الوقت المناسب

باستخدام الاصطلاح الزمني لتوقيع المقياس ، يتم تعريف مقياس مينكوفسكي بواسطة$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$ والإحداثيات بواسطة $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$ بالنسبة لإطارات لورنتز العشوائية.

في أي إطار من هذا القبيل، يتم التعبير عن فاصل زمني متناهي الصغر، يُفترض هنا أنه زمني، بين حدثين على النحو التالي:

$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },}$$

(1)

ويفصل بين النقاط على مسار الجسيم (كما في الساعة) . ويمكن التعبير عن الفترة نفسها بإحداثيات بحيث يكون الجسيم ساكنًا في كل لحظة . يُسمى هذا الإطار إطار السكون اللحظي، ويُشار إليه هنا بالإحداثيات.${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$لكل لحظة. نظرًا لثبات الفترة الزمنية (ترتبط أطر السكون اللحظية المأخوذة في أوقات مختلفة بتحويلات لورنتز)، يمكن كتابة $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$ بما أن الجسيم أو الإطار نفسه يكون في حالة سكون في إطار السكون اللحظي، أي${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$بما أن الفترة الزمنية مفترضة أنها زمنية (أي${\displaystyle ds^{2}>0}$)، وبأخذ الجذر التربيعي لما سبق ينتج ^{[ 10 ]}$${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$ أو $${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$ بناءً على هذا التعبير التفاضلي لـ τ ، تُعرَّف الفترة الزمنية المناسبة على النحو التالي:

هنا P هو الخط العالمي من حدث أولي إلى حدث نهائي مع ترتيب الأحداث المحدد بشرط أن يحدث الحدث النهائي لاحقًا وفقًا للساعة مقارنة بالحدث الأولي.

باستخدام (1) ومرة ​​أخرى ثبات الفترة، يمكن للمرء أن يكتب ^{[ 11 ]}

أين $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$ هي تمثيل ثنائي تقابلي عشوائي لخط العالم P بحيث $${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$ حدد نقطتي نهاية النقطة P و a < b؛ و v ( t ) هي سرعة الإحداثيات عند زمن الإحداثيات t ؛ و x ( t ) و y ( t ) و z ( t ) هي إحداثيات مكانية. من الواضح أن التعبير الأول ثابت لورنتز. جميعها ثابتة لورنتز، لأن الزمن الخاص وفترات الزمن الخاص مستقلة عن الإحداثيات بحكم التعريف.

إذا تم تحديد قيم t و x و y و z بواسطة المعامل λ ، فيمكن كتابة ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

إذا كانت حركة الجسيم ثابتة، فإن التعبير يتبسط إلى $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$ حيث يُمثل Δ التغير في الإحداثيات بين الحدثين الابتدائي والنهائي. ويمكن تعميم هذا التعريف في النسبية الخاصة بسهولة إلى النسبية العامة كما يلي.

يتم تعريف الزمن الخاص في النسبية العامة على النحو التالي: بالنظر إلى مشعب ريماني زائف ذي إحداثيات محلية x ^μ ومجهز بموتر متري g _μν ، فإن الفترة الزمنية الخاصة Δ τ بين حدثين على طول مسار زمني P يتم إعطاؤها بواسطة التكامل الخطي ^{[ 12 ].}

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.}$

(4)

هذا التعبير، كما ينبغي، ثابتٌ تحت تغييرات الإحداثيات. وهو يختزل (في الإحداثيات المناسبة) إلى تعبير النسبية الخاصة في الزمكان المسطح .

بنفس الطريقة التي يمكن بها اختيار الإحداثيات بحيث تكون x1، x2 ^، x3 ^ثابتة في النسبية الخاصة ، يمكن فعل ذلك في النسبية العامة أيضًا. عندئذٍ، في هذه الإحداثيات ^{، [ 13 ]}$${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

يُعمم هذا التعبير التعريف (2) ويمكن اعتباره التعريف نفسه. ثم باستخدام ثبات الفترة، تُستنتج المعادلة (4) منه بنفس الطريقة التي تُستنتج بها المعادلة (3) من (2) ، باستثناء أنه يُسمح هنا بتغييرات إحداثيات عشوائية.

في سيناريو مفارقة التوأم ، لنفترض وجود مراقب A يتحرك بين إحداثيات A (0,0,0,0) و(10 سنوات، 0, 0, 0) بالقصور الذاتي. هذا يعني أن A يبقى عند${\displaystyle x=y=z=0}$لمدة عشر سنوات من الزمن ذي الإحداثيات A. ثم تكون الفترة الزمنية المناسبة لـ A بين الحدثين هي $${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

لذا فإن كون الشيء "في حالة سكون" في نظام إحداثيات النسبية الخاصة يعني أن الوقت الخاص ووقت الإحداثيات هما نفس الشيء.

لنفترض الآن وجود مراقب آخر B يسافر في الاتجاه x من النقطة (0,0,0,0) لمدة 5 سنوات من الزمن المحدد بالإحداثيات A بسرعة 0.866 c إلى النقطة (5 سنوات، 4.33 سنة ضوئية، 0, 0). بمجرد وصوله إلى هناك، يتسارع B ، ويسافر في الاتجاه المكاني الآخر لمدة 5 سنوات أخرى من الزمن المحدد بالإحداثيات A إلى النقطة (10 سنوات، 0, 0, 0). لكل مرحلة من مراحل الرحلة، يمكن حساب الفترة الزمنية المناسبة باستخدام الإحداثيات A ، وهي معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

إذن، فإن إجمالي الزمن الخاص للمراقب B للانتقال من (0,0,0,0) إلى (5 سنوات، 4.33 سنة ضوئية، 0, 0) ثم إلى (10 سنوات، 0, 0, 0) هو $${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

وهكذا يتضح أن معادلة الزمن الخاص تتضمن تأثير تمدد الزمن . في الواقع، بالنسبة لجسم في فضاء-زمن النسبية الخاصة يتحرك بسرعة${\displaystyle v}$لفترة من الزمن${\displaystyle \Delta T}$، الفترة الزمنية المناسبة التي تم اختبارها هي $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$ وهي صيغة تمدد الزمن في الزمن القصير.

يوجد مراقب يدور حول مراقب آخر في إطار مرجعي متسارع. بالنسبة لهذا المراقب، فإن التغير التدريجي (${\displaystyle d\tau }$يلزم شكل معادلة الزمن المناسب، إلى جانب وصف معلمات المسار الذي يتم اتخاذه، كما هو موضح أدناه.

لنفترض وجود مراقب C على قرص يدور في المستوى xy بمعدل زاوي إحداثي قدره${\displaystyle \omega }$والذي يقع على مسافة r من مركز القرص، ومركز القرص عند x = y = z = 0. مسار الراصد C يُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$، أين${\displaystyle T}$يمثل الوقت الحالي للإحداثيات. عندما r و${\displaystyle \omega }$ثابتة،${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$و${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$تصبح صيغة الزمن الخاص المتزايدة عندئذٍ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

لذا بالنسبة لمراقب يدور على مسافة ثابتة r من نقطة معينة في الزمكان بمعدل زاوي ثابت ω بين أوقات الإحداثيات${\displaystyle T_{1}}$و${\displaystyle T_{2}}$، الوقت المناسب الذي ستختبره سيكون $${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$ مثل${\displaystyle v=r\omega }$بالنسبة لمراقب دوار. هذه النتيجة هي نفسها كما في مثال الحركة الخطية، وتُظهر التطبيق العام للصيغة التكاملية لصيغة الزمن الخاص.

يؤدي تحويل الإحداثيات المناسب باستخدام مقياس مينكوفسكي إلى إنشاء إحداثيات يبقى فيها الجسم الموجود على قرص دوار في نفس موضع الإحداثيات المكانية. الإحداثيات الجديدة هي $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ و $${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

تبقى إحداثيات t و z دون تغيير. في نظام الإحداثيات الجديد هذا، تكون معادلة الزمن الخاص التزايدي هي $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

باعتبار أن r و θ و z ثابتة مع مرور الوقت، فإن هذا يتبسط إلى $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$ وهو نفس ما ورد في المثال 2.

لنفترض الآن وجود جسم خارج القرص الدوار، ساكنًا بالنسبة لمركز القرص وعلى بُعد R منه. يتحرك هذا الجسم حركة إحداثية تُوصف بالمعادلة dθ = − ω dt ، والتي تصف حركة الجسم الساكن عكسيًا في الدوران بالنسبة للمراقب الدوار. عندئذٍ، تصبح معادلة الزمن الخاص كما يلي: $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

لذا، بالنسبة للمراقب الساكن بالقصور الذاتي، وُجد مرة أخرى أن زمن الإحداثيات والزمن الخاص يمران بنفس المعدل، كما هو متوقع ومطلوب للاتساق الذاتي الداخلي لنظرية النسبية. ^{[ 14 ]}

يحتوي حل شوارزشيلد على معادلة زمنية خاصة متزايدة من $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$ أين

• t هو الوقت كما تمت معايرته بساعة بعيدة عن الأرض وفي حالة سكون قصوري بالنسبة لها،
• يمثل r إحداثية نصف قطرية (وهي في الواقع المسافة من مركز الأرض)،
• ɸ هو إحداثي خط العرض المشترك، وهو الفصل الزاوي من القطب الشمالي بالراديان .
• θ هو إحداثي طولي، مماثل لخط الطول على سطح الأرض ولكنه مستقل عن دوران الأرض . ويُعطى هذا أيضًا بالراديان.
• m هي الكتلة الهندسية للأرض، m = GM / c ² ،
  • M هي كتلة الأرض،
  • G هو ثابت الجاذبية .

ولتوضيح استخدام العلاقة الزمنية الصحيحة، سيتم استخدام العديد من الأمثلة الفرعية المتعلقة بالأرض هنا.

بالنسبة للأرض ، M =5.9742 × 10²⁴ ^كجم  ، مما يعني أن m =4.4354 × 10⁻³ متر  . عند الوقوف على القطب الشمالي، يمكننا أن ^نفترض${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$(بمعنى أننا لا نتحرك لأعلى أو لأسفل أو على طول سطح الأرض). في هذه الحالة، تصبح معادلة الزمن الخاص لحل شوارزشيلد كما يلي:${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$ثم باستخدام نصف قطر الأرض القطبي كإحداثي شعاعي (أو${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$)، نجد أن $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

عند خط الاستواء ، نصف قطر الأرض هو r =٦٣٧٨١٣٧ مترًا . بالإضافة إلى ذلك  ، يجب أخذ دوران الأرض في الاعتبار. وهذا يُعطي الراصد سرعة زاوية قدرها${\displaystyle d\theta /dt}$2π مقسومة على الفترة النجمية لدوران الأرض، 86162.4 ثانية. لذا${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$ثم ينتج عن معادلة الزمن الخاص $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

من منظور غير نسبي، كان ينبغي أن تكون هذه النتيجة مماثلة للنتيجة السابقة. يوضح هذا المثال كيفية استخدام معادلة الزمن الخاص، على الرغم من دوران الأرض، وبالتالي عدم تناظرها الكروي كما افترض حل شوارزشيلد. لوصف تأثيرات الدوران بدقة أكبر، يمكن استخدام مقياس كير .