حزمة الإطار

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 89 صور
الموسوعة الحرة
حزمة الإطار المتعامدFيا(هـ){\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)}من شريط موبيوسهـ{\displaystyle E}هو مبدأ غير تافهZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }- يلتف حول الدائرة.

في الرياضيات ، الحزمة الإطارية هي حزمة ألياف رئيسيةF(هـ){\displaystyle F(E)}مرتبط بأي حزمة متجهةهـ{\displaystyle E}أليافF(هـ){\displaystyle F(E)}على نقطةx{\displaystyle x}هي مجموعة جميع القواعد المرتبة ، أو الإطارات ، لـهـx{\displaystyle E_{x}}تؤثر المجموعة الخطية العامة بشكل طبيعي علىF(هـ){\displaystyle F(E)}عن طريق تغيير الأساس ، مما يمنح حزمة الإطار بنية أساسيةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}- حزمة (حيث k هي رتبةهـ{\displaystyle E}).

حزمة الإطار لمتشعب أملس هي الحزمة المرتبطة بحزمة المماس الخاصة به . ولهذا السبب تُسمى أحيانًا حزمة إطار المماس .

التعريف والبناء

يتركهـ→X{\displaystyle E\to X}ليكن حزمة متجهات حقيقية من الرتبةك{\displaystyle k}على فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}إطار عند نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}هي أساس مرتب للفضاء المتجهيهـx{\displaystyle E_{x}}. وبالمثل، يمكن اعتبار الإطار بمثابة تماثل خطي

ص:Rك→هـx.{\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}

مجموعة جميع الإطارات فيx{\displaystyle x}، المشار إليهFx{\displaystyle F_{x}}، له حق طبيعي في العمل من قبل المجموعة الخطية العامةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}من القابل للعكسك×ك{\displaystyle k\times k}المصفوفات: عنصر المجموعةز∈جيل(ك،R){\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}يؤثر على الإطارص{\displaystyle p}عن طريق التركيب لإعطاء إطار جديد

ص∘ز:Rك→هـx.{\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}

هذا الإجراء منجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}علىFx{\displaystyle F_{x}}هو فضاء حر ومتعدٍ (وهذا يتبع من نتيجة الجبر الخطي القياسية التي تنص على وجود تحويل خطي عكسي فريد ينقل أساسًا إلى آخر). وباعتباره فضاءً طوبولوجيًا،Fx{\displaystyle F_{x}}متماثل الشكل معجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}على الرغم من افتقارها إلى بنية جماعية، لعدم وجود "إطار مفضل". الفضاءFx{\displaystyle F_{x}}يقال إنهجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}- تورسور .

حزمة الإطار لـهـ{\displaystyle E}، ويرمز إليه بـF(هـ){\displaystyle F(E)}أوFجيل(هـ){\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}، هو الاتحاد المنفصل لجميعFx{\displaystyle F_{x}}:

F(هـ)=∐x∈XFx.{\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}

كل نقطة فيF(هـ){\displaystyle F(E)}هو زوج(x،ص){\displaystyle (x,p)}، أينx{\displaystyle x}هي نقطة فيX{\displaystyle X}وص{\displaystyle p}هو إطار فيx{\displaystyle x}هناك بروز طبيعيπ:F(هـ)→X{\displaystyle \pi :F(E)\to X}والذي يرسل(x،ص){\displaystyle (x,p)}لx{\displaystyle x}المجموعةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}أعمال بشأنF(هـ){\displaystyle F(E)}على اليمين كما في الأعلى. هذا الفعل حرٌّ بوضوح، والمدارات ليست سوى أليافπ{\displaystyle \pi }.

بنية الحزمة الرئيسية

حزمة الإطارF(هـ){\displaystyle F(E)}يمكن إعطاؤها بنية طوبولوجية طبيعية وبنية حزمية محددة بواسطة بنية...هـ{\displaystyle E}. يترك(يوأنا،ϕأنا){\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}أن يكون تبسيطًا محليًا لـهـ{\displaystyle E}ثم لكلx∈يوأنا{\displaystyle x\in U_{i}}أحدهما له تماثل خطيϕأنا،x:هـx→Rك{\displaystyle \phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}}تحدد هذه البيانات تقابلًا

ψأنا:π-1(يوأنا)→يوأنا×جيل(ك،R){\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}

مقدم من

ψأنا(x،ص)=(x،ϕأنا،x∘ص).{\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\phi _{i,x}\circ p).}

مع هذه التقابلات، كلπ-1(يوأنا){\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})}يمكن إعطاء طوبولوجيايوأنا×جيل(ك،R){\displaystyle U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}الطوبولوجيا علىF(هـ){\displaystyle F(E)}هل الطوبولوجيا النهائية ناتجة عن خرائط التضمين؟π-1(يوأنا)→F(هـ){\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)}.

باستخدام جميع البيانات المذكورة أعلاه، يتم إنشاء حزمة الإطاراتF(هـ){\displaystyle F(E)}يصبح حزمة ألياف رئيسية علىX{\displaystyle X}مع مجموعة هيكليةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}والتبسيطات المحلية({يوأنا}،{ψأنا}){\displaystyle (\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})}يمكن التحقق من أن دوال الانتقال لـF(هـ){\displaystyle F(E)}وهي مماثلة لتلك الخاصة بـهـ{\displaystyle E}.

ينطبق ما سبق أيضاً على الفئة السلسة: إذاهـ{\displaystyle E}هي حزمة متجهات ملساء فوق مشعب أملسم{\displaystyle M}ثم حزمة الإطارات الخاصة بـهـ{\displaystyle E}يمكن إعطاؤها بنية حزمة رئيسية سلسة علىم{\displaystyle M}.

حزم المتجهات المرتبطة

حزمة متجهاتهـ{\displaystyle E}وحزمة الإطار الخاصة بهاF(هـ){\displaystyle F(E)}هي حزم مترابطة . كل واحدة منها تحدد الأخرى. حزمة الإطارF(هـ){\displaystyle F(E)}يمكن بناؤها منهـ{\displaystyle E}كما سبق، أو بشكل أكثر تجريدًا باستخدام نظرية بناء حزمة الألياف . باستخدام الطريقة الأخيرة،F(هـ){\displaystyle F(E)}هي حزمة الألياف التي لها نفس القاعدة، ومجموعة البنية، والجوار التافهة، ووظائف الانتقال مثلهـ{\displaystyle E}لكن بألياف مجردةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}، حيث يكون تأثير مجموعة البنيةجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}على الأليافجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}وهي عملية الضرب من اليسار.

بالنظر إلى أي تمثيل خطيρ:جيل(ك،R)→جيل(V،F){\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )} يوجد حزمة متجهة

F(هـ)×ρV{\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}

مرتبط بـF(هـ){\displaystyle F(E)}والذي يُعطى بواسطة حاصل الضربF(هـ)×V{\displaystyle F(E)\times V}modulo علاقة التكافؤ(صز،v)∼(ص،ρ(ز)v){\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}للجميعز{\displaystyle g}فيجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}. نرمز إلى فئات التكافؤ بـ[ص،v]{\displaystyle [p,v]}.

حزمة المتجهاتهـ{\displaystyle E}متماثل بشكل طبيعي مع الحزمةF(هـ)×ρRك{\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}أينρ{\displaystyle \rho }هو التمثيل المميز لـجيل(ك،R){\displaystyle \mathrm {GL} (ك,\mathbb {R} )}علىRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}. يُعطى التشاكل بواسطة

[ص،v]↦ص(v){\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}

أينv{\displaystyle v}هو متجه فيRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}وص:Rك→هـx{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}هو إطار فيx{\displaystyle x}يمكن للمرء بسهولة التحقق من أن هذه الخريطة محددة جيدًا .

أي حزمة متجهة مرتبطة بـهـ{\displaystyle E}يمكن الحصول على ذلك من خلال البناء المذكور أعلاه. على سبيل المثال، الحزمة الثنائية لـهـ{\displaystyle E}يُعطى بواسطةF(هـ)×ρ*(Rك)*{\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}أينρ*{\displaystyle \rho ^{*}}هو التمثيل الثنائي للتمثيل الأساسي. حزم الموترات منهـ{\displaystyle E}يمكن بناؤها بطريقة مماثلة.

حزمة الإطار المماسي

حزمة الإطار المماسي (أو ببساطة حزمة الإطار ) لمتشعب أملسم{\displaystyle M}هي حزمة الإطار المرتبطة بحزمة المماس لـم{\displaystyle M}حزمة الإطار لـم{\displaystyle M}يُشار إليه غالبًا بـFم{\displaystyle FM}أوجيل(م){\displaystyle \mathrm {GL} (M)}بدلاً منF(تيم){\displaystyle F(TM)}في الفيزياء، يُشار إليه أحيانًا بـلم{\displaystyle LM}. لوم{\displaystyle M}يكونن{\displaystyle n}إذا كان عدد الأبعاد يساوي n، فإن حزمة المماس لها رتبةن{\displaystyle n}لذا فإن حزمة الإطار لـم{\displaystyle M}هو مديرجيل(ن،R){\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}حزمة شاملةم{\displaystyle M}.

إطارات ناعمة

الأجزاء المحلية من حزمة الإطار لـم{\displaystyle M}تُسمى هذه الإطارات بالإطارات الملساءم{\displaystyle M}تنص نظرية المقطع العرضي للحزم الرئيسية على أن حزمة الإطار تكون تافهة على أي مجموعة مفتوحة فييو{\displaystyle U}فيم{\displaystyle M}والذي يسمح بإطار أملس. بالنظر إلى إطار أملسs:يو→Fيو{\displaystyle s:U\to FU}، التبسيطψ:Fيو→يو×جيل(ن،R){\displaystyle \psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}يُعطى بواسطة

ψ(ص)=(x،s(x)-1∘ص){\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}

أينص{\displaystyle p}هو إطار فيx{\displaystyle x}ويترتب على ذلك أن المتشعب قابل للتوازي إذا وفقط إذا كانت حزمة الإطار لـم{\displaystyle M}يقبل قسمًا عالميًا.

بما أن الحزمة المماسية لـم{\displaystyle M}يمكن تبسيطها على نطاقات إحداثيات الجوار لـم{\displaystyle M}وكذلك حزمة الإطار. في الواقع، بالنظر إلى أي جوار إحداثييو{\displaystyle U}مع الإحداثيات(x1،...،xن){\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}حقول متجهات الإحداثيات

(∂∂x1،...،∂∂xن){\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}

حدد إطارًا سلسًا علىيو{\displaystyle U}من مزايا العمل مع حزم الإطارات أنها تتيح استخدام إطارات أخرى غير إطارات الإحداثيات؛ إذ يمكن اختيار إطار مناسب للمشكلة المطروحة. ويُطلق على هذه الطريقة أحيانًا اسم طريقة الإطارات المتحركة .

نموذج اللحام

حزمة الإطار لمشعبم{\displaystyle M}هو نوع خاص من الحزم الرئيسية بمعنى أن هندسته مرتبطة بشكل أساسي بهندسةم{\displaystyle M}يمكن التعبير عن هذه العلاقة باستخدام شكل تفاضلي أحادي ذي قيم متجهة علىFم{\displaystyle FM}يُطلق عليه شكل اللحام (المعروف أيضًا بالشكل الأساسي أو الشكل التكراري 1 ). ليكنx{\displaystyle x}كن نقطة من نقاط التشعبم{\displaystyle M}وص{\displaystyle p}إطار فيx{\displaystyle x}، لهذا السبب

ص:Rن→تيxم{\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}

هو تماثل خطي لـRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}مع الفضاء المماسي لـم{\displaystyle M}فيx{\displaystyle x}. شكل اللحام منFم{\displaystyle FM}هوRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}- نموذج أحادي القيمةθ{\displaystyle \theta }محدد بواسطة

θص(ξ)=ص-1دπ(ξ){\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}

حيث ξ هو متجه مماس لـFم{\displaystyle FM}عند النقطة(x،ص){\displaystyle (x,p)}، وص-1:تيxم→Rن{\displaystyle p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}هو معكوس خريطة الإطار، ودπ{\displaystyle d\pi }هو تفاضل خريطة الإسقاطπ:Fم→م{\displaystyle \pi :FM\to M}يكون شكل اللحام أفقيًا بمعنى أنه يتلاشى على المتجهات المماسية لأليافπ{\displaystyle \pi }ومتغيرة من اليمين بالمعنى التالي:

Rز*θ=ز-1θ{\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }

أينRز{\displaystyle R_{g}}هذه ترجمة صحيحة من قِبلز∈جيل(ن،R){\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}يُطلق على الشكل الذي يتمتع بهذه الخصائص اسم الشكل الأساسي أو الشكل الموتري .Fم{\displaystyle FM}تتوافق هذه النماذج بشكل مباشر معتيم{\displaystyle TM}الأشكال ذات القيمة 1 علىم{\displaystyle M}والتي بدورها تتطابق تطابقاً تاماً مع خرائط الحزم الملساءتيم→تيم{\displaystyle TM\to TM}زيادةم{\displaystyle M}. من هذا المنظورθ{\displaystyle \theta }إنها مجرد خريطة الهوية علىتيم{\displaystyle TM}.

كاصطلاح تسمية، يُستخدم مصطلح "صيغة أحادية تكرارية" عادةً للحالات التي يكون فيها للصيغة تعريف معياري، كما هو الحال هنا، بينما يُعدّ مصطلح "صيغة اللحام" أكثر ملاءمةً للحالات التي لا يكون فيها للصيغة تعريف معياري. ولا يُراعى هذا الاصطلاح هنا.

حزمة إطار متعامد

إذا كانت حزمة متجهةهـ{\displaystyle E}يتم تجهيزها بمقياس حزمة ريماني، ثم كل ليفهـx{\displaystyle E_{x}}لا يقتصر الأمر على كونه فضاءً متجهيًا فحسب، بل هو أيضًا فضاء جداء داخلي . ومن ثم، يمكن الحديث عن مجموعة جميع الإطارات المتعامدة لـهـx{\displaystyle E_{x}}إطار متعامد لـهـx{\displaystyle E_{x}}هو أساس متعامد أمر لهـx{\displaystyle E_{x}}أو، بشكل مكافئ، قياس متساوي القياس الخطي

ص:Rك→هـx{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}

أينRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}مُجهّز بالمقياس الإقليدي القياسي . المجموعة المتعامدةيا(ك){\displaystyle \mathrm {O} (k)}تؤثر هذه الدالة بحرية وبشكل متعدٍ على مجموعة جميع الإطارات المتعامدة المعيارية عبر التركيب الأيمن. بعبارة أخرى، فإن مجموعة جميع الإطارات المتعامدة المعيارية هي مجموعة يمينية.يا(ك){\displaystyle \mathrm {O} (k)}- تورسور .

حزمة الإطار المتعامد لـهـ{\displaystyle E}، المشار إليهFيا(هـ){\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}، هي مجموعة جميع الإطارات المتعامدة عند كل نقطةx{\displaystyle x}في المساحة الأساسيةX{\displaystyle X}يمكن بناؤها بطريقة مماثلة تمامًا لطريقة بناء حزمة الإطار العادية. حزمة الإطار المتعامدة من رتبةك{\displaystyle k}حزمة متجهات ريمانهـ→X{\displaystyle E\to X}هو مديريا(ك){\displaystyle \mathrm {O} (k)}- حزمة فوقX{\displaystyle X}ومرة أخرى، يعمل التصميم بشكل جيد بنفس القدر في الفئة السلسة.

إذا كانت حزمة المتجهاتهـ{\displaystyle E}إذا كان قابلاً للتوجيه ، فيمكن تعريف حزمة الإطار المتعامد الموجه لـهـ{\displaystyle E}، المشار إليهFSيا(هـ){\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}بصفته المديرSيا(ك){\displaystyle \mathrm {SO} (k)}- حزمة من جميع الإطارات المتعامدة ذات التوجه الإيجابي.

لوم{\displaystyle M}هون{\displaystyle n}إذا كان لدينا مشعب ريماني ذو أبعاد n ، فإن حزمة الإطار المتعامد لـم{\displaystyle M}، المشار إليهFيا(م){\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}أويا(م){\displaystyle \mathrm {O} (M)}، هي حزمة الإطار المتعامد المرتبطة بحزمة المماس لـم{\displaystyle M}(وهو مزود بمقياس ريماني بحكم التعريف). إذام{\displaystyle M}إذا كان قابلاً للتوجيه، فإنه يكون لدينا أيضًا حزمة الإطار المتعامد الموجه.FSيا(م){\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(M)}.

بالنظر إلى حزمة متجهات ريمانيةهـ{\displaystyle E}، حزمة الإطار المتعامد هي عنصر أساسييا(ك){\displaystyle \mathrm {O} (k)}- حزمة فرعية من حزمة الإطار الخطي العام. بعبارة أخرى، خريطة التضمين

أنا:Fيا(هـ)→Fجيل(هـ){\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}

خريطة الحزمة الرئيسية . يقول أحدهم أنFيا(هـ){\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}هو اختزال لمجموعة البنية لـFجيل(هـ){\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}منجيل(ن،R){\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}ليا(ك){\displaystyle \mathrm {O} (k)}.

هياكل G

إذا كان مشعبًا أملسًام{\displaystyle M}يأتي مع بنية إضافية، وغالبًا ما يكون من الطبيعي اعتبار حزمة فرعية من حزمة الإطار الكاملة لـم{\displaystyle M}والتي تتكيف مع البنية المعطاة. على سبيل المثال، إذام{\displaystyle M}هو متعدد شعب ريماني رأينا أعلاه أنه من الطبيعي اعتبار حزمة الإطار المتعامد لـم{\displaystyle M}إن حزمة الإطار المتعامد هي مجرد اختزال لمجموعة البنية الخاصة بـFجيل(م){\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}إلى المجموعة المتعامدةيا(ن){\displaystyle \mathrm {O} (n)}.

بشكل عام، إذام{\displaystyle M}سلسن{\displaystyle n}-متعددة وجي{\displaystyle G}هي مجموعة فرعية من مجموعة ليجيل(ن،R){\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}نُعرّف بنية G علىم{\displaystyle M}أن يكون اختزالاً لمجموعة البنية لـFجيل(م){\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}لجي{\displaystyle G}. بشكل صريح، هذا مبدأجي{\displaystyle G}-باقةFجي(م){\displaystyle F_{G}(M)}زيادةم{\displaystyle M}بالإضافة إلىجي{\displaystyle G}خريطة الحزمة المتغيرة

Fجي(م)→Fجيل(م){\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}

زيادةم{\displaystyle M}.

في هذه اللغة، مقياس ريماني علىم{\displaystyle M}يؤدي إلىيا(ن){\displaystyle \mathrm {O} (n)}- هيكل علىم{\displaystyle M}وفيما يلي بعض الأمثلة الأخرى.

  • كل مشعب موجه يحتوي على حزمة إطار موجهة وهي مجردجيل+(ن،R){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}- هيكل علىم{\displaystyle M}.
  • شكل مجلد حولم{\displaystyle M}يحددSل(ن،R){\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}- هيكل علىم{\displaystyle M}.
  • أ2ن{\displaystyle 2n}للمتشعب التبسيطي ذي الأبعاد n خاصية طبيعيةSص(2ن،R){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}-بناء.
  • أ2ن{\displaystyle 2n}يتمتع متعدد الشعب المعقد أو شبه المعقد ذو الأبعاد بخاصية طبيعيةجيل(ن،ج){\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}-بناء.

في كثير من هذه الحالات، أجي{\displaystyle G}- هيكل علىم{\displaystyle M}يحدد بشكل فريد البنية المقابلة علىم{\displaystyle M}على سبيل المثال، أSل(ن،R){\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}- هيكل علىم{\displaystyle M}يحدد شكل الحجم علىم{\displaystyle M}ومع ذلك، في بعض الحالات، كما هو الحال بالنسبة للمشعبات التبسيطية والمعقدة، يلزم شرط إضافي للتكامل .Sص(2ن،R){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}- هيكل علىم{\displaystyle M}يحدد بشكل فريد شكلًا ثنائيًا غير منحل علىم{\displaystyle M}لولام{\displaystyle M}لكي يكون هذا الشكل الثنائي متماثلاً، يجب أن يكون مغلقاً أيضاً .

مراجع