التحويلات المتغيرة العامة

في الفيزياء ، تُعتبر التحويلات المتغيرة العامة تناظرات لنظرية الجاذبية على فضاء متعدد الأبعاد عالمي.${\displaystyle X}$هي تحويلات قياس تكون دوالها المعاملية عبارة عن حقول متجهة على${\displaystyle X}$من وجهة النظر الفيزيائية، تُعامل التحويلات المتغيرة العامة كتحويلات إطار مرجعي خاصة ( هولونومية ) في النسبية العامة . أما في الرياضيات ، فتُعرَّف التحويلات المتغيرة العامة على أنها تشاكلات ذاتية خاصة لما يُسمى بحزم الألياف الطبيعية .

يترك${\displaystyle \pi :Y\to X}$ليكن متعدد الشعب الليفي ذو إحداثيات ليفية محلية${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$كل تماثل ذاتي لـ${\displaystyle Y}$يتم إسقاطها على شكل تماثلي لقاعدتها${\displaystyle X}$لكن العكس ليس صحيحاً. تماثل تفاضلي لـ${\displaystyle X}$لا يشترط أن يؤدي ذلك إلى تحول ذاتي لـ${\displaystyle Y}$.

على وجه الخصوص، مولد متناهي الصغر لمجموعة لي ذات معلمة واحدة من التشاكلات الذاتية لـ${\displaystyle Y}$هو حقل متجه قابل للإسقاط

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

على${\displaystyle Y}$يتم إسقاط حقل المتجهات هذا على حقل متجه آخر${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$على${\displaystyle X}$، الذي يمثل تدفقه مجموعة ذات معلمة واحدة من التشاكلات التفاضلية لـ${\displaystyle X}$. على العكس من ذلك، دع${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\partial _{\lambda }}$ليكن حقل متجه على${\displaystyle X}$توجد مشكلة في بناء رفعها إلى حقل متجه قابل للإسقاط على${\displaystyle Y}$تم إسقاطها على${\displaystyle \tau }$يوجد مثل هذا المصعد دائمًا، لكن ليس بالضرورة أن يكون قياسيًا. بافتراض وجود اتصال${\displaystyle \Gamma }$على${\displaystyle Y}$كل حقل متجه${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$يؤدي إلى ظهور حقل المتجهات الأفقي

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

على${\displaystyle Y}$هذا المصعد الأفقي${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$ينتج عنه شكل أحادي من${\displaystyle C^{\infty }(X)}$- وحدة حقول المتجهات على${\displaystyle X}$إلى${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$- وحدة حقول المتجهات على${\displaystyle Y}$لكن هذا التشاكل الأحادي ليس تشاكلاً في جبر لي، إلا إذا${\displaystyle \Gamma }$مسطح.

ومع ذلك، هناك فئة من الحزم الطبيعية المذكورة أعلاه${\displaystyle T\to X}$والتي تسمح بالرفع الوظيفي${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$على${\displaystyle T}$من أي حقل متجهي${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$هو أحادي الشكل في جبر لي

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

هذا المصعد الوظيفي${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$هو تحويل متغاير عام متناهي الصغر لـ${\displaystyle T}$.

في سياق عام، ينظر المرء إلى أحادي الشكل${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$من مجموعة من التحولات التفاضلية لـ${\displaystyle X}$إلى مجموعة من التشاكلات الذاتية للحزمة الطبيعية${\displaystyle T\to X}$. التماثلات الذاتية${\displaystyle {\widetilde {f}}}$تُسمى هذه التحويلات بالتحويلات المتغيرة العامة لـ${\displaystyle T}$على سبيل المثال، لا يوجد تماثل ذاتي رأسي لـ${\displaystyle T}$هو تحويل متغاير عام.

تُعدّ حزم الموترات مثالًا على الحزم الطبيعية . على سبيل المثال، حزمة المماس.${\displaystyle TX}$ل${\displaystyle X}$هي حزمة طبيعية. كل تحويل تماثلي${\displaystyle f}$ل${\displaystyle X}$يؤدي إلى التماثل الذاتي المماسي${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$ل${\displaystyle TX}$وهو تحويل متغاير عام لـ${\displaystyle TX}$فيما يتعلق بالإحداثيات الهولونومية${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$على${\displaystyle TX}$، هذا التحويل يقرأ

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.}$

مجموعة إطارات${\displaystyle FX}$من الإطارات المماسية الخطية في${\displaystyle TX}$وهي أيضًا حزمة طبيعية. تشكل التحويلات المتغيرة العامة مجموعة فرعية من التشاكلات الذاتية الهولونومية لـ${\displaystyle FX}$جميع الحزم المرتبطة بحزمة إطار هي حزم طبيعية. ومع ذلك، توجد حزم طبيعية غير مرتبطة بـ${\displaystyle FX}$.

• التغاير العام
• نظرية الجاذبية المعيارية
• مشعب ألياف

• كولار، آي.، ميخور، ب.، سلوفاك، ج.، العمليات الطبيعية في الهندسة التفاضلية. سبرينغر-فيرلاغ: برلين هايدلبرغ، 1993. ISBN 3-540-56235-4، ISBN 0-387-56235-4.
• سارداناشفيلي، ج. ، الهندسة التفاضلية المتقدمة للمنظرين: حزم الألياف، ومتشعبات النفاثات، ونظرية لاغرانج، دار لامبرت للنشر الأكاديمي: ساربروكن، 2013. ISBN 978-3-659-37815-7arXiv : 0908.1886​
• ساوندرز، دي جيه (1989)، هندسة حزم النفاثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-36948-7