رقم غراشوف

يحدث الحمل الحراري الطبيعي نتيجة لتغير كثافة المائع بسبب تغير درجة الحرارة أو تدرجها . عادةً ما تنخفض الكثافة مع ارتفاع درجة الحرارة، مما يؤدي إلى صعود المائع. وتنتج هذه الحركة عن قوة الطفو . أما القوة الرئيسية التي تقاوم هذه الحركة فهي قوة اللزوجة . ويُستخدم عدد غراشوف لقياس هذه القوى المتعارضة. ^{[ 3 ]}

رقم غراشوف هو:

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$للألواح المسطحة الرأسية

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$للأنابيب والأجسام الصلبة

أين:

• g هو التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية
• β هو معامل التمدد الحجمي (يساوي تقريبًا 1/ T للغازات المثالية )
• T _s هي درجة حرارة السطح
• T _∞ هي درجة الحرارة الكلية
• L هو الطول الرأسي
• D هو القطر
• ν هي اللزوجة الحركية .

تشير الرموز السفلية L و D إلى أساس مقياس الطول لرقم غراشوف.

يحدث الانتقال إلى التدفق المضطرب في النطاق 10⁸ < Gr _L < 10⁹ ^للحمل الحراري ^{الطبيعي} من الألواح المسطحة الرأسية. عند أرقام غراشوف الأعلى، تكون الطبقة الحدية مضطربة؛ وعند أرقام غراشوف ^الأدنى ، تكون الطبقة الحدية انسيابية، أي في النطاق 10³ < Gr _L < ^10⁶ .

يوجد شكل مماثل لرقم غراشوف يُستخدم في مسائل انتقال الكتلة بالحمل الحراري الطبيعي . في حالة انتقال الكتلة، ينشأ الحمل الحراري الطبيعي عن تدرجات التركيز وليس عن تدرجات درجة الحرارة. ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$$

أين

$${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

و:

• g هو التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية
• يمثل C _a,s تركيز النوع a على السطح
• C _a,a هو تركيز النوع a في الوسط المحيط
• L هو الطول المميز
• ν هي اللزوجة الحركية
• ρ هي كثافة السائل
• C _a هو تركيز النوع a
• T هي درجة الحرارة (ثابتة)
• p هو الضغط (ثابت).

تتناول هذه المناقشة معادلة الطاقة في سياق التدفق المتناظر دورانيًا. وسيأخذ هذا التحليل في الاعتبار تأثير تسارع الجاذبية على التدفق وانتقال الحرارة. تنطبق المعادلات الرياضية التالية على كلٍ من التدفق المتناظر دورانيًا والتدفق المستوي ثنائي الأبعاد.

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

أين:

• ${\displaystyle s}$هو اتجاه الدوران، أي الاتجاه الموازي للسطح
• ${\displaystyle u}$هي السرعة المماسية، أي السرعة الموازية للسطح
• ${\displaystyle y}$هو الاتجاه المستوي، أي الاتجاه العمودي على السطح
• ${\displaystyle v}$هي السرعة العمودية، أي السرعة العمودية على السطح
• ${\displaystyle r_{0}}$هو نصف القطر.

في هذه المعادلة، يُستخدم الرمز العلوي n للتمييز بين التدفق المتناظر دورانيًا والتدفق المستوي. وتتحقق الخصائص التالية لهذه المعادلة.

• ${\displaystyle n}$= 1: تدفق متناظر دورانيًا
• ${\displaystyle n}$= 0: تدفق ثنائي الأبعاد مستوٍ
• ${\displaystyle g}$التسارع الجاذبي

تتوسع هذه المعادلة إلى ما يلي بإضافة خصائص السوائل الفيزيائية:

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

ومن هنا يمكننا تبسيط معادلة الزخم بشكل أكبر عن طريق ضبط سرعة السائل الكلية على 0 (${\displaystyle u=0}$).

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

تُظهر هذه العلاقة أن تدرج الضغط هو ببساطة ناتج ضرب كثافة المائع الكلية في تسارع الجاذبية الأرضية. والخطوة التالية هي إدخال تدرج الضغط في معادلة الزخم.

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

حيث العلاقة بين معامل التمدد الحجمي والكثافة${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$تم العثور على ما سبق وعلاقة اللزوجة الحركية${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$تم استبدالها في معادلة الزخم.$${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

لإيجاد عدد غراشوف من هذه النقطة، يجب تحويل المعادلة السابقة إلى صيغة لا بُعدية. وهذا يعني أن كل متغير في المعادلة يجب أن يكون بلا بُعد، وأن يكون بدلاً من ذلك نسبة مميزة لهندسة المسألة وإعدادها. ويتم ذلك بقسمة كل متغير على الكميات الثابتة المناظرة له. تُقسم الأطوال على طول مميز.${\displaystyle L_{c}}$يتم تقسيم السرعات على سرعات مرجعية مناسبة.${\displaystyle V}$، وهو ما يعطي، مع الأخذ في الاعتبار رقم رينولدز${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$يتم تقسيم درجات الحرارة على فرق درجة الحرارة المناسب.${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$تبدو هذه المعاملات عديمة الأبعاد كما يلي:

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$،
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$،
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$،
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$، و
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$.

تمثل العلامات النجمية معلمات لا بُعدية. وبدمج هذه المعادلات اللا بُعدية مع معادلات الزخم، نحصل على المعادلة المبسطة التالية.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

أين:

${\displaystyle T_{s}}$هي درجة حرارة السطح

${\displaystyle T_{0}}$درجة حرارة السائل الكلية

${\displaystyle L_{c}}$هو الطول المميز.

يُعرف المعامل عديم الأبعاد الموجود بين قوسين في المعادلة السابقة باسم رقم غراشوف:

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

هناك شكل آخر من أشكال التحليل البُعدي الذي ينتج عنه عدد غراشوف يُعرف باسم نظرية باكنغهام باي . تأخذ هذه الطريقة في الاعتبار قوة الطفو لكل وحدة حجم.${\displaystyle F_{b}}$بسبب اختلاف الكثافة في الطبقة الحدية والسائل الرئيسي.

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

يمكن التلاعب بهذه المعادلة للحصول على،

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

فيما يلي قائمة المتغيرات المستخدمة في طريقة باكنغهام π، إلى جانب رموزها وأبعادها.

عامل	رمز	أبعاد
طول كبير	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
لزوجة السائل	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
السعة الحرارية للسوائل	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
الموصلية الحرارية للسوائل	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
معامل تمدد الحجم	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
التسارع الناتج عن الجاذبية	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
فرق درجة الحرارة	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
معامل انتقال الحرارة	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

بالرجوع إلى نظرية باكنغهام باي، يوجد 9 - 5 = 4 مجموعات لا بُعدية. اختر L ،${\displaystyle \mu ,}$ك ، ج و${\displaystyle \beta }$باعتبارها المتغيرات المرجعية. وبالتالي فإن${\displaystyle \pi }$المجموعات هي كالتالي:

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$،

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$،

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$،

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

حل هذه المشكلات${\displaystyle \pi }$المجموعات تعطي:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$،

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$،

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$،

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

من المجموعتين${\displaystyle \pi _{2}}$و${\displaystyle \pi _{3},}$يشكل الناتج رقم غراشوف:

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

أخذ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$و${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$يمكن صياغة المعادلة السابقة على أنها نفس النتيجة من اشتقاق رقم غراشوف من معادلة الطاقة.

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

في الحمل الحراري القسري، يتحكم عدد رينولدز في تدفق المائع. أما في الحمل الحراري الطبيعي، فيتحكم عدد غراشوف، وهو معامل لا بُعدي، في تدفق المائع. وباستخدام معادلة الطاقة وقوة الطفو، بالإضافة إلى التحليل البُعدي، يُمكن استنتاج عدد غراشوف بطريقتين مختلفتين.

من الممكن أيضاً استنتاج رقم غراشوف من خلال التعريف الفيزيائي للرقم على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

مع ذلك، فإن الصيغة المذكورة أعلاه، وخاصة الجزء الأخير منها على الجانب الأيمن، تختلف قليلاً عن رقم غراشوف الوارد في المراجع. ويمكن استخدام المقياس الصحيح من حيث اللزوجة الديناميكية للوصول إلى الصيغة النهائية.

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$الكتابة فوق المقياس بالجرام تعطي؛

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$يُساعد التفكير الفيزيائي على فهم معنى الرقم. من جهة أخرى، يمكن استخدام تعريف السرعة التالي كقيمة مميزة للسرعة لجعل بعض السرعات بلا أبعاد.

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$