التأثير الجيوديسي

التأثير الجيوديسي (المعروف أيضًا باسم التبادر الجيوديسي ، أو تبادر دي سيتر ، أو تأثير دي سيتر ) هو نتيجة لانحناء الزمكان ، كما تنبأت به النسبية العامة ، على متجه يحمله جسم يدور حول الأرض. على سبيل المثال، قد يكون هذا المتجه هو الزخم الزاوي لجيروسكوب يدور حول الأرض، كما تم في تجربة مسبار الجاذبية B. تنبأ ويليم دي سيتر بالتأثير الجيوديسي لأول مرة عام 1916، حيث قدم تصحيحات نسبية لحركة نظام الأرض والقمر. وتم توسيع عمل دي سيتر عام 1918 على يد يان شوتين، وعام 1920 على يد أدريان فوكر . ^{[ 1 ]} ويمكن تطبيقه أيضًا على تبادر علماني محدد للمدارات الفلكية، وهو ما يعادل دوران متجه لابلاس-رونج-لينز . ^{​​[ 2 ]}

يُستخدم مصطلح "التأثير الجيوديسي" بمعنيين مختلفين قليلاً، إذ قد يكون الجسم المتحرك دوارًا أو غير دوار. تتحرك الأجسام غير الدوارة في مسارات جيوديسية ، بينما تتحرك الأجسام الدوارة في مدارات مختلفة قليلاً .

يكمن الفرق بين ترنح دي سيتر وترنح لينس-ثيرينغ (سحب الإطار) في أن تأثير دي سيتر ناتجٌ ببساطة عن وجود كتلة مركزية، بينما ترنح لينس-ثيرينغ ناتجٌ عن دوران هذه الكتلة. ويُحسب إجمالي الترنح بجمع ترنح دي سيتر مع ترنح لينس-ثيرينغ.

تم التحقق من التأثير الجيوديسي بدقة أفضل من 0.5% بواسطة مسبار الجاذبية B ، وهو تجربة تقيس ميل محور دوران الجيروسكوبات في مدارها حول الأرض. ^{[ 3 ]} أُعلن عن النتائج الأولى في 14 أبريل 2007، في اجتماع الجمعية الفيزيائية الأمريكية . ^{[ 4 ]}

لاستنتاج التبادر، افترض أن النظام في مقياس شوارزشيلد دوار . المقياس غير الدوار هو

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

حيث c = G = 1.   

نقدم نظام إحداثيات دوار، بسرعة زاوية${\displaystyle \omega }$بحيث يبقى القمر الصناعي في مدار دائري في المستوى θ  =  π/2 ساكنًا. وهذا يعطينا

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

في نظام الإحداثيات هذا، يرى مراقب عند الموضع القطري r متجهًا موضوعًا عند r يدور بتردد زاوي ω. مع ذلك، يرى هذا المراقب متجهًا موضوعًا عند قيمة أخرى لـ r يدور بمعدل مختلف، نتيجة لتمدد الزمن النسبي. بتحويل مقياس شوارزشيلد إلى الإطار الدوار، وبافتراض أن${\displaystyle \theta }$إذا كان ثابتًا، فسنجد

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}}$

مع${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$بالنسبة لجسم يدور في  المستوى θ = π/2، ستكون قيمة β  = 1، وسيحافظ خط العالم للجسم على إحداثيات مكانية ثابتة طوال الوقت. الآن، يكون المقياس في شكله المتعارف عليه.

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

انطلاقاً من هذا الشكل المتعارف عليه، يمكننا بسهولة تحديد معدل دوران الجيروسكوب في الوقت المناسب

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}}$

حيث أن المساواة الأخيرة صحيحة فقط بالنسبة للمراقبين الذين يسقطون سقوطًا حرًا دون تسارع، وبالتالي${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$وهذا يؤدي إلى

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ω ينتج

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

هذا هو في جوهره قانون كبلر للفترات ، والذي يكون دقيقًا نسبيًا عند التعبير عنه بدلالة الإحداثي الزمني t لنظام الإحداثيات الدوار هذا. في الإطار الدوار، يبقى القمر الصناعي ساكنًا، لكن مراقبًا على متنه يرى متجه الزخم الزاوي للجيروسكوب يتقدم بمعدل ω. يرى هذا المراقب أيضًا النجوم البعيدة وهي تدور، لكنها تدور بمعدل مختلف قليلًا بسبب تمدد الزمن. لنفترض أن τ هو الزمن الخاص بالجيروسكوب .

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

يُفسَّر الحدّ −2 m / r على أنه تمدد الزمن بفعل الجاذبية، بينما يُعزى الحدّ الإضافي − m / r إلى دوران هذا الإطار المرجعي. لنفترض أن α' هو التبادر المتراكم في الإطار الدوار.${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$، ويُعطى التبادر خلال دورة مدارية واحدة، بالنسبة للنجوم البعيدة، بالصيغة التالية:

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

مع سلسلة تايلور من الدرجة الأولى نجد

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

النقل المتوازي لمتجه الدوران الرباعي للجيروسكوب${\displaystyle \mathbf {S} }$يتم ذلك باستخدام معادلة النقل المتوازي ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }\,\mathbf {S} \,=\,0}$$

هنا${\displaystyle \mathbf {u} }$هو متجه السرعة الرباعي و${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }}$هي المشتقة المتغيرة بالنسبة إلى${\displaystyle \mathbf {u} }$نستخدم وصف الإحداثيات الذي تكون فيه معاملات الاتصال هي رموز كريستوفيل . وقد وردت هذه الرموز في مرجع ثورن وبلاندفورد ^{[ 6 ]} لهندسة شوارزشيلد في المقياس المعتاد.

$${\displaystyle d\,s^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}\,+\,{\frac {d\,r^{2}}{1-{\frac {2\,M}{r}}}}\,+\,r^{2}d{\theta }^{2}\,+\,r^{2}\,\sin ^{2}\theta \;\,d\phi ^{2}}$$

تم اختيار الوحدات بحيث يكون ثابت الجاذبية${\displaystyle G=1}$وسرعة الضوء${\displaystyle c=1}$.

النقل المتوازي هو ما يحدث لجسم يسقط سقوطًا حرًا دون تسارع. بالنسبة لمدار دائري استوائي حول جسم كروي متناظر غير دوار، فإن نصف القطر${\displaystyle r}$ثابت والزاوية القطبية${\displaystyle \theta =\pi /2}$وهو ثابت أيضًا. إذن

$${\displaystyle u^{r}\,=\,u^{\mathbf {\theta } }\,=\,0}$$

باستخدام معاملات الاتصال${\displaystyle \Gamma _{\beta \,\gamma }^{\alpha }}$تصبح معادلة النقل الموازي

$${\displaystyle {\frac {d\,S^{\alpha }}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{\beta \,\gamma }^{\alpha }\,u^{\beta }\,S^{\gamma }\,=\,0}$$

أين${\displaystyle \tau }$هذا هو الوقت المناسب. خارج جسم كروي متناظر غير دوار، تكون الهندسة شوارزشيلد، لذا نستخدم معاملات الاتصال هذه. افترض أن الدوران في المستوى الاستوائي بحيث${\displaystyle S^{\theta }=0}$ عندها فقط${\displaystyle S^{t},S^{r},S^{\phi }}$هي غير صفرية. معادلاتها هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\,S^{r}}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{tt}^{r}\,u^{t}\,S^{t}\,+\,\Gamma _{\phi \,\phi }^{r}\,u^{\phi }\,S^{\phi }\,&=\,0\\{\frac {d\,S^{t}}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{tr}^{t}\,u^{t}\,S^{r}\,&=\,0\\{\frac {d\,S^{\phi }}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,u^{\phi }\,S^{r}\,&=\,0\end{aligned}}}$$

يُدرج ثورن وبلاندفورد معاملات الاتصال غير الصفرية لهندسة شوارزشيلد. ولا تظهر جميع هذه المعاملات في المعادلات لأن

$${\displaystyle u^{r}\,=\,u^{\theta }\,=\,S^{\theta }\,=\,0}$$

تعتمد معاملات الربط في هذه المعادلات فقط على الثوابت.${\displaystyle r}$و${\displaystyle \theta }$بأخذ مشتقة المعادلة الأولى والتعويض باستخدام المعادلتين الثانية والثالثة، نحصل على

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}\,=\,\Gamma _{tt}^{r}\,\Gamma _{tr}^{t}\,{(u^{t})}^{2}\,S^{r}\,+\,\Gamma _{\phi \,\phi }^{r}\,\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,{(u^{\phi })}^{2}\,S^{r}}$$

معاملات الاتصال هذه هي ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \Gamma _{tr}^{t}\,=\,{\frac {M}{r^{2}}}\,{\frac {1}{1-{\frac {2\,M}{r}}}},\;\;\;\Gamma _{tt}^{r}\,=\,{\frac {M}{r^{2}}}\,{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )},\;\;\;\Gamma _{\phi \phi }^{r}\,=\,-r\,\sin ^{2}\theta \;{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )},\;\;\;\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,=\,{\frac {1}{r}}}$$

وباستبدال معاملات الاتصال، يصبح هذا

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}+{\Big (}{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )}\,(u^{\phi })^{2}\,-{\frac {M^{2}}{r^{4}}}\,(u^{t})^{2}\,{\Big )}\,S^{r}=\,0}$$

ناقش كلٌّ من ميسنر، وثورن، وويلر المدارات في هندسة شوارزشيلد بشكلٍ مُفصَّل. توجد مدارات دائرية مستقرة عندما يكون نصف القطر أكبر من 6 أضعاف كتلة الشمس. ^{[ 8 ]} بالنسبة لمثل هذا المدار الدائري ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\omega }^{2}\,r^{3}\,=\,M\;\;\Rightarrow \;\;(u^{\phi })^{2}={\frac {M}{r^{3}}}\,(u^{t})^{2}}$$

بديل عن${\displaystyle (u^{t})^{2}}$أعطِ

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}+{\Big (}1-{\frac {3\,M}{r}}\,{\Big )}\,(u^{\phi })^{2}\,S^{r}=\,0}$$

منذ${\displaystyle u^{\phi }}$إذا كان ثابتًا، فيمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\phi }^{2}}}+{\Big (}1-{\frac {3\,M}{r}}\,{\Big )}\,S^{r}\,=\,0}$$

المتغير المستقل هو الآن${\displaystyle \phi }$بدلاً من الوقت المناسب${\displaystyle \tau }$يمثل هذا حركة دورية في${\displaystyle \phi }$.

ل${\displaystyle M\ll r}$وهذا يمثل ترنحًا في المقدار${\displaystyle 3\,\pi \,M/r}$راديان لكل مدار. بالنسبة لمسبار الجاذبية B على ارتفاع 650  كم، باستخدام r=7028  كم واستبدال${\displaystyle M}$بواسطة${\displaystyle G\,M_{\oplus }/c^{2}}$وهذا يُعطي ترنحًا في كل دورة مقداره 0.0012271 ثانية قوسية. تبلغ الفترة المدارية 5862.6 ثانية، مما يُعطي ترنحًا سنويًا مقداره -6.605 ثانية قوسية، وهو قريب من القيمة المتوقعة الدقيقة البالغة -6.6061 ثانية قوسية والقيمة المرصودة البالغة -6.601.8 ثانية قوسية.

يمكن محاولة تحليل ترنح دي سيتر إلى تأثير حركي يُسمى ترنح توماس، مقترنًا بتأثير هندسي ناتج عن انحناء الزمكان بفعل الجاذبية. وقد وصفه أحد المؤلفين ^{[ 10 ] بهذه الطريقة، بينما ذكر آخرون أن "ترنح توماس يظهر في حالة الجيروسكوب على سطح الأرض...، ولكنه لا يظهر في حالة الجيروسكوب الموجود في قمر صناعي يتحرك بحرية." [ 11 ]} ويُعترض على التفسير الأول بأن إشارة ترنح توماس المطلوبة خاطئة. وتُعطي معادلة فيرمي-ووكر للنقل ^{[ 12 ]} كلاً من التأثير الجيوديسي وترنح توماس، وتصف نقل متجه الدوران الرباعي للحركة المتسارعة في الزمكان المنحني. ويكون متجه الدوران الرباعي متعامدًا مع متجه السرعة الرباعي. ويحافظ نقل فيرمي-ووكر على هذه العلاقة. في حالة عدم وجود تسارع، يكون نقل فيرمي-ووكر مجرد نقل موازٍ على طول خط جيوديسي، ويُعطي ترنح الدوران الناتج عن التأثير الجيوديسي. بالنسبة للتسارع الناتج عن الحركة الدائرية المنتظمة في فضاء مينكوفسكي المسطح، فإن نقل فيرمي ووكر يعطي ترنح توماس.

• سحب الإطار
• الخطوط الجيوديسية في النسبية العامة
• بئر الجاذبية
• الجدول الزمني لفيزياء الجاذبية والنسبية

• فولفغانغ ريندلير (2006) النسبية: الخاصة والعامة والكونية (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-856731-8

• مواقع الويب الخاصة بمسبار الجاذبية B في وكالة ناسا وجامعة ستانفورد
• التبادر في الفضاء المنحني "التأثير الجيوديسي"
• التأثير الجيوديسي