيز الفضاء${\displaystyle X}$للتعريف المكافئ التالي العديد من التطبيقات:

${\displaystyle \alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq M+\varepsilon \})\right\},}$

حيث يكون الحد الأعلى على جميع الدوال من الدرجة 1-ليبشيتز${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$والوسيط (أو متوسط ​​ليفي)${\displaystyle M=\operatorname {Med} F}$يتم تعريفها من خلال المتباينات

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

بشكل غير رسمي، المساحة${\displaystyle X}$يُظهر ظاهرة التركيز إذا ${\displaystyle \alpha (\varepsilon )}$يتحلل بسرعة كبيرة لأن${\displaystyle \varepsilon }$ينمو. وبشكل أكثر رسمية، عائلة من فضاءات القياس المتري${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$تُسمى عائلة ليفي إذا كانت معدلات التركيز المقابلة${\displaystyle \alpha _{n}}$مُرضٍ

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\alpha _{n}(\varepsilon )\to 0{\text{ as }}n\to \infty ,}$

وعائلة ليفي عادية إذا

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\alpha _{n}(\varepsilon )\leq C\exp(-cn\varepsilon ^{2})}$

بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle c,C>0}$للاطلاع على أمثلة، انظر أدناه.

يعود المثال الأول إلى بول ليفي . وفقًا لمتباينة المحيط الكروي ، من بين جميع المجموعات الجزئية${\displaystyle A}$من المجال${\displaystyle S^{n}}$مع القياس الكروي المحدد${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$الغطاء الكروي

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}\mid \operatorname {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

مناسب لـ${\displaystyle R}$، لديه أصغر${\displaystyle \varepsilon }$-امتداد${\displaystyle A_{\varepsilon }}$(لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$).

تطبيق هذا على مجموعات القياس${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$(أين ${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$)، يمكن استنتاج متباينة التركيز التالية :

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\varepsilon })\geq 1-C\exp(-cn\varepsilon ^{2}),}$

أين${\displaystyle C,c}$هي ثوابت كونية. لذلك${\displaystyle (S^{n})_{n}}$تستوفي التعريف المذكور أعلاه لعائلة ليفي العادية.

قام فيتالي ميلمان بتطبيق هذه الحقيقة على العديد من المشاكل في النظرية المحلية لفضاءات باناخ، وعلى وجه الخصوص، لتقديم برهان جديد لنظرية دفوريتسكي .

تستند جميع فروع الفيزياء الإحصائية الكلاسيكية إلى ظواهر تركيز القياس: الفكرة الأساسية (أو "النظرية") حول تكافؤ المجموعات في الحد الديناميكي الحراري ( جيبس ، 1902 ^{[ 4 ]} وآينشتاين ، 1902-1904 [ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] )} هي تحديدًا نظرية تركيز الغلاف الرقيق. لكل نظام ميكانيكي، نعتبر فضاء الطور مزودًا بقياس ليوفيل الثابت (حجم الطور) ويحافظ على الطاقة E. المجموعة الميكروكانونية هي ببساطة توزيع ثابت على سطح طاقة ثابتة E، حصل عليه جيبس ​​كحد للتوزيعات في فضاء الطور ذات الكثافة الثابتة في طبقات رقيقة بين أسطح الحالات ذات الطاقة E و E  +  ΔE . تُعطى المجموعة الكانونية بكثافة الاحتمال في فضاء الطور (بالنسبة لحجم الطور) .${\displaystyle \rho =e^{(FE)/(kT)},}$حيث يتم تعريف الكميات F  =  ثابت و T  =  ثابت من خلال شروط تطبيع الاحتمالية والتوقع المعطى للطاقة E. 

عندما يكون عدد الجسيمات كبيرًا، فإن الفرق بين متوسط ​​قيم المتغيرات العيانية للمجموعتين الكنسية والميكروكنسية يؤول إلى الصفر، ويتم تقييم تقلباتها بشكل صريح. وقد أثبت خينشين (1943) هذه النتائج بدقة في ظل بعض شروط الانتظام على دالة الطاقة E. ^{[ 8 ]} وكانت أبسط حالة خاصة، عندما تكون E مجموع مربعات، معروفة بالتفصيل قبل خينشين وليفي، بل وحتى قبل جيبس ​​وأينشتاين. وهي توزيع ماكسويل-بولتزمان لطاقة الجسيمات في الغاز المثالي.

تُعدّ المجموعة الميكروكانونية طبيعية جدًا من وجهة النظر الفيزيائية البسيطة: فهي مجرد توزيع متساوٍ طبيعي على السطح الفائق متساوي الطاقة. وتكتسب المجموعة الكانونية فائدة كبيرة نظرًا لخاصية مهمة: إذا كان النظام يتكون من نظامين فرعيين غير متفاعلين، أي إذا كانت الطاقة E هي المجموع،${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$، أين${\displaystyle X_{1},X_{2}}$إذا كانت حالات الأنظمة الفرعية هي حالات النظام الفرعي، فإن حالات التوازن للأنظمة الفرعية تكون مستقلة، ويكون توزيع التوازن للنظام هو حاصل ضرب توزيعات التوازن للأنظمة الفرعية التي لها نفس درجة الحرارة T. إن تكافؤ هذه المجموعات هو حجر الزاوية للأسس الميكانيكية للديناميكا الحرارية. 

• عدم المساواة بين بوريل وتيس
• متباينة غاوسية متساوية المحيط
• عدم المساواة لدى ماكديارميد
• عدم المساواة في التركيز في تالاغراند
• خاصية التوزيع المتساوي المقارب

• ليدو، ميشيل (2001). ظاهرة تركيز القياس . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-2864-9.
• جيانوبولوس، أ.أ.؛ ميلمان، ف.د. (2000). "خاصية التركيز على فضاءات الاحتمال" (ملف PDF) . التقدم في الرياضيات . 156 : 77-106 . doi : 10.1006/aima.2000.1949 .

• هوزار ، فيرينك (9 نوفمبر 2017). "التوزيعات الغوسية هي فقاعات صابون" .– منشور مدونة يوضح أحد آثار تركيز القياس